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2016年高考数学命题的特点及规律

时间:2016-04-11


高考数学的命题特点及规律

高考数学的命题特点及规律
一、试题的命制情况
很大程度上是一致的
2.命题人员的组成和分工 3. 课程标准、考试大纲、考试说明的作用 4.难度控制
是选拔性考试,但不是纯选拔性考试、高考试题除了完成 最重要的选拔功能外,还肩负着多种使命。

1. 命制高考试题与我们命制模

拟试题、和各级各类考试题在

一、试题的命制情况
5. 一些看似简单、常规题目是如何出炉的
很多试题并非出自命题人员的初衷,而是在各种禁区、雷 池下的无奈选择。
例 1[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知{an}是递增的等差数列, a2,

a4 是方程 x2-5x+6=0 的根.
(1)求{an}的通项公式;
? ?an? ? ? (2)求数列 n?的前 ? ?2 ? ?

n 项和.
? ) ? 1 .(1)求 6

例 2[2011·北京卷Ⅰ]已知函数 f ( x) ? 4 cos x sin( x ?
f ( x) 的最小正周期;

(2)求 f ( x) 在区间 [?

? ? , ] 上的最大值和最小值。 6 4

一、试题的命制情况
6.尽量规避各地模拟题、最近几年的高考试题
7. 命题人的目标

知识与能力完美融合,传统与创新和谐统一。

二、试题的规律和特点
(一). 模式化特点
主干知识的要求、课标、考纲的要求、众人都需分一杯羹 的要求,特别是新课程的新增内容。

(二).创新题目的来源
命题人员的知识结构、高等数学在中学的渗透。
高校的教授对高等数学非常熟悉,或者研究的深入,所以 高等数学就是编拟创新题目的资源库。诸如:高斯函数、狄利 克雷、黎曼函数、群环域的有关概念性质(封闭、闭集等) 、 行列式的运算、向量差乘、多维向量空间,函数的凸性、积分 中值定理、 李普希兹条件、 新定义、 新运算等等。 总之一句话,

二、试题的规律和特点
只要高等数学的内容能运用初等方法来解释、来完成,都能成 为命制高考试题的素材。
1.(2013 年山东数学理)定义“正对数”: 有四个命题: ① 若 , 则 ;② 若 , 则 现

③若 ④若

,则 ,则

其中的真命题有__①③④_____.(写出所有真命题的编号)

(三).三角函数紧扣“基”与“变” ,小题力求“新”
基是基础,变是变化。三角函数题目一般属于容易题目,往往 与平面向量与解三角形练习在一起。命题人员也想出新,但这个出 新必须是在“基”字下的新。三角函数与圆锥曲线的命题方法是完 全不相同的,它不是根据某些结论编制的,而是根据课标、考纲等

命制的。尽管变化的空间不是很大,但命题人员确实在寻求变化。

(三).三角函数紧扣“基”与“变” ,小题力求“新”
1.(2013 年上海高考数学试题(文科) )本题共有 2 个小题. 第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知函数 f ( x) ? 2sin(? x) ,其中常数 ? ? 0 . (1) 令 ? ? 1 , 判断函数 F ( x) ? 由; (2) 令 ? ? 2 , 将函数 y ?
f ( x) 的图像向左平移

f ( x) ? f ( x ? ) 的奇偶性并说明理 2

?

? 6

个单位 , 再往

上平移 1 个单位,得到函数 y ? g ( x) 的图像.对任意的 a ? R ,求
y ? g ( x) 在区间 [a, a ? 10? ] 上零点个数的所有可能值.

(三).三角函数紧扣“基”与“变” ,小题力求“新”
1.(2012 山东)如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,E,F 分别为线段 AA1,B1C 上 的点,则三棱锥 D1-EDF 的体积为____.
2.(2011 全国Ⅰ文(6)如图,质点 p 在半径为 2 的圆周上逆时 针运动,其初始位置为 p0 ( 2 , ? 2 ) ,角 速度为 1, 那么点 p 到 x 轴距离 d 关于时间 t 的 函数图像大致为

