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高中数学:任意角弧度制三角函数概念


1.了解任意角的概念. 2.了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化.

3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.

知识梳理

逆时针方向

顺时针方向 没有作任何旋转

?? ? ? ? ? k ? 360 , k ? Z ?
?

长度等于半径长的弧

(3)与角度制的互化

180 ? ? 弧度
?

(4)弧长公式:

l?

{ ?

1 ? 180 rad 180 ? 1弧度=____ ( ) ? ?r
?

?

1 1 2 扇形面积公式: S ? lr ? r ?(其中 l为圆心角? 所 2 2

? 为圆心角的弧度数, 对的弧长,

r 为圆半径.)

3.任意角的三角函数定义
设 ? 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P( x, y)

那么:(1)

y y tan ? (3) 叫做 ? 的正切,记作 ,即 tan ? ? ( x ? 0) x x
y

y 叫做? 的正弦,记作 sin ? ,即 sin ? ? y (2)x 叫做 ? 的余弦,记作 cos? ,即 cos ? ? x




﹒ ? P?x, y
?
O
A?1,0? x

所以,正弦,余弦,正切都 是以角为自变量,以单位圆上点 的坐标或坐标的比值为函数值的 函数,我们将他们称为三角函数.

定义推广:
设角? 是一个任意角, P( x, y) 是终边上的任意一点, 点 P 与原点的距离 r ?
P?x, y ?

x2 ? y2 ? 0



y

?
O

y y 那么① r 叫做 ? 的正弦,即 sin ? ? r x x ? ② r 叫做 的余弦,即 cos ? ? r x y y ③ x 叫做? 的正弦,即 tan ? ? ?x ? 0? x

任意角? 的三角函数值仅与 ? 有关,而与点 P 在角的 终边上的位置无关.

夯实基础
1.思考探究: (1)终边相同的角相等吗?它们的大小有何关系? (2)锐角是第一象限角,第一象限角是锐角吗?小于 90°的角是锐角吗?

2.写出一些特殊角的弧度数

角 度 弧 度

0

?

30? 45? 60? 90? 120? 135? 150?180? 270? 360?

0

? ? 6 4

? 3

? 2

2? 3? 5 ? 3 4 6

?

3? 2? 2

注:今后我们用弧度制表示角的时候,“弧
度”二字或者“rad”通常省略不写,而只写 。 这个角所对应的弧度数。但如果以度( ) 。 为 单位表示角时,度( )不能省略。

3.确定三角函数值在各象限的符号
y (+) + o x ( - )( - )
sin ?

y ( - )( + ) o x ( - )( + ) cos ?

y ( -) (+ ) o x ( +) ( - ) tan ?

基础自测

1.与610°角终边相同的角可表示为

(

)

A.k· 360°+230°,k∈Z
C.k· 360°+70°,k∈Z

B.k· 360°+250°,k∈Z
D.k· 360°+270°,k∈Z

解析:由于610°=360°+250°,所以610°与250°角 的终边相同. 答案:B

2.已知角α的终边经过点(

,-1),则角α的最小正值是

(

)

解析:∵sinα= ∴ α= 答案:B



,且α的终边在第四象限,

3.已知cosθ · tanθ<0,那么角θ是
A.第一或第二象限角 C.第三或第四象限角 B.第二或第三象限角 D.第一或第四象限角

(

)

解析:∵cosθ· tanθ=sinθ<0,cosθ≠0. ∴θ为第三、四象限角. 答案:C

4.弧长为3π,圆心角为135°的扇形半径为

,面积



. ,
=4,

解析:弧长l=3π,圆心角α=
由弧长公式l=α· r得r= 面积S= 答案:4 6π =6π. =

能力提升

1.若 ? 是第二象限角,试判断

所在象限。

2.若扇形周长为20cm,当扇形的圆心角α 为多少弧度时, 这个扇形的面积最大?
解:由题意得l+2R=20,∴l=20-2R(0<R<10).

=(10-R)· R=-R2+10R.

∴当且仅当R=5时,S有最大值25.
此时 ∴当α=2 rad时,扇形面积取最大值.

2 、已知角?的终边上一点P ? ?15a,8a ? ?a ? R且a ? 0?, 3.

求角?的sin ? ,cos ? , tan ?的值.
解:由于x ? -15a, y ? 8a,
所以r ?

? ?15a ? ? ?8a ?
2

2

? 17 a ? a ? 0?

?1? 若a ? 0则r ? 17a, 于是
8a 8 ?15a 15 8a 8 sin ? ? ? , cos ? ? ? ? , tan ? ? ?? 17a 17 17a 17 ?15a 15

? 2? 若a ? 0则r ? -17a, 于是
8a 8 ?15a 15 8a 8 sin ? ? ? ? , cos ? ? ? , tan ? ? ?? ?17a 17 ?17 a 17 ?15a 15

规律总结
1、终边相同角的表示:

?? ? ? ? ? k ? 360 , k ? Z ?
?

2、角度制与弧度制的互化:

180 ? ? 弧度
?

3、三角函数的定义:
y sin ? ? r x cos ? ? r y tan ? ? ?x ? 0? x

作业布置
必做题:课时作业(十五) 选做题:
1.α= +2kπ(k∈Z)”是“cos2α= ”的 ( ) A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 2.“tanα=1”是“α= B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ”的 ( )

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知角α的终边落在直线y=-3x(x<0)上,则 = .


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