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【状元之路】2014-2015学年新课标A版数学选修4-1单元测评一 相似三角形的判定及有关性质

时间:2015-12-04


高中·新课标 A 版·数学·选修 4-1

单元测评(一)

相似三角形的判定及有关性质

(时间:90 分钟 满分:120 分) 第Ⅰ卷(选择题,共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. AE 1.如图,已知 l1∥l2,AF∶FB=2∶5,BC∶CD=4∶1,则EC=( )

A.1

B.2

C.3

D.4

AF GA AE GA 解析:∵l1∥l2,∴FB=BD,EC=CD. AF 2 GA 2 又FB=5,∴BD=5. BC 4 BD 5 又CD=1,∴CD=1, GA GA BD 2 5 AE ∴CD=BD· = × = 2 ,∴ CD 5 1 EC=2. 答案:B BE 2.(2013· 东莞模拟)如图,点 E 是?ABCD 边 BC 上一点,EC=4,AE BF 交 BD 于点 F,那么FD等于( )

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4 4 5 4 A.5 B.9 C.9 D.10

解析:如图在 AD 上取点 G,使 AG∶GD=1∶4. 连接 CG 交 BD 于点 H,则 CG∥AE, BF BE DH DG ∴FH=CE=4, FH = GA =4, BF 4 ∴FD=5. 答案:A 3.(2013· 海口模拟)如图所示,在矩形 ABCD 中,AB=12,AD=10, 将此矩形折叠使点 B 落在 AD 边的中点 E 处,则折痕 FG 的长为( )

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63 65 63 A.13 B. 5 C. 6 D. 6 解析: 过点 A 作 AH∥FG 交 DG 于 H, 则四边形 AFGH 为平行四边形. ∴AH=FG. ∵折叠后点 B 与点 E 重合, ∴B 与 E 关于折痕 FG 对称, ∴BE⊥FG,∴BE⊥AH, ∴∠ABE=∠DAH, ∴△ABE∽△DAH, BE AH ∴AB=AD. 1 ∵AB=12,AD=10,AE=2AD=5, ∴BE= 122+52=13, BE· AD 65 ∴FG=AH= AB = 6 . 答案:C 4.如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,且 AD∶BC=1∶3,对角线 AC, BD 交于点 O,那么 S△AOD∶S△BOC∶S△AOB 等于( )

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A.1∶3∶1 B.1∶9∶1 C.1∶9∶3 D.1∶3∶2 解析:∵AD∥BC, ∴△AOD∽△COB, ∴S△AOD∶S△COB=(1∶3)2=1∶9. 又∵OD∶OB=AD∶BC=1∶3, ∴S△AOD∶S△AOB=OD∶OB=1∶3, ∴S△AOD∶S△BOC∶S△AOB=1∶9∶3. 答案:C 5. 在矩形 ABCD 中, AE⊥BD 于点 E, S 矩形=40 cm2, S△ABE∶S△DBA=1∶ 5,则 AE 的长为( )

A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.7 cm 解析:∵∠BAD 为直角,AE⊥BD,∠ABE=∠DBA, ∴△ABE∽△DBA, S△ABE ? AB ?2 1 ∴ =? ? = , S△DBA ?DB? 5
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高中·新课标 A 版·数学·选修 4-1 ∴AB∶DB=1∶ 5. 设 AB=k,则 DB= 5k,AD=2k. ∵S 矩形=40 cm2,∴k· 2k=40, ∴k=2 5, ∴BD=10,AD=4 5. 1 1 由 S△ABD=2BD· AE,得2×10×AE=20, ∴AE=4 cm. 答案:A

6.如图,在△ABC 中,E 为 AB 上一点,若 AE∶EB=3∶2,CD∶DB =3∶1,P 为 CE 和 AD 的交点,则 CP∶PE 的值是( A.2 B.3 C.4 D.5 解析:过点 E 作 EM∥AD 交 CB 于点 M. )

∵EM∥AD,
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高中·新课标 A 版·数学·选修 4-1 ∴AE∶AB=DM∶DB=3∶5, 3 ∴DM=5DB, 3 又 CP∶PE=CD∶DM=CD∶5DB, CP 5 CD 5 3 ∴PE =3· DB =3×1=5. 答案:D 7.已知圆的直径 AB=13,C 为圆上一点,过 C 作 CD⊥AB 于点 D(AD >BD),若 CD=6,则 AD 的长为( A.8 B.9 C.10 D.11 )