(四).函数突出“活”与“形”
活是指灵活、是指综合,形是指数形结合。无论是新定义、创 新题,还是函数性质的考查都能编拟出灵活性较大的题目。我们经 常说知识+能力。 而这个能力的考查往往体现在于函数有关的问题。 这一方面的例子很多。

(五). 平面向量突出“形与算”
平面向量的引入就是要通过算的方式解决几何问题, 所以平面

向量的题目要突出数形结合与向量的运算。

(六). 均值不等式要突出“联合用”
联是指联系,也就是与其他知识联系,习惯在两个或多个知识

点的交汇出命题。用是体现均值不等式的工具性和应用。 (与平面向量、线性规划、函数、直线甚至是二项式定理等只要能
联系上的都去联系。 )

1. (2007 山东理 (16) 函数 y ? loga ( x ? 3) ?1 (a ? 0,且a ? 1) 的图象恒过定点 A , 若点 A 在直线 mx ? ny ? 1 ? 0 上, 其中 mn ? 0 , 则
1 2 ? 的最小值为 m n



2.(2014 山东理

? 2 b? 6 ? ax + 若? 的展开式中 ? ? x? ?

x3 项的系数为 20,则 a2+b2 的

最小值为________.

(七).传统、冷门不可忽视、一些看似超纲的内容仍然活跃
传统问题不可忽视,冷门也不可掉以轻心、还有一些问题尽管 前几年已经考过了,但也会卷土重来的。

一些传统问题看似很难考到,但是绝对不容忽视。
1.(07 山东)已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,椭圆
C 上的点到焦点距离的最大值为 3 ,最小值为 1 .

(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)若直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 A , B 两点( A,B 不是 左右顶点) ,且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点,求证:直 线 l 过定点,并求出该定点的坐标.直线过定点 ? ?
2 ? , 0? . ?7 ?

(七).传统、冷门不可忽视、一些看似超纲的内容仍然活跃
一些传统问题看似很难考到,但是绝对不容忽视。
.2012 年山东文理 过点 线 A. 作圆 的方程为 B. C. D. 的两条切线 , 切点分别为 , , 则直

. 全 国 卷 : 2013 ( 2013 年 高 考 新 课 标 1 ( 理 ) )已知椭圆
x2 y 2 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F (3, 0) , 过点 F a b

的直线交椭

圆于 A, B 两点.若 AB 的中点坐标为 (1, ?1) ,则 E 的方程为
x2 y 2 A. ? ? 1 45 36 x2 y 2 B. ? ? 1 36 27 x2 y 2 C. ? ? 1 27 18

x2 y 2 D. ? ? 1 18 9

(七).传统、冷门不可忽视、一些看似超纲的内容仍然活跃
还有一些看似超纲,但依然活跃在历年分考试题中,例 如函数的周期性、韦达定理等。因为教材中根本没有函数周 期性的概念,只是在三角函数中出现了函数的周期性,但尽 管如此函数的周期性依然经常考查。
2009 文理 已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) ,满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且在区间[0,2]上是 增函数,则( C. D. D ).A. f (?25) ?
f (11) ? f (80)

B.

f (80) ? f (11) ? f (?25)
y f(x)=m (m>0)

f (11) ? f (80) ? f (?25) f (?25) ? f (80) ? f (11)
-8 -6 -4 -2 0

2

4

6

8

x

(八).习惯在数列题目上创新
数列题目的考法: (1)以等差数列、等比数列的基本计算为切入点,然后求通 项公式;进而求和(裂项、错位) 、放缩,等。 (2) 或者以 S n 与 an 的关系为切入点, 求出通项后, 进而求和、 不等式放缩等等。 (3)以函数等为载体、进行递推公式或已知 S n 求 an 。求出通 项后然后在进行求和等 (4)经过函数、直线、平面向量、数表等的包装,但是一旦 转化为数列后将离不开这些数列的常规问题。

(八).习惯在数列题目上创新

(5)要特别注意从函数的角度去研究数列。要特别注意做一 些关于数列问题包装是题目。 (6)习惯在数列题目上出新。

(八).习惯在数列题目上创新
(2008 年山东文理) 将数列 ?an ? 中的所有项按每一行比上一行多一项的规 则排成如下数表: 记 表 中 的 第 一 列 数 a1,a2,a4,a7, 构 成 的 数 列 为 ?bn ? ,
2bn ? 1(n ≥ 2) 2 b1 ? a1 ? 1 . Sn 为数列 ?bn ? 的前 n 项和, b S ? S 且满足 n n n .

