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2.2.3经典课件 直线与平面、平面与平面平行的性质


2.2

直线、平面平行的判定及其性质 直线与平面平行的性质

2.2.3

2.2.4

平面与平面平行的性质

问题提出

1.直线与平面平行的判定定理是什么? 定理 若平面外一条直线与此平面内的 一条直线平行,则该直线与此平面平行. 2.直线与平面平行的

判定定理解决了直 线与平面平行的条件问题,反之,在直 线与平面平行的条件下,可以得到什么 结论呢?

知识探究(一):直线与平面平行的性质分析

思考1:如果直线a与平面α平行,那么直 线a与平面α内的直线有哪些位置关系? a a α

α

思考2:若直线a与平面α平行,那么在 平面α内与直线a平行的直线有多少条? 这些直线的位置关系如何?

异面、平行

思考3:如果直线a与平面α平行,那么 经过直线a的平面与平面α有几种位置关 系?
a a

α

α

3. 若直线a∥平面α,过直线a作平面β使 它与平面α相交,设α∩β=b,则a与b的位置关 系如何?为什么?

a
α b

β

4. 试用文字语言将上述原理表述成 一个命题.

直线与平面平行的性质定理:
如果一条直线和一个平面平行,经 过这条直线的平面和这个平面相交,那 么这条直线和交线平行.
?
a

?

b

? ? a ? ? ? ? a // b ? ? ? ? ? b?

a // ?

上述命题反映了直线和平面平行的一个 性质,其内容可简述为“线面平行则线 线平行”.

线∥面

线∥线

思考4:教室内日光灯管所在的直线与地 面平行,如何在地面上作一条直线与灯 管所在的直线平行?

例3:如图所示的一块木料中,棱BC平行于面A'C'. (1)要经过面内的一点P和棱BC将木料锯开,应 怎样画线? (2)所画的线与平面AC是什么位置关系?

解: (2) 由(1),得 EF//BC, D' F C' EF//BC P A' E BC ? 面AC ?EF//面AC B' D EF ? 面AC C A B

例4 已知平面外的两条平行直线中的 一条平行于这个平面,求证另一条也 平行于这个平面.
如图,已知直线a,b 和平面α ,a∥b, a∥α , a,b都在 平面α外 . 求证:b∥α .
a α

b c

推论:平面外的两条平行直线中的一条平行于 这个平面,则另一条也平行于这个平面. 且a//b, 已知:直线a、b,平面?, a // ? , b ? ? ,
求证: b//? 且 证明:过a作平面?, 性质定理 a // ?

? ?? ? c ?
c ??
?

a
c

b

a??

? ?? ? c

? a // c ? b // c
a // b
b ??

?b // ?

线面平行

线线平行

判定定理 线面平行

练习:判断下列命题是否正确?
(1)若直线a与平面?平行,则a与?内任 ( ) 何直线平行.
(
(

(2)若直线a、b都和平面?平行, 则a与b平行.
)
)

(3)若直线a和平面?, ?都平行, 则?与?平行.

(4)若平面外的两条平行直线中的一条平行 于这个平面,则另一条也平行于这个平面.
( )

问题提出

1.平面与平面平行的判定定理是什么? 定理 如果一个平面内的两条相交直线与 另一个平面平行,则这两个平面平行. 2.平面与平面平行的判定定理解决了平 面与平面平行的条件问题,反之,在平 面与平面平行的条件下,可以得到什么 结论呢?

知识探究(一):平面与平面平行的性质分析

若? // ? , l ? ? ,则直线l与平面 l β的位置关系如何?
α β l β α l

:若 ? // ? ,直线l与平面α平行, 那么直线l与平面β的位置关系如何?

思考3:若 ? // ? ,直线l与平面α相交, 那么直线l与平面β的位置关系如何?
l

α β
β

α

思考4:若 ? // ? ,平面α与平面γ相交, 则平面β与平面γ的位置关系如何?

思考5:若 ? // ?,平面α、β分别与平面 γ相交于直线a、b,那么直线a、b的位 置关系如何?为什么?
γ β α

b
a

已知平面?,?,? ,? // ? , ? ? ? ? a, ? ? ? ? b 求证:a // b

? ?? ? a
? ?? ? b

证明

a ??

? // ?

b??

a, b没有公共点 a, b都在平面?内

a // b

知识探究(二):平面与平面平行的性质定理

思考1:由下图反映出来的性质就是一 个定理,分别用文字语言和符号语言 可以怎样表述? γ 定理 如果两个平行 β 平面同时和第三个平 面相交,那么它们的 α 交线平行.
b a

? // ? , ? ? ? a, ? ? ? b ? a // b

思考2:上述定理通常称为平面与平面平 行的性质定理,该定理在实际应用中有 何功能作用?

? // ? , ? ? ? a, ? ? ? b ? a // b
γ b a

β
α

判定两直线 平行的依据

思考3:如果两个相交平面同时和第三个 平面相交,那么它们的交线的位置关系 如何?
β
b γ α β γ a α

l

a

b

l

思考4:若 ? // ? , l ? ? ,那么在平面β内 经过点P且与l 平行的直线存在吗?有几 条?
α β P β l α

γ

思考5:若平面α、β都与平面γ平行, 则平面α与平面β的位置关系如何?

理论迁移
例1 求证:夹在两个平行平面间的平行 线段相等.
A C

β

γ α B

D

两个平面平行的几条性质
性质2:两个平面平行,其中一个平面内的直线 必平行于另一个平面 性质3:夹在两个平行平面间的平行线段相等.

性质4:经过平面外一点只有一个平面和已知平 面平行
性质5:平行于同一平面的两平面平行


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