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第5课等差数列的概念和通项公式


听课随笔

第 5 课时等差数列的概念和通项公式 【学习导航】

知识网络

(2)以AB,BC,CD的长为等差数列 的前三项, 以第10项为边长的正方形的面 积是多少?

学习要求
1. 体会等差数列与一次函数的关系;

2.初步通过数列的下标研究数列。 【自学评价】

1. {a n } 是等差数列 ?
an ? an?1 ? an?1 (n ? 1) 2

2. 已知 {a n } 是等差数列, 若m ? n ? p ? q, 则 am ? an ? a p ? aq

【精典范例】
【例 1】已知等差数列{an}的通项公式为 an=2n-1,求首项a1和公差d,并画 出图像。 【解】 【答案】 a1 ? 1, d ? 2

【解】 (1)设公差为d(d>0) ,BC= x, 则AB=x-d,CD=x+d.由题意得 ?( x ? d ) ? x ? ( x ? d ) ? 21 ? 2 2 2 ?( x ? d ) ? x ? ( x ? d ) ? 179 ?x ? 7 ?x ? 7 解得 ? 或? (舍去) ?d ? 4 ?d ? ?4 AB=3(cm) ,BC=7(cm) ,CD =11(cm) (2)正方形的边长组成首项是3,公差是 4的等差数列{an} ,所以 a10=3+(10-1)×4=39. 2 2 2 a 10=39 =1521(cm ) . 2 所求正方形的面积为1521cm .

【追踪训练一】 :
1. 已知等差数列的通项公式为 a n ? 1 ?

1 n, 2

求它的首项和公差,并画出它的图象.

等差数列的通项公式an=2n-1是关于 n的一次式,从图象上看,表示这个数列的 各点 (n, an) 均在直线y=2x-1上。 【例 2】 (1)在等差数列{an}中,是否 有 an ?

【答案】略 2. 已知a1, a2, a3, …, an, an+1, …, a2n是公差为d的等差数列. (1)an,an-1,…,a2,a1也成等差 数列吗?如果是,公差是多少? (2)a2,a4,a6,…,a2n也成等差 数列吗?如果是,公差是多少? 【答案】 (1) ? d (2) 2 d 3.已知等差数列{an}的首项为a1,公 差为d. (1)将数列{an}中的每一项都乘以常 数a, 所得的新数列仍是等差数列吗?如果 是,公差是多少? (2)由数列{an}中的所有奇数项按原 来的顺序组成新数列 {cn} 是等差数列吗? 如果是,它的首项和公差分别是多少? 【答案】 (1)是等差数列,公差是 ad (2)是等差数列,首项是 a 1 ,公差是 2 d

an?1 ? an?1 (n≥2)? 2 an?1 ? an?1 , 2

(2)在数列{an}中,如果对于任意的 正整数n (n≥2) , 都有 an ?

那么数列{an}一定是等差数列吗? 【解】 【例 3】 如图, 三个正方形的边AB, BC, CD的长组成等差数列, 且AD=21cm, 2 这三个正方形的面积之和是179cm . (1)求AB,BC,CD的长;

听课随笔 4. 一个直角三角形三边的长组成等差数列, 求这个直角三角形三边长的比. 2. 若关于 x 的方程 x ? x ? a ? 0 和 x 2 ? x ? b ? 0 (a ? b) 的四个根组成首项为
2

【答案】三边长的比为 3 : 4 : 5 5.某货运公司的一种计费标准是:1km 以内收费5元, 以后每1km收2.5元. 如 果运输某批物资80km, 那么需支付多少 元运费?

1 的等差数列,则 a ? b ? ( D ) 4 3 11 13 A. B. C. D. 8 24 24 31 72
3. 若三个数 a-4,a+2,26-2a, 适当排列后构 成递增等差数列,求 a 的值和相应的数列. 【解】 a=6,相应的数列为:2,8,14 a=9,相应的数列为:5,8,11 a=12,相应的数列为:2,8,14

【答案】需支付运费 202.5 元

【选修延伸】
【例 4】在等差数列{an}中,已知ap= q,aq=p(p≠q) ,求ap+q 【解】

a n ?1 ? 4. 已知 a1 ? 3 ,

3n ? 1 a n (n ? 1) , 3n ? 2

求 an
【解】 【答案】ap+q=0 【例 5】如图(1)是一个三角形,分别连 结这个三角形三边的中点, 将原三角形剖分 成4个三角形(如图(2) ) ,再分别连结图 (2)中间的小三角形三边的中点,又可将 原三角形剖分成7个三角形 (如图 (3) ) . 依 此类推,第n个图中原三角形被剖分为a n 个三角形. (1)求数列{an}的通项公式; (2) 第100个图中原三角形被剖分为多 少个三角形? 教师释疑 学生质疑
an ? 3(n ? 1) ? 1 3(n ? 2) ? 1 3? 2 ?1 3 ?1 ? ? ???? ? a1 3(n ? 1) ? 2 3(n ? 2) ? 2 3? 2 ? 2 3 ? 2

?

3n ? 4 3n ? 7 ? ? 3n ? 1 3n ? 4

5 2 6 ? ?3 ? 8 5 3n ? 1

【师生互动】

【解】

【答案】 (1) a n ? 3n ? 2 (2)298 个三角形

【追踪训练二】 :
1. 若{an}是等差数列,a3,a10 是方程 2 x -3x-5=0 的两根,则 a5+a8= 3 .


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