?1? ? ? (Ⅰ)证明数列 ? Sn ? 成等差数列,并求数列 ?bn ? 的通项公式;

(Ⅱ)上表中,若从第三行起,第一行中的数按从左到右的顺序均构成 等比数列,且公比为同一个正数.当 所有项的和.
a81 ? ? 4 91 时,求上表中第 k (k ≥3) 行

(八).习惯在数列题目上创新
(2012 年山东文) 已知等差数列 {a } 的前 5 项和为 105,且 a
n 20

? 2a5 .

(Ⅰ)求数列 {a } 的通项公式;
n

(Ⅱ)对任意 m ? N , 将数列 {a } 中不大于 7 的项的个数记为 b .求数列 {b }
*
n

2m

m

m

的前 m 项和 S .
m

(2012 山东理) 在等差数列 {an} 中, a3 ? a4 ? a5 ? 84 , a9 ? 73 . (Ⅰ)求数列 {an} 的通项公式;
m 2m * (Ⅱ)对任意 m ? N ,将数列 {an} 中落入区间 (9 ,9 ) 内的项的个数记 为 {bn} ,求数列 {bn}

的前 m 项和 Sm .

(九)概率与分布列突出“实和型”
型是模型(诸如古典概型、条件概率、二项分布、超几何分布等) 而实是指实际,与实际问题相联系,什么叫好题现实生活中的问题 与数学模型恰如其分而不是牵强的结合起来,就是好题。
有人说,理科的概率分布列应该属于创新行列。我不这么 认为,概率与分布列不是追求创新,而是追求与实际的完美结 合。概率不是新颖,而是力求联系实际,与实际问题相吻合。 但苦于找不到合适的案例,所以有时会事与愿违,但命题人员 的初衷却是如此,概率的初衷不是创新,而是应用。目标是贴 近生活、背景公平、控制难度。

(九)概率与分布列突出“实和型”
2010 年理

某学校举行知识竞赛,第一轮选拔共设有 A, B, C, D 四个问题, 规则如下: ①每位参加者计分器的初始分均为 10 分, 答对问题 A, B, C, D 分别加 1 分、 2 分、3 分、6 分,答错任一题减 2 分; 每回答一题, 计分器显示累计分数, 当累计分数小于 8 分时, 答题结束, 淘汰出局;当累计分数大于或等于 14 分时,答题结束,进入下

(九)概率与分布列突出“实和型”

一轮;当答完四题,累计分数仍不足 14 分时,答题结束,淘汰出局,

当累计分数大于或等于 14 分时, 答题结束, 进入下一轮; 当答完四题, 累计分数仍不足 14 分时,答题结束,淘汰出局; 每位参加者按问题 A, B, C, D 顺序作答,直至答题结束.

3 1 1 1 , , , A , B , C , D 假设甲同学对问题 回答正确的概率依次为 4 2 3 4 ,且各题回答

正确与否相互之间没有影响. (Ⅰ)求甲同学能进入下一轮的概率;

(Ⅱ) 用 ? 表示甲同学本轮答题结束时答题的个数, 求 ? 的分布列和数学 的 E? . 其实初衷是好的,但是题目不容易做,不是很成功。

(十)理科立体几何向量法包打天下的局面有所改变
理科立体几何历年来都是两条腿走路,即一个题目既适合于向量 法、又适合于几何法。但 2014 年由所改变,就是在证明平行的过程 中,很难用向量法证明,也就是说向量法包打天下的局面可能有所 改变。
[2014· 山东卷] 如图 13 所示,在四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中, 底面 ABCD 是等腰梯形, ∠DAB=60° , AB=2CD=2,M 是线段 AB 的中点.

(1)求证:C1M∥平面 A1ADD1; (2)若 CD1 垂直于平面 ABCD 且 CD1= 3, 求平 面 C1D1M 和平面 ABCD 所成的角(锐角)的余弦值.

