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§1.2.4解三角形应用举例


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普通高中课程标准实验教科书-[人教版 A] 课题:

§2.2 解三角形应用举例
授课类型:新授课

●教学目标 知识与技能:能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题, 掌 握三角形的面积公式的简单推导和应用 过程与方法:本节课补充了三角形

新的面积公式,巧妙设疑,引导学生证明,同时总结出该 公式的特点,循序渐进地具体运用于相关的题型。另外本节课的证明题体现了前面所学知识 的生动运用,教师要放手让学生摸索,使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理 的特点,能不拘一格,一题多解。只要学生自行掌握了两定理的特点,就能很快开阔思维, 有利地进一步突破难点。 情感态度与价值观:让学生进一步巩固所学的知识,加深对所学定理的理解, 提高创新能力; 进一步培养学生研究和发现能力,让学生在探究中体验愉悦的成功体验 ●教学重点 推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目 ●教学难点 利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 [创设情境] 师:以前我们就已经接触过了三角形的面积公式,今天我们来学习它的另一个表达公式。在

? ABC 中,边 BC、CA、AB 上的高分别记为 h a 、h b 、h c ,那么它们如何用已知边和角表
示? 生:h a =bsinC=csinB h b =csinA=asinC h c =asinB=bsinaA

1 ah,应用以上求出的高的公式如 h a =bsinC 代入, 2 1 可以推导出下面的三角形面积公式,S= absinC,大家能推出其它的几个公式吗? 2 1 1 生:同理可得,S= bcsinA, S= acsinB 2 2
师:根据以前学过的三角形面积公式 S= 师:除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外,知道哪些条件也可求出三角形的
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面积呢? 生:如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解 Ⅱ.讲授新课 [范例讲解] 例 1、在 ? ABC 中,根据下列条件,求三角形的面积 S(精确到 0.1cm 2 ) (1)已知 a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5 ? ; (2)已知 B=62.7 ? ,C=65.8 ? ,b=3.16cm; (3)已知三边的长分别为 a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm 分析:这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题,与解三角形问题有密切的关系, 我们可以应用解三角形面积的知识,观察已知什么,尚缺什么?求出需要的元素,就可以求 出三角形的面积。 解: (1)应用 S= S=

1 acsinB,得 2

1 ? 14.8 ? 23.5 ? sin148.5 ? ≈90.9(cm 2 ) 2
b sin B

(2)根据正弦定理,

= =

c sin C
b sin C sin B

c S=

1 1 2 sin C sin A bcsinA = b 2 2 sin B

A = 180 ? -(B + C)= 180 ? -(62.7 ? + 65.8 ? )=51.5 ?

S=

sin 65.8 ? sin 51.5 ? 1 ≈4.0(cm 2 ) ? 3.16 2 ? sin 62.7 ? 2
c2 ? a2 ? b2 2ca 2 38.7 ? 41.4 2 ? 27.3 2 = 2 ? 38.7 ? 41.4
≈0.7697

(3)根据余弦定理的推论,得 cosB =

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sinB = 应用 S= S ≈

1 ? cos 2 B ≈ 1 ? 0.7697 2 ≈0.6384

1 acsinB,得 2

1 ? 41.4 ? 38.7 ? 0.6384≈511.4(cm 2 ) 2

例 2、 如图,在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得 到这个三角形区域的三条边长分别为 68m,88m,127m, 这个区域的面积是多少?(精确到 0.1cm 2 )? 师:你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗? 生:本题可转化为已知三角形的三边,求角的问题,再利用三角形的面积公式求解。 由学生解答,老师巡视并对学生解答进行讲评小结。 解:设 a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论, cosB=

c2 ? a2 ? b2 2ca 2 127 ? 68 2 ? 88 2 = ≈0.7532 2 ? 127 ? 68

sinB= 1 ? 0.75322 ? 0.6578 应用 S=

1 acsinB 2 1 S ≈ ? 68 ? 127 ? 0.6578≈2840.38(m 2 ) 2

答:这个区域的面积是 2840.38m 2 。 例 3、在 ? ABC 中,求证: (1)

a 2 ? b 2 sin 2 A ? sin 2 B ? ; c2 sin 2 C

(2) a 2 + b 2 + c 2 =2(bccosA+cacosB+abcosC) 分析:这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题,观察式子左右两边的特点,联想到 用正弦定理来证明 证明: (1)根据正弦定理,可设
a = b = c = k sin A sin B sin C
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显然 k ? 0,所以 左边=

a 2 ? b 2 k 2 sin 2 A ? k 2 sin 2 B ? c2 k 2 sin 2 C
sin 2 A ? sin 2 B =右边 sin 2 C

=

(2)根据余弦定理的推论, 右边=2(bc

b2 ? c2 ? a2 a2 ? b2 ? c2 c2 ? a2 ? b2 +ca +ab ) 2bc 2ca 2ab

=(b 2 +c 2 - a 2 )+(c 2 +a 2 -b 2 )+(a 2 +b 2 -c 2 ) =a 2 +b 2 +c 2 =左边 变式练习 1:已知在 ? ABC 中, ? B=30 ? ,b=6,c=6 3 ,求 a 及 ? ABC 的面积 S 提示:解有关已知两边和其中一边对角的问题,注重分情况讨论解的个数。 答案:a=6,S=9 3 ;a=12,S=18 3 变式练习 2:判断满足下列条件的三角形形状, (1) acosA = bcosB (2) sinC =

sin A ? sin B cos A ? cos B

提示:利用正弦定理或余弦定理, “化边为角”或“化角为边” (1) 师:大家尝试分别用两个定理进行证明。 生 1: (余弦定理)得 a?

b2 ? c2 ? a2 c2 ? a2 ? b2 =b ? 2bc 2ca

?c 2 (a 2 ? b 2 ) ? a 4 ? b 4 = (a 2 ? b 2 )(a 2 ? b 2 ) ? a 2 ? b 2或c 2 ? a 2 ? b 2

?根据边的关系易得是等腰三角形或直角三角形
生 2: (正弦定理)得 sinAcosA=sinBcosB,
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?sin2A=sin2B, ?2A=2B, ?A=B ?根据边的关系易得是等腰三角形
师:根据该同学的做法,得到的只有一种情况,而第一位同学的做法有两种,请大家思考, 谁的正确呢? 生:第一位同学的正确。第二位同学遗漏了另一种情况,因为 sin2A=sin2B,有可能推出 2A 与 2B 两个角互补,即 2A+2B=180 ? ,A+B=90 ? (2)(解略)直角三角形 Ⅲ.课堂练习 课本第 21 页练习第 1、2 题 Ⅳ.课时小结 利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式,然后 化简并考察边或角的关系,从而确定三角形的形状。特别是有些条件既可用正弦定理也可用 余弦定理甚至可以两者混用。 Ⅴ.课后作业 课本第 23 页练习第 12、14、15 题

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