解析:如图,连接 AC,CB, ∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠ACB=90° . 设 AD=x,∵CD⊥AB 于 D, ∴由射影定理,得 CD2=AD· DB,即 62=x(13-x), ∴x2-13x+36=0, 解得 x1=4,x2=9. ∵AD>BD,∴AD=9. 答案:B 8.(2013· 广州高二检测)如图所示,⊙O 的两弦 AB,CD 交于点 P,连
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高中·新课标 A 版·数学·选修 4-1 接 AC,BD,若 S△ACP∶S△BDP=16∶9,则 AC∶BD 等于( )

A.3∶4 B.4∶3 C.9∶16 D.16∶9 解析:由∠A=∠D,∠B=∠C,得△APC∽△DPB.又 S△ACP∶S△DBP= 16∶9,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方,得 AC∶BD=4∶3. 答案:B 9.(2013· 常德模拟)如图,在△ABC 中,∠ACB=90° ,AB=5.将△ABC 绕点 B 顺时针旋转 90° 得到△DBE,连接 CE 交 BD 于点 F.已知 BE=3,则 BF∶DF 等于( )

A.3∶5 B.5∶3 C.3∶4 D.4∶3 解析:∵△DBE 是由△ABC 绕点 B 旋转 90° 得到的, ∴∠DEB=90° ,CB=BE=3,BD=AB=5, 在 Rt△DBE 中,由勾股定理,得 DE=4. ∵∠D+∠DBE=90° ,∠CBF+∠DBE=90° , ∴∠CBF=∠D. 又∵∠BFC=∠DFE,
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高中·新课标 A 版·数学·选修 4-1 BF BC 3 ∴△BCF∽△DEF,∴DF=DE=4. 答案:C 10.如图,已知 M 是?ABCD 的边 AB 的中点,CM 交 BD 于 E,图中阴 影部分面积与?ABCD 的面积之比为( )

1 1 2 5 A.3 B.4 C.5 D.12 1 1 解析:S△BMD=2S△ABD=4S?ABCD, 由 BM∥CD,得△DCE∽△BME, 则 DE∶BE=CD∶BM=2∶1, ∴S△DME∶S△BMD=DE∶BD=2∶3, 2 即 S△DME=3S△BMD, 又 S△DME=S△BCE, 4 4 1 1 ∴S 阴影=2S△DME=3S△BMD=3×4S?ABCD=3S?ABCD, 即 S 阴影∶S?ABCD=1∶3. 答案:A 第Ⅱ卷(非选择题,共 70 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

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11.如图,在△ABC 中,D 为 AC 边上的中点,AE∥BC,ED 交 AB 于 点 G,交 BC 的延长线于点 F,若 BG∶GA=3∶1,BC=10,则 AE 的长为 __________. 解析:∵AE∥BC, ∴△BGF∽△AGE, ∴BF∶AE=BG∶GA=3∶1. 又∵D 为 AC 的中点, ∴△ADE≌△CDF, ∴AE=CF,∴BC∶AE=2∶1. ∵BC=10,∴AE=5. 答案:5

12.如图,小明在 A 时测得某树的影长为 2 m,在 B 时又测得该树的 影长为 8 m.若两次日照的光线互相垂直,则树的高度为__________m.

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解析:如图,在 Rt△CDE 中,EF⊥CD.由射影定理,得 EF2=CF· DF =2×8=16, ∴EF=4 m. 答案:4 13.在△ABC 中,AB=9,AC=12,BC=18,在 AC 上截取 AD=4, 在 AB 上取一点 E,使△ADE 与原三角形相似,则 DE=__________.

解析:如图,存在两种情况. ①当 DE1∥BC 时, △ADE1∽△ACB, DE1 AD BC =AC ,DE1=6; ②当 DE2A∥\BC, ∠AE2D=∠C 时, △ADE2∽△ABC, DE2 AD 4 = , DE 2= ×18=8, BC AB 9
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高中·新课标 A 版·数学·选修 4-1 所以 DE 的长是 6 或 8. 答案:6 或 8 14.如图,DE 是△ABC 的中位线,M 是 DE 的中点,CM 的延长线交 AB 于点 N,则 S△DMN∶S 四边形 ANME=______.