(十一)导数突出“用”与“分” 用就是导数的应用,即用导数来研究函数的单调性与极值。分
主要是考查分类讨论的思想方法。 主要包括:导数的几何意义、导数与函数的单调性、极值、用 导数解决不等式问题、恒成立问题、分离参数以及式子的变形 与调整、构造函数等等。
分类讨论、恒成立问题、构造函数、式子的调整、单调性极值 的变式、不等式问题。

(十一)导数突出“用”与“分”
特点 1:要时刻注意几个常见函数 一定要注意这些函数:
ln x ln(1 ? x) 1 ? ln x e x f ( x) ? x ln x, , , , , e x ? ax, e x ? e ? x x x x x ?1

很多函数都是在此基础上进行构造、变形得到的。

(十一)导数突出“用”与“分”
例 1 函数 f ( x) ? x ln x (1)求函数 y ?
f ( x) 的图像在 x ? e 处的切线方程;

(2)设实数 a ? 0, 求函数 F ( x) ? (3)求证: x ? (0,

f ( x) 在 [a,2a] 上的最小值; a

? ?) , ln x ? 1 ? 2. x ex e

(十一)导数突出“用”与“分”
特点 2:函数是如何构造出来的

函数是如何构造出来的;所谓的编题就是构造函数。
首先确定是多项式函数、还是指对函数、分式函数、根式函数 指对函数是单独的指数函数、对数函数,还是指对函数组合在一起 一个省份往往是指数函数、对数函数交替出现。 在很大程度上是先有的导函数,再有是原函数。 再把原函数适当调整,这样就出现了式子的调整与变形。 分离参数是从方法的需要, 式子的调整是在原函数的基础上适当变 形所致。

(十一)导数突出“用”与“分”

特点 3:不等式问题来源于基本不等式
不等式问题除了一般运用导数与单调性、导数与最值的关 系求解以外,往往不等式问题来源于一些常见的不等式,这里 称之为基本不等式:
x ? ln(1 ? x) ? x( x ? 0) 源头: 1? x 适当给 x 赋值,可得出很多不等式,或者说很多不等式问题的

源头。

转化为指数式: e
等等,

x 1? x

? 1 ? x ? e x ( x ? ?1)

1 1 1 1 ln(1 ? ) ? ; ln(1 ? 2 ) ? 2 n n n n ln n ? n ? 1 : ln n 2 ? n 2 ? 1

(十一)导数突出“用”与“分”

特点 3:构造函数是有规律的
1.(10 辽宁文 已知函数 f ( x) ? 1 x 2 ? ax ? (a ? 1) ln x, a ? 1
2

(1) 讨论函数 f ( x) 的单调性; (2) 证 明 : 若
a?5

, 则 对 于 任 意 x1 , x2 ? (0,??), x1 ? x2 , 有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?1 x1 ? x2

(十一)导数突出“用”与“分”
特点 4:式子变形与调整来源于常见函数、来源于题目中的函 数
1.(’10 新课标文 21)设函数 f ( x) ? x ? e x ? 1? ? ax 2 (Ⅰ)若 a= 1 ,求 f ( x) 的单调区间;[来源:学科网]
2

(Ⅱ)若当 x ≥0 时 f ( x) ≥0,求 a 的取值范围。

(十一)导数突出“用”与“分”

特点 5:向新创意、新变式、新背景转变
1.【2015 高考山东,文 20】.设函数 知曲线 y ?
x2 f ( x) ? ( x ? a) ln x, g ( x) ? x e

。已

f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线与直线

2x-y=0 平行。

(1)求 a 的值; (2)是否存在自然数 k, 使得方程 f ( x) ? g ( x) 在(k,k+1)内存在唯 一的根?如果存在,求出 k;如果不存在说明理由; (3)设函数表示 m( x) ? min{f ( x), g ( x)}(min{p, q} 表示 p,q 中的较小 值。求 m(x)的最大值。

