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数学分析(Ⅱ)试题与参考答案1

时间:2012-12-22


数学分析(2)期末试题
课程名称 试卷类别 数学分析(Ⅱ) 1 适 用 时 间 应用、信息专业 适用专业、年级、班

一、单项选择题(每小题 3 分,3×6=18 分) 1、 下列级数中条件收敛的是(
?
?

) .

A. ? ( ? 1)
n ?1

n

B.

?
n ?1

( ? 1) n

n

?

C.

?
n ?1

( ? 1) n
2

n

?

D.

?
n ?1

(1 ?

1 n

n

)

2、 若 f 是 ( ? ? , ? ? ) 内以 2 ? 为周期的按段光滑的函数, 则 f 的傅里叶(Fourier)级数在 它的间断点 x 处 ( ) . A.收敛于 f ( x ) C. 发散 B.收敛于
1 2 ( f ( x ? 0 ) ? f ( x ? 0 ))

D.可能收敛也可能发散

3、函数 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积的必要条件是( ) . A.有界 B.连续 C.单调 D.存在原函数

4、设 f ( x ) 的一个原函数为 ln x ,则 f ? ( x ) ? ( ) A.
1 x
?? 0

B. x ln x
dx 1 ? kx
2

C. ?

1 x
2

D. e ) D. ) D. e
?

x

5、已知反常积分 ? A.
?
2
2

( k ? 0 ) 收敛于 1,则 k ? (

B.
3

?
2

2

C.
n ?1 n

?
2

2

4
?1

6、 ln x ? (ln x ) ? (ln x ) ? ? ? ( ? 1) A. x ? e

(ln x ) ? ? 收敛,则(

B. x ? e

C. x 为任意实数

? x ? e

二、填空题(每小题 3 分,3×6=18 分)
?

1、已知幂级数 ? a n x 在 x ? 2 处条件收敛,则它的收敛半径为
n n ?1 ?

. ,和 S ? . ,b ? . .

2、若数项级数 ? u n 的第 n 个部分和 S n ?
n ?1

2n n ?1

,则其通项 u n ?

3、曲线 y ?

1 x

与直线 x ? 1 , x ? 2 及 x 轴所围成的曲边梯形面积为
1 x x

4、已知由定积分的换元积分法可得, ? e f ( e ) d x ?
0

?

b a

f ( x ) d x ,则 a ?

5、数集 ? ( ? 1)
?

?

n

n n ?1
2

? n ? 1, 2 , 3 , ? ? 的聚点为 ?

. . 65

6、函数 f ( x ) ? e x 的麦克劳林(Maclaurin)展开式为

三、计算题(每小题 6 分,6×5=30 分) 1、 ? 3、 ? 5、 ?
dx x (1 ? x )
a 0



2、 ? x 2 ln x d x .

a ? x
2

2

dx (a ? 0) .

4、 lim

?

x 0

cos t dt

2


s in x

x? 0

?
2 0

1 ? s in 2 x d x .

四、解答题(第 1 小题 6 分,第 2、3 小题各 8 分,共 22 分)
?

1、讨论函数项级数 ?
n ?1

s in n x n
2

在区间 ( ? ? , ? ? ) 上的一致收敛性.

?

2、求幂级数 ?
n ?1

x

n

的收敛域以及收敛区间内的和函数.

n

3、设 f ( x ) ? x , 将 f 在 ( ? ? , ? ) 上展为傅里叶(Fourier)级数. 五、证明题(每小题 6 分,6×2=12 分)
? ?

1、已知级数 ? a n 与 ? c n 都收敛,且
n ?1 n ?1

a n ? b n ? c n , n ? 1, 2 , 3 ,?
?

证明:级数 ? b n 也收敛.
n ?1

?

?

2、证明: ?

2 0

s in

n

x dx ?

?

2 0

cos x dx .
n

66

试题参考答案与评分标准
课程名称 试卷类别 数学分析(Ⅱ) 1 适 用 时 间 应用、信息专业 适用专业、年级、班

一、 单项选择题(每小题 3 分,3×6=18 分) ⒈ B ⒉ B ⒊ A ⒋ C ⒌ D ⒍ D

二、 填空题(每小题 3 分,3×6=18 分) ⒈
2



un ?

2 n ( n ? 1)

, S =2



ln 2
?

⒋ a ? 1, b ? e



?1



?
n?0

1 n!

x

2n

, x ? (?? , ?? )

三、 计算题(每小题 6 分,6×5=30 分)

1. 解
? ? 1 x (1 ? x ) ? 1 x dx ? 1 1? x

?
?

1 x (1 ? x )

(3 分)
)dx

?(x

1

?

1 1? x

? ln x ? ln 1 ? x ? C .

