nbhkdz.com冰点文库

三角形重心


三角形重心
三角形重心是三角形三边中线的交点。当几何体为匀质物体时,重心与形心重合。

性质证明
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2:1。

证明一

例:已知:△ABC,E、F 是 AB,AC 的中点。EC、FB 交于 G。 求证:EG=1/2CG 证明:过 E 作 EH∥BF 交

AC 于 H。 ∵AE=BE,EH//BF ∴AH=HF=1/2AF(平行线分线段成比例定理) 又∵ AF=CF ∴HF=1/2CF ∴HF:CF=1/2 ∵EH∥BF ∴EG:CG=HF:CF=1/2 ∴EG=1/2CG

证明二

2、重心和三角形 3 个顶点组成的 3 个三角形面积相等。
1

证明方法: 在△ABC 内,三边为 a,b,c,点 O 是该三角形的重心,AOA'、BOB'、COC'分别为 a、b、c 边上的中线。根据重心性质知,OA'=1/3AA',OB'=1/3BB',OC'=1/3CC',过 O, A 分别作 a 边上高 OH', AH,可知 OH'=1/3AH 则, S△BOC=1/2×OH'a=1/2×1/3AHa=1/3S△ABC; 同理可证 S△AOC=1/3S△ABC,S△AOB=1/3S△ABC,所以,S△BOC=S△AOC=S△AOB

三角形外心
三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心. 三角形外接圆的圆心也就是三角形三边垂直平分线的交点,三角形的三个顶点就在这 个外接圆上 ∵l、m 分别为线段 AB、AC 的中垂线 ∴AF=BF=CF ∴BC 中垂线必过点 F

2

性质编辑
设⊿ABC 的外接圆为☉G(R),角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,p=(a+b+c)/2. 性质 1:(1)锐角三角形的外心在三角形内; (2)直角三角形的外心在斜边上,与斜边中点重合; (3)钝角三角形的外心在三角形外. (4)等边三角形外心与内心为同一点。 性质 2:∠BGC=2∠A,(或∠BGC=2(180° -∠A). 性质 3:∠GAC+∠B=90° 证明:如图所示延长 AG 与圆交与 P(B、C 下面的那个点) ∵A、C、B、P 四点共圆 ∴∠P=∠B ∵∠P+∠GAC=90° ∴∠GAC+∠B=90° 性质 4:点 G 是平面 ABC 上一点,点 P 是平面 ABC 上任意一点,那么点 G 是⊿ABC 外心的充要条件是: (1)向量 PG=(tanB+tanC)向量 PA+(tanC+tanA)向量 PB+(tanA+tanB)向量 PC)/2(tanA+tanB+tanC). 或(2)向量 PG=(cosA/2sinBsinC)向量 PA+(cosB/2sinCsinA)向量 PB+(cosC/2sinAsinB)向量 PC. 性质 5:三角形三条边的垂直平分线交于一点,该点即为三角形外接圆的圆心.外心到 三顶点的距离相等。 性质 6:点 G 是平面 ABC 上一点,那么点 G 是⊿ABC 外心的充要条件 (向量 GA+ 向量 GB)· 向量 AB= (向量 GB+向量 GC)· 向量 BC=(向量 GC+向量 GA)· 向量 CA=0.

三角形内心
在三角形中,三个内角的三条角平分线的相交于一点,这个点叫做三角形的内心。这个点也 是这个三角形内切圆的圆心。三角形内心到三角形三条边的距离相等。 在三角形中,三个内角的三条角平分线的相交于一点,这个点叫做三角形的内心。这个点也 是这个三角形内切圆的圆心。

共点证明编辑

3

证明:如图所示 作∠B、∠C 的角平分线于 AC、AB 交于 F、D CD 与 BF 交于 I 连接 AI 交 BC 于 E 由塞瓦定理有(AD/BD)*(BE/CE)*(CF/AF)=1 ∵BF、CD 为角平分线 ∴由角平分线定理有 AD/BD=AC/BC CF/AF=BC/AB ∴BE/CE=AB/AC 由角平分线定理的逆定理有 AE 为∠A 的角分线 证毕

内心性质
设△ABC 的内切圆为☉I(r),∠A、∠B、∠C 的对边分别为 a、b、c,p=(a+b+c)/2.

