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20162017高考数学总复习数列


总复习——数列

二、数列
一.数列的概念:数列是一个定义域为正整数集 N*(或它的有限子集{1,2,3,?,n} )的 特殊函数,数列的通项公式也就是相应函数的解析式。 二.等差数列的有关概念: 1.等差数列的判断方法:定义法 an?1 ? an ? d (d为常数) 或 an?1 ? an ? an ? an?1 (n ? 2) 。 2.等差数列

的通项: an ? a1 ? (n ?1)d 或 an ? am ? (n ? m)d 。 n(a1 ? an ) n(n ? 1) d d =na1 ? d ? n 2 ? (a1 ? )n 。 3.等差数列的前 n 和: Sn ? 2 2 2 2 a?b 4.等差中项:若 a, A, b 成等差数列,则 A 叫做 a 与 b 的等差中项,且 A ? 。 2 提醒: (1)等差数列的通项公式及前 n 和公式中,涉及到 5 个元素: a1 、 d 、 n 、 an 及 Sn , 其中 a1 、 d 称作为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个,便可求出其余 2 个,即知 3 求 2。 (2)为减少运算量,要注意设元的技巧。 三.等差数列的性质: 1.当公差 d ? 0 时,等差数列的通项公式 an ? a1 ? (n ?1)d ? dn ? a1 ? d 是关于 n 的一次函数,且 n(n ? 1) d d d ? n 2 ? (a1 ? )n 是关于 n 的二次函数且常数项为 0. 斜率为公差 d ; 前 n 和 Sn ? na1 ? 2 2 2 2.若公差 d ? 0 ,则为递增等差数列,若公差 d ? 0 ,则为递减等差数列,若公差 d ? 0 ,则 为常数列。 3.当 m ? n ? p ? q 时,则有 am ? an ? a p ? aq ,特别地,当 m ? n ? 2 p 时,则有 am ? an ? 2a p . 4.若 {an } 、{bn } 是等差数列,则 {kan } 、{kan ? pbn } ( k 、 p 是非零常数)、{ap?nq }( p, q ? N * ) 、

Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n ,?也成等差数列,而 {a an } 成等比数列;若 {an } 是等比数列,且 an ? 0 , 则 {lg an } 是等差数列. 5. 在等差数列 {an } 中, 当项数为偶数 2n 时, 项数为奇数 2n ? 1 时, S偶-S奇 ? nd ; S奇 ? S偶 ? a中 ,
; S奇 S S2n?1 ? (2n ?1) ? a中 (这里 a中 即 an ) :


? k ( : ) 1?k



6.等差数列前 n 项和 Sn 的最值问题。 “首正”的递减等差数列中,前 n 项和的最大值是所 有非负项之和; “首负”的递增等差数列中,前 n 项和的最小值是所有非正项之和。法一:由
? an ? 0 ? an ? 0 ? 确定出前多少项为非负(或非正) 不等式组 ? ;法二:因等差数列前 n 项是 或? ?? ? a ? 0 ? an ?1 ? 0 ? ? ? n ?1

关于 n 的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要注意数列的特殊性 n ? N * 。 四.等比数列的有关概念: 1.等比数列的判断方法:定义法 an ?1 ? q(q为常数) ,其中 q ? 0, an ? 0 或 an ?1 ? an (n ? 2) 。
an an an ?1

2.等比数列的通项: an ? a1qn?1 或 an ? amqn?m 。
? a1 (1 ? q n ) ,q ?1 ? 3.等比数列的前 n 和: S n ? ? 1 ? q 。特别提醒:等比数列前 n 项和公式有两种形式,为此 ?na , q ? 1 ? 1
在求等比数列前 n 项和时,首先要判断公比 q 是否为 1,再由 q 的情况选择求和公式的形式,当不能判断 公比 q 是否为 1 时,要对 q 分 q ? 1 和 q ? 1 两种情形讨论求解。

4.等比中项:若 a, A, b 成等比数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等比中项。提醒:不是任何两数都有等比中
项,只有同号两数才存在等比中项,且有两个 ? ab 。等比数列数列中,所有奇数项或偶数项同号。

