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北京市石景山区2013届高三一模 数学理试题

时间:2014-10-09


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2013 年石家庄市高中毕业班教学质量检测(一) 高三数学(理科)
一、选择题(60 分) 1、若集合 A={x|x>-2},B={x|-3<x<3},则 A A、{x|x>-3} C、{x|x>-2} B、{x|-3<x<3} D、{x|-2<x<3} B=

2、若 a, b ? R ,i 为虚数单位

,且 a+2i=i(b+i) ,则 a+b= A、-1 B、1 C、2 D、3 2 2 3、双曲线 3x -y =12 的实轴长是 A 、4 B、6 C、2 2 D、4 2

4、采用系系统抽样方法从 480 人中抽取 16 人