1、三角形的内心到三边的距离相等,都等于内切圆半径 r. 2、∠BIC=90° +∠BAC/2. 3、在 RtΔABC 中,∠A=90° ,三角形内切圆切 BC 于 D,则 S△ABC=BD×CD 4、点 O 是平面 ABC 上任意一点,点 I 是△ABC 内心的充要条件是: 向量 OI=[a(向量 OA)+b(向量 OB)+c(向量 OC)]/(a+b+c). 5、在△ABC 中,若三个顶点分别是 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3), 那么△ABC 内心 I 的坐标是: (ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c),ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c)). 6、(欧拉定理)△ABC 中,R 和 r 分别为外接圆为和内切圆的半径,O 和 I 分别为其外 心和内心,则 OI2=R2-2Rr.
4

7、△ABC 中:a,b,c 分别为三边,S 为三角形面积,则内切圆半径 r=2S/(a+b+c) 8、 双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶 点。

9、△ABC 中,内切圆分别与 AB,BC,CA 相切于 P,Q,R, 则 AP=AR=(b+c-a)/2, BP =BQ =(a+c-b)/2, CR =CQ =(b+a-c)/2, r=[(b+c-a)tan(A/2)]/2。 10、三角形内角平分线定理: △ABC 中,O 为内心,∠BAC 、∠ABC、 ∠ACB 的内角平分线分别交 BC、AC、AB 于 Q、P、R,则 BQ/QC=c/b,CP/PA=a/c, BR/RA=a/b。 三角形的五心性质 内心是三条角平分线的交点,它到三边的距离相等。 外心是三条边垂直平分线的交点,它到三个顶点的距离相等。 重心是三条中线的交点,它到顶点的距离是它到对边中点距离的 2 倍。 垂心是三条高的交点,它能构成很多直角三角形相似。 旁心是一个内角平分线与其不相邻的两个外角平分线的交点,它到三边的距离相等。 (1)重心和三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等; (2)外心到三顶点的距离相等; (3)垂心与三顶点这四点中,任一点是其余三点构成的三角形的垂心; (4)内心、旁心到三边距离相等; (5)垂心是三垂足构成的三角形的内心; (6)外心是中点三角形的垂心; (7)中心也是中点三角形的重心; (8)三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心。 三角形的五心定理 重心定理:三角形的三条中线交于一点,这点到顶点的距离是它到对边中点距离的 2 倍, 该点叫做三角形的重心。 外心定理:三角形的三边的垂直平分线交于一点,该点叫做三角形的外心。 垂心定理:三角形的三条高交于一点,该点叫做三角形的垂心。
5

内心定理:三角形的三内角平分线交于一点,该点叫做三角形的内心。 旁心定理: 三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点, 该点叫做三角形的 旁心。三角形有三个旁心。 重心的几条性质: 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2:1。 2、重心和三角形 3 个顶点组成的 3 个三角形面积相等。 3、重心到三角形 3 个顶点距离的平方和最小。

6


三角形的重心、垂心、内心、外心

一、三角形重心定理 二、三角形外心定理 三、三角形垂心定理 四、三角形内心定理 五、三角形旁心定理 有关三角形五心的诗歌 三角形五心定理 三角形的重心,外心,...

三角形重心垂心外心内心相关性质介绍

三角形的“四心”所谓三角形的“四心” 是指三角形重心、 垂心、 外心及内心。当三角形是正三角形时, 四心重合为一点,统称为三角形的中心。 一、三角形...

有关三角形重心的公式结论

有关三角形重心的公式结论_数学_自然科学_专业资料。三角形的重心坐标公式 △ABC 三个顶点的坐标分别为 A(x1 ,y1 )、 B(x2 ,y2 )、 C(x3 ,y3 ),则...

三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质

OB ? OC . 著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置关系: (1)三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线” ;(2)...

三角形的重心的性质

三角形重心的性质 1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2:1。 2.重心三角形 3 个顶点组成的 3 个三角形面积相等。 3.重心三角形 3 ...

第八讲 三角形的重心

第八讲 三角形重心_理学_高等教育_教育专区。数学 第八讲 三角形重心、垂心、外心和内心 初中阶段我们已经学习了关于三角形的边和角的许多性质, 也涉及三角...

三角形的外心内心垂心重心

三角形的外心内心垂心重心_高三数学_数学_高中教育_教育专区。三角形的“四心”所谓三角形的“四心”是指三角形重心、垂心、外心及内心.当三角形是正三 角形...

三角形重心

三角形重心_初三数学_数学_初中教育_教育专区。1. (2013 秋?新疆校级期末)三角形三边垂直平分线的交点是三角形的( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 考点:...

三角形的重心定理及其证明

三角形重心定理及其证明_高一数学_数学_高中教育_教育专区。三角形重心定理及其证明积石中学王有华 同学们在学习几何时, 常常用到三角形重心定理.但很 多...

三角形重心的应用

三角形重心的应用_理学_高等教育_教育专区。三角形重心的应用南昌县渡头中学 邓淑刚 教学目的:1、了解三角形重心的概念,掌握重心的性质并能加以应用。 2、了解并...