(十二)圆锥曲线突出“法”与“算”
导数题编制的关键是构造函数、 那么圆锥曲线的编题方法数要 是寻找结论。是先有的结论,然后再根据结论进行改编。 运算是如今的考试必须重视的,控制思维量、加大运算量。 我们教学时一定强调,导数一定过讨论关,圆锥曲线一定过方
法关、运算关。其实近几年的圆锥曲线题目更侧重于运算。方法还 是比较常规的。为什么这样呢?这与命题人的苦衷有关系,因为圆 锥曲线是压轴题,压轴题不能简单,简单了肯定不行。但太难、或 是思维量太大又怕把很多人拒之门外, 所以又不敢出思维量太大的 题目,最后就只剩下运算了,谁有能耐谁就能算出来,没有能耐就 算不出来,但不能说题目难。

(十二)圆锥曲线突出“法”与“算”
特点 1:基本方法为出发点

这类题目往往是传统问题、传统方法的翻新。或是老问题的 新包装。诸如垂直问题、对称问题、点差法。
1.(2015 福建理) 已知椭圆 E: 离心率为
2 2

x2 y 2 + 2 = 1(a > b > 0) 过点 (0, 2),且 2 a b



(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设直线 x = my - 1,(m ? R)交椭圆 E 于 A,B 两点,判断点 G
9 (- ,0)与以线段 4

AB 为直径的圆的位置关系,并说明理由.

(十二)圆锥曲线突出“法”与“算”
2. (2015 福建文)已知点 F 为抛物线 E : y2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点,点
A(2, m) 在抛物线 E 上,且 AF ? 3 .

(Ⅰ)求抛物线 E 的方程; (Ⅱ)已知点 G(?1, 0) ,延长 AF 交抛物线 E 于点 B ,证明:以点
F

为圆心且与直线 GA 相切的圆,必与直线 GB 相切.

(十二)圆锥曲线突出“法”与“算”
3. (2015 浙江理) 已知椭圆 关于直线
x2 ? y 2 ? 1 上两个不同的点 2

A,B

1 y=mx+ 对称. 2

(1)求实数 m 的取值范围; (2)求 AOB 面积的最大值(O 为坐标 原点) .

(十二)圆锥曲线突出“法”与“算”

特点 2:由圆锥曲线的性质、结论为出发点
x2 y 2 结论 1:若 PQ 是椭圆 2 ? 2 ? 1(a>b>0)上对中心张直角 a b 的弦,则 12 ? 12 ? 12 ? 12 (r1 ?| OP |, r2 ?| OQ |) . r1 r2 a b x2 y 2 若椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)上中心张直角的弦 L 所在直线 a b 1 1 2 2 ? ? A ? B 方 程 为 Ax ? By ? 1 ( AB ? 0) , 则 (1) ;(2) 2 2 a b

2 a 4 A2 ? b4 B2 L? 2 2 2 2 a A ?b B

.

(十三)试题突出的数学思想方法

我们学习数学除了学习数学知识,更重要的是学习数学思想方法,

于是试题一定要体现数学思想方法。就是老师们开一堂公开课还要考虑 如何体现渗透数学思想方法的内容呢?何况是一份包含整个高中数学 内容的高考试题呢?那么在高考试题中一般体现哪些数学思想方法

呢?要解决这个问题,我们先看中学数学渗透了哪些思想方法,以及命

题人员对那些方法情有独钟,也就是说习惯在哪些思想方法上做文章。
高中数学涉及到的数学思想方法主要有:函数与方程思想、数形结合、 转化与划归、等量替换、换元、分类讨论、配方法、放缩不等式、待定系数 法等等。

在一份试题中体现这么多的数学思想方法是不现实的,只能体现其中的

一部分。如果按照顺位的话,我认为:数形结合、分类讨论、函数与方程思 想、换元、划归是最应该引起重视的。
数形结合是命题人员最情有独钟的,几乎每一年的高考试题都要再 2-3 个地方、甚至还多的涉及到数形结合,其中几乎每年都有一个给出图像判别 解析式的题目, 其次最后的选择、 填空也往往涉及数形结合、 另外平面向量、 复数的集合意义、线性规划、直线与圆、圆锥曲线等等数形结合也是无孔不 入。

另外,分类讨论也是几乎每年都重点考察的思想方法,例如导数题 目几乎每年都涉及分类讨论, 2014 年的数列也涉及到分类讨论, 有时候 一些小题也往往涉及到分类讨论。