(3 分)

2. 解 由分部积分公式得

?x

2

ln x d x ? ? ? ? ?

1

? ln xd x 3
1 3 1 3 1 3 1 3
3

3

x ln x ? x ln x ?
3

1

?x 3 ?x 3

3

d ln x ? 1 x

(3 分)

1

3

dx

x ln x ?
3

1

?x 3
1 9
3

2

dx

x ln x ?
3

x ?C

(3 分)

3. 解 令 x

? a s in t , t ? [ 0 ,

?
2

]

由定积分的换元积分公式,得

?

a 0

a ? x dx
2 2

?

? a

2

?

2 0

c o s td t

2

(3 分)

67

?

a

2

?

2

?

2 0

(1 ? c o s 2 t ) d t
?

?

a

2

(t ?
2

1 2

2

s in 2 t )
0

2
?

?a
4

.

(3 分)

4. 解 由洛必达(L'Hospital)法则得
lim

?

x 0

c o s td t s in x

2

x? 0

? lim

cos x cos x

2

(4 分)

x? 0

? lim c o s x
x? 0

?1

(2 分)

5. 解
?

?
?

2 0

1 ? s in 2 x d x
(s in x ? c o s x ) d x
2

? ?

?

2 0

(2 分)

?

?

2 0

s in x ? c o s x d x
?

?

?

?

4 0

(c o s x ? s in x ) d x ?
?

??

2

(s in x ? c o s x ) d x
?
2

(2 分)

4

? ( s in x ? c o s x )

4

? ( s in x ? c o s x )
?
4

0

? 2

2 ? 2.

(2 分)

四、 解答题(第 1 小题 6 分,第 2、3 小题各 8 分,共 22 分)

1. 解

? x ? ( ? ? , + ? ), ? n (正整数)
s in n x n
?
2

?

1 n
2

(3 分)

而级数 ?
n ?1
?

1 n
2

收敛,故由 M 判别法知, (3 分)

?
n ?1

s in n x n
2

在区间 ( ? ? , ? ? ) 上一致收敛.

68

?

2. 解

幂级数 ?
n ?1

x

n

的收敛半径 R ?
lim

1
n

? 1, 1 n

n

n? ?

收敛区间为 ( ? 1,1) .
?

(2 分)

易知 ?
n ?1
?

x

n

在 x ? ? 1 处收敛,而在 x ? 1 发散, (2 分) (2 分)

n
n

故?
n ?1

x

的收敛域为 [ ? 1, 1) .
?

n
1 ?

1? x

?
n?0
?

x ,

n

x ? ( ? 1, 1)

逐项求积分可得

?

x 0

1 1? t

dt ?

??
n?0
?

x 0

t d t , x ? ( ? 1, 1) .
n

即 ? ln (1 ? x ) ?

?
n?0

x

n ?1

?

n ?1

?

?
n ?1

x

n

, x ? ( ? 1, 1) .

(2 分)

n

3. 解 函数 f 及其周期延拓后的图形如下

函数 f 显然是按段光滑的, 故由收敛性定理知它可以展开为 Fourier 级数。 由于 f ( x ) 在 ( ? ? , ? ) 为奇函数, 故 而
bn ? 1
a n ? 0 , n ? 0 , 1, 2 , … ,
?
??

(2 分)

?

?

x s in n xd x

? ?

1 n?

?
x cos nx
n ?1

??

?

1 n?

?

?
??

c o s n xd x

?

( ? 1)

?2

(4 分)

n

所以在区间 ( ? ? , ? ) 上,
?

f ( x ) ? x ? 2 ? ( ? 1)
n ?1

n ?1

s in n x n

.

(2 分)

69

五、 证明题(每小题 5 分,5×2=10 分)
? ?

1. 证明 由 ?
n ?1
?

a n 与 ? c n 都收敛知,
n ?1

级数 ? ( c n ? a n ) 也收敛。
n ?1

(1 分)

又由 可知,
?

a n ? b n ? c n , n ? 1, 2 , 3 ,? 0 ? b n ? a n ? c n ? a n , n ? 1, 2 , 3, ?

从而由正项级数的比较判别法知

?
n ?1

( b n ? a n ) 收敛,

(2 分)

于是由 b n ? ( b n ? a n ) ? a n , n ? 1, 2 , 3, ?
?

知级数 ? b n 收敛.
n ?1

(2 分)

2. 证明 令 x

?

?
2

? t ,则 t ?

?
2

? x .

(1 分)

由定积分的换元积分公式,得
?

?

2 0

s in

n

xdx ? -
?

? ? s in
2

0

n

(

?
2

? t)dt
?

(2 分)
2 n

?

?

2 0

s in (
n

n

?
2

? t)dt ?

?

c o s td t

0

?

?

?

2 0

cos xdx

(2 分)

70


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