解析:设 S△DMN=a, 1 1 ∵DM=2DE,DE=2BC, 1 ∴DM=4BC,∴DN∶BN=1∶4, 又∵BD=AD,∴DN∶BD=DN∶AD=1∶3, 1 又∵DM=2DE, 1 ∴S△DNM=6S△ADE, ∴S△ADE=6a, ∴S 四边形 ANME=S△ADE-S△DNM=5a, ∴S△DMN∶S 四边形 ANME=1∶5. 答案:1∶5 三、解答题:本大题共 4 小题,满分 50 分. 15. (12 分)(2013· 湛江模拟)如图, 在矩形 ABCD 中, P 是 BC 边上一点, 连接 DP 并延长,交 AB 的延长线于点 Q.
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BP 1 AB (1)若PC=3,求AQ的值; BC AB (2)若点 P 为 BC 边上的任意一点,求证:BP -BQ=1. 解:(1)∵四边形 ABCD 为矩形, ∴AB=CD,AB∥DC. BQ PB 1 ∴DC=CP=3,∴DC=3BQ, AB DC 3BQ 3 ∴AQ=AQ = =4.(6 分) 3BQ+BQ DC PC (2)∵DC∥BQ,∴BQ =BP , AB PC ∴BQ=BP . BC AB BP+PC PC PC PC ∴BP -BQ= BP -BP =1+BP -BP =1. (12 分) 16.(12 分)如图,四边形 ABCD 是平行四边形,P 是 BD 上任意一点, 过 P 点的直线分别交 AB,DC 于 E,F,交 DA,BC 的延长线于 G,H.

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(1)求证:PE· PG=PF· PH; (2)当过 P 点的直线绕点 P 旋转到 F,H,C 重合时,请判断 PE,PC, PG 的关系,并给出证明. PE PB 解:(1)∵AB∥CD,∴PF=PD, PH PB ∵AD∥BC,∴PG=PD, PE PH ∴PF=PG. ∴PE· PG=PH· PF.(6 分)

(2)由题意可得到图形,关系式为 PC2=PE· PG, PE PB ∵AB∥CD,∴PC=PD, PC PB ∵AD∥BC,∴PG=PD, PE PC ∴PC=PG,即 PC2=PE· PG.(12 分)
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高中·新课标 A 版·数学·选修 4-1 17.(12 分)已知:在等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,直线 MN 是梯形的 对称轴,P 是 MN 上的一点,直线 BP 交直线 DC 于 F,交 CE 于 E,且 CE

∥AB.
(1)若点 P 在梯形内部,如图(1).求证:BP2=PE· PF; (2)若点 P 在梯形的外部,如图(2),那么(1)的结论是否成立?若成立, 请证明;若不成立,请说明理由.

图(1)

图(2) 解:(1)连接 PC,

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∵MN 是梯形 ABCD 的对称轴, ∴PB=PC,∠PBC=∠PCB. ∵梯形 ABCD 是等腰梯形, ∴∠ABC=∠DCB, 即∠ABP+∠PBC=∠PCB+∠DCP, ∴∠ABP=∠DCP. 又∵CE∥AB, ∴∠E=∠ABP=∠DCP, 而∠CPE=∠FPC, ∴△CPE∽△FPC. PE PC ∴PC=PF ,即 PC2=PE· PF, 又∵PC=BP, ∴BP2=PE· PF.(6 分) (2)结论成立,连接 PC,由对称性知 PB=PC,

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∴∠PBC=∠PCB. ∵梯形 ABCD 是等腰梯形, ∴∠ABC=∠DCB, ∴∠ABC+∠PBC=∠DCB+∠PCB, 即∠ABP=∠DCP. ∵CE∥AB, ∴∠ABP+∠PEC=180° , 而∠DCP+∠PCF=180° , ∴∠PEC=∠PCF, 又∵∠EPC=∠CPF, ∴△EPC∽△CPF. PE PC ∴PC=PF ,即 PC2=PE· PF, ∴BP2=PE· PF.(12 分) 18.(14 分)如图,在等腰梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB<CD,AB=10, BC=3.

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(1)如果 M 为 AB 上一点,且满足∠DMC=∠A,求 AM 的长; (2)如果点 M 在 AB 边上移动(点 M 与 A,B 不重合),且满足∠DMN= ∠A, MN 交 BC 延长线于 N, 设 AM=x, CN=y, 求 y 关于 x 的函数关系式, 并写出 x 的取值范围. 解:(1)如图,设 AM 的长为 x,

∵AB∥CD,AD=BC, ∴∠A=∠B. 又∵∠A=∠DMC, ∠1+∠2+∠A=∠2+∠DMC+∠3=180° , ∴∠1=∠3,∴△ADM∽△BMC. AM AD x 3 ∴ BC =BM,即3= , 10-x 解之得 x1=1,x2=9, 经检验都是原分式方程的根. ∴AM=1 或 9.(7 分) (2)由(1)可证得△ADM∽△BMN,

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AM AD x 3 ∴ BN =BM,即 = , 3+y 10-x 1 10 ∴y=-3x2+ 3 x-3, 所以 y 关于 x 的函数关系式为 1 10 y=-3x2+ 3 x-3(1≤x≤9).(14 分)

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