函数与方程思想也是重点考查的数学思想方法之一,常出现在用方 程研究函数(根、零点个数等) ,用函数的方法研究方程等。 另外,换元思想,转化思想,划归思想等等也是命题人员重点考虑

的问题。其实这些思想方法主要体现在一些综合问题中的一些解题策略 之类的。例如圆锥曲线中换元后再求最值、或者把一些复杂函数的问题 通过换元转化为常见的简单函数问题。其实在问题解决过程中都离不开 诸如:特殊化策略、语言转换策略、整体处理策略、通性通法策略、 (回 归概念策略 、数形结合策略、分类讨论策略、等价转化策略、正逆突 破策略、代数计算策略等等。这都属于数学思想方法的范畴。

自编题 1:

三、几个自编题目
2

1.方程 2 x ?1 ? | x 2 ? 1 |? ? 1 的实根个数为





(A )2 (B)3 (C)4 (D) 5 编写意图主要是受下面一个易错题的启发:
若函数 y ?| ? x2 ? 4x ? 3 | 的图像 C 与直线 y ? kx 相交于点 M(2, 1),那么曲线 C 与该直线的交点的个数为(
高考题:



A.1

B.2

C.3

D.4

(2010 山东文数) (11)函数 y ? 2x ? x2 的图像大致是(A)

自编题 2: 函数 y ? [ x] ( [ x] 表示不大于 x 的最大整数)称为“取整 函数” ;定义 y ? {x} ( {x} 表示不小于 x 的最小整数)为“取 上整函数” ;例如 {3.2} ? 4, {4} ? 4 .某停车场收费标准为每小时 2 元,即不超过 1 小时(包括 1 小时)收费 2 元,超过一 小时,不超过 2 小时(包括 2 小时)收费 4 元,以此类推. 若李刚停车时间为 x 小时,则李刚应缴费为(单位:元) (A) 2[ x ? 1] (B) 2([x] ? 1) (C) 2{x} (D)
{2 x}

受实际问题中的案例启发,特别是取整函数、四舍五 入、 最近的整数等都涉及过了, 唯独取上整函数没有涉及。 而取上整在现实生活中又是常常遇到的。
例如:给出定义:若 m ? 1 ? x ? m ? 1 (其中 m 为整数) ,
2 2

则 m 叫做离实数 x 最近的整数,记作 {x} ,即

{x} ? m .

在此

基础上给出下列关于函数 f ( x) ?| x ? {x} | 的四个命题: ①函数 y ? f ( x) 的定义域是 R ,值域是[0, 1 ];
2

②函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? k (k∈Z)对称;
2

③函数 y ? f ( x) 是周期函数,最小正周期是 1; ④ 函数 是 .
y ? f ( x)



? 1 1? ?? 2 , 2 ? ? ?

上是增函数. 则其中真命题

后来在措辞上有改动了一下。 我们定义函数 y ? [ x] ( [ x] 表示不大于 x 的最大整数)为 “下整函数” ;定义 y ? {x} ( {x} 表示不小于 x 的最小整数) 为“上整函数” ;例如 ?4.3? ? 4, ?5? ? 5; {4.3} ? 5, {5} ? 5 .某停车场收 费标准为每小时 2 元,即不超过 1 小时(包括 1 小时)收 费 2 元,超过一小时,不超过 2 小时(包括 2 小时)收费 4 元,以此类推.若李刚停车时间为 x 小时,则李刚应缴费 为(单位:元) (A) 2[ x ? 1] (B) 2([x] ? 1) (C) 2{x} (D) {2 x}

自编题 3: 已 知 函 数 f ( x) ? ?
?1, x是有理数 ,下列命题是真命题的是 ?0, x是无理数

(只填命题序号). ①函数 f ( x) 是偶函数;②对任意 x ? R , f ( x ? 2) ? f ( x) ; ③对任意
f ( x ? y) ?

x?R



f ( x ? 2) ? f ( x)

;④对任意

x, y ? R



1 ( f ( x) ? f ( y )) ; 2
f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,则 x, y 都为无

⑤若存在 x, y ? R ,使得 理数.