提醒: (1)等比数列的通项公式及前 n 和公式中,涉及到 5 个元素: a1 、 q 、 n 、 an 及 Sn ,
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总复习——数列

其中 a1 、 q 称作为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个,便可求出其余 2 个,即知 3 求 2; (2)为减少运算量,要注意设元的技巧。 5.等比数列的性质: (1)当 m ? n ? p ? q 时,则有 am ? an ? ap 2 . an ? a p ? aq ,特别地,当 m ? n ? 2 p 时,则有 am ? (2)若 {an } 是等比数列,则 {| an |} 、 {ap?nq }( p, q ? N * ) 、{kan } 成等比数列;若 {an }、 {bn } 成等比

a 数 列 , 则 {anbn } 、 { n } 成 等 比 数 列 ; 若 {an } 是 等 比 数 列 , 且 公 比 q ? ?1 , 则 数 列 bn Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n ,?也是等比数列。
(3)若 a1 ? 0, q ? 1 , 则 {an } 为递增数列; 若 a1 ? 0, q ? 1 ,则 {an } 为递减数列; 若 a1 ? 0,0 ? q ? 1 , 则 {an } 为递减数列;若 a1 ? 0,0 ? q ? 1 ,则 {an } 为递增数列;若 q ? 0 ,则 {an } 为摆动数列;若 q ? 1 ,则 {an } 为常数列. (4)当 q ? 1 时, S n ?
? a1 n a q ? 1 ? aqn ? b ,这里 a ? b ? 0 ,但 a ? 0, b ?0 ,这是等比数列前 1? q 1? q n 项和公式的一个特征,可据此判断数列 {an } 是否为等比数列。

(5)如果数列 {an } 既成等差数列又成等比数列, 那么数列 {an } 是非零常数数列, 故常数数列 {an } 仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。 五.数列的通项的求法: ⑴公式法:①等差数列通项公式;②等比数列通项公式。

S ,(n ? 1) ⑵作差法:已知 Sn (即 a1 ? a2 ? ? ? an ? f (n) )求 an , an ? S1 ? S ,(n ? 2) 。 n n ?1

?

f (1), (n ? 1) ? ? ⑶作商法:已知 a1 ? 。 a2 ? ?? an ? f (n) 求 an , an ? ? f (n) , (n ? 2) ? f ( n ? 1) ? ⑷累加法:若 an?1 ? an ? f (n) 求 an , an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ?? (a2 ? a1 ) ? a1 (n ? 2) 。 a a a a ⑸累乘法:已知 n?1 ? f (n) 求 an , an ? n ? n ?1 ? ? ? 2 ? a1 (n ? 2) 。 an an ?1 an ? 2 a1 ⑹待定系数法:已知递推关系求 an ,形如 an ? kan?1 ? b ( k , b 为常数)的递推数列都可以用待 定系数法转化为公比为 k 的等比数列后,再求 an 。 an ?1 ⑺形如 an ? 的递推数列都可以用倒数法求通项。 kan ?1 ? b 注意: (1)用 an ? S n ? S n?1 求数列的通项公式时,注意等式成立的条件( n ? 2 ,当 n ? 1 时,

a1 ? S1 ) ; (2) 一般地当已知条件中含有 an 与 Sn 的混合关系时, 常需运用关系式 an ? S n ? S n?1 , 先将已知条件转化为只含 an 或 Sn 的关系式,然后再求解。 六.数列求和的常用方法: 1. 公式法: ①等差数列求和公式; ②等比数列求和公式, 特别声明: 运用等比数列求和公式, 务必检查其公比与 1 的关系,必要时需分类讨论.;③常用公式: 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 1 n(n ? 1) , 2 n ( n ? 1) 12 ? 22 ? ? ? n2 ? 1 n(n ? 1)(2n ? 1) , 13 ? 23 ? 33 ? ? ? n3 ? [ ]2 . 6 2 2.分组求和法:在直接运用公式法求和有困难时,常将“和式”中“同类项”先合并在一起, 再运用公式法求和. 3.倒序相加法:若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联, 则常可考虑选用倒序相加法,发挥其共性的作用求和.
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总复习——数列