此题的编写意图主要是想结合一些高等数学的内容和 知识,而狄里克莱函数也是一个非常重要的函数。

高考题: (2012
? ?1, x为有理数 年高考 (福建理) ) 设函数 D( x) ? ? ,则下列 ? ?0, x为无理数

结论错误的是 A. D( x) 的值域为 ?0,1? B. D( x) 是偶函数 C. D( x) 不是周期函数 D. D( x) 不是单调函数

自编题 4: 张明要参加某单位组织的招聘面试 . 面试要求应聘者 有7次选题答题的机会(选一题答一题) ,若答对4题即终止 答题,直接进入下一轮,否则则被淘汰.已知张明答对每一 道题的概率都为 1 .
2

(Ⅰ)求张明进入下一轮的概率; (Ⅱ)设张明在本次面试中答题的个数为 ? ,试写出 ? 的分 布列,并求 ? 的数学期望. 编写意图,受电视有奖竞答节目的启发。

2010 年理 某学校举行知识竞赛,第一轮选拔共设有 A, B, C, D 四个问题, 规则如下: ① 每 位 参 加 者 计 分 器 的 初 始 分 均 为 10 分 , 答 对 问 题
A, B, C , D 分别加

1 分、2 分、3 分、6 分,答错任一题减 2

分; 每回答一题,计分器显示累计分数,当累计分数小于 8 分 时, 答题结束, 淘汰出局; 当累计分数大于或等于 14 分时, 答题结束,进入下一轮;当答完四题,累计分数仍不足 14 分时,答题结束,淘汰出局,当累计分数大于或等于 14 分 时,答题结束,进入下一轮;当答完四题,

自编题 5:2010 年中国男子篮球职业联赛将由广东宏远队 和上海大鲨鱼队争夺参加决赛的一个名额,比赛采用 5 场 3 胜制,根据以往战绩统计,每场比赛广东队获胜的概率 为 ,上海队获胜的概率为 . (Ⅰ)求广东队在 0:1 落后的情况下,最后获胜的概率 (结 果用分数表示). (Ⅱ)前 3 场比赛,每场比赛主办方将有 30 万元的收益, 以后的每场比赛将比前一场多收益 10 万元, 求本次比赛主 办方收益的数学期望(结果精确到小数点后一位数字).
2 3 1 3

自编题 6: 中央电视台《星光大道》节目每周一次,每月四次, 前三周每周 4 名选手参加比赛,每周选出一名周冠军,第 四周要在前 3 周落选的 9 名选手中再选一名,与前 3 周的 周冠军一起角逐月冠军.假设在每一次角逐中,每个人获胜 的概率都相等.求 (1) 选手甲获得月冠军的概率. (2) 选手甲获得周冠军没有获得月冠军的概率. (3) 选手甲获得月冠军而没有获得周冠军的概率.

自编题 7: 小峰买了一张票到游乐场射击,按规定一张票可射击 5 次,若在 5 次中至少射中 3 次(包括 3 次) ,游乐场将再 增 2 次(即允许免费再射击 2 次) ,若小峰一次射击命中的 概率为 ,且各次射击相互独立. (Ⅰ)求小峰射中 2 次的概率; (Ⅱ)求小峰射中 4 次的概率. (3)求小峰射击命中次数的分布列
1 2

y

自编 15
x2 y2 已知椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的一 a b
M

P

o

个顶点为 B(0,1) ,过焦点且垂直于

x

N Q

长轴的弦长为 2 ,直线 l 交椭圆 C1 于 M , N 两点. (Ⅰ) 求椭圆 C1 的方程; (Ⅱ) 若 ?BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点 F , 求直线 l 的方程;
x2 y2 (Ⅲ) 直线 l 与椭圆 C2 : 2 ? 2 ? ? (? ? R, ? ? 1) 交于 P, Q 两点 (如图) , a b

求证 | PM |?| NQ | .

总之,高考试题是有规律的、是有套路的,只要老师们认 真去研究、认真去比较、认真去分析、认真去体会,是完全可 以洞察其中的奥妙、 认识其中的规律、 让我们的学生从中受益。 以上是本人对高考试题的一些规律总结、认识不一定到位、甚 至还可能出现某些错误,恳请老师们批评指正,也希望我们能 够相互切磋、交流,使我们的认识不断提升!


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