4.错位相减法:如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成, 那么常选用错位相减法. 5.裂项相消法:如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式,且相邻项分裂后相关联,那么 常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有: 1 ① 1 ? 1 ? 1 ;② ? 1 (1 ? 1 ) ; n(n ? 1) n n ? 1 n(n ? k ) k n n ? k 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ), ? ③ 2? 2 ? ? 2? ? ? ; k k ?1 2 k ?1 k ?1 k k ? 1 (k ? 1)k k (k ? 1)k k ? 1 k 1 1 1 1 n 1 1 ? [ ? ] ;⑤ ④ ; ? ? n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) (n ? 1)! n! (n ? 1)! 例题:
1.等差数列 {an } 和 {bn } 的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn,且

a5 Sn 2n ,则 ? b5 Tn 3n ? 1

A.

2 3

B.

9 14

C.

20 7 D. 31 9


2.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 a2 ? a7 ? a12 ? 24 ,则 S13 ? ( (A)52(B)78 (C)104(D)208 ) 3.如果等差数列 ?an ? 中, a3 + a 4 + a5 =12,那么 a1 + a 2 +?+ a 7 =( A.14 B.21 C.28 D.35

4.等差数列 ?an ? 的前 m 项和为 30,前 2 m 项和为 100,则它的前 3m 项的和为( (A)130 (B)170 (C)210 (D)260
?



5.已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n , a5 ? 5 , S5 ? 15 ,则数列 ? A.
100 99 99 101 B. C. D. 101 101 100 100

1 ? ? 的前 100 项和为( a a ? n n ?1 ?



6.已知 {an } 是公差为 A.

35 2

1 的等差数列, Sn 为 {an } 的前 n 项和.若 a2 , a6 , a14 成等比数列,则 S5 ? ( 2 25 B. 35 C. D. 25 2 5 5 S ,且 a2 ? a4 ? ,则 n ? ( 2 4 an




7.已知等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? a3 ?
n ?1 n B. 4 ? 1 n ?1

A. 4

C. 2

n D. 2 ? 1

8.等比数列 {an } 的各项为正数,且 a5a6 ? a4 a7 ? 18, 则log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? log3 a10 ? ( A.12 B.10 C.8 D.2+ log3 5



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总复习——数列

9. 若 a2 ? a3 ? 2a1 , 且 a4 与 2a7 的等差中项为 ?an ? 为等比数列,Sn 是它的前 n 项和, A.31 B.32 C.33 D.34 的公比 q ? 1 ,且 a 2 ,

5 , 则 S5 等于 ( 4



10.各项都是正数的等比数列

a ? a5 1 的值为( a3 , a1 成等差数列,则 4 a3 ? a 4 2




A.

B.

C.

D.

11.若数列 {an } 满足 a1 ? a2 ? a3 ????? an ? n2 ? 3n ? 2 ,则数列 {an } 的通项公式为___________. 12.数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 an ?

1 ,则 S5 ? . n ? n ? 1?

13.数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? an ? 2n ,则 a5 ? . 14.已知数列{an}的前 n 项和为 S n ,且 S n = 3n 2 ? 2n ? 1 ,则数列{an}的通项公式 an =. 15.若数列{ an }的前 n 项和 Sn ? n2 ? 3n ,则 16.在等差数列 {an } 中,若 a4 ? 3 ,则 S7 ? . 17.已知 ?an ? 是首项为 19,公差为-2 的等差数列, Sn 为 ?an ? 的前 n 项和. (Ⅰ)求通项 an 及 Sn ; (Ⅱ)设 ?bn ? an ? 是首项为 1,公比为 3 的等比数列,求数列 ?bn ? 的通项公式及其前 n 项和 Tn .

a4 ? a5 ? a6 的值为 ; a1 ? a2 ? a3

18. 已知数列 ?an ?的前 n 和为 S n ,且 S n 满足: Sn ? n2 ? n, n ? N? . 等比数列 ?bn ?满足: log 2 bn ? (Ⅰ)求数列 ?an ?, ?bn ?的通项公式; (Ⅱ)设 cn ? an ? bn ,求数列 ?cn ?的前 n 项的和 Tn .

1 an ? 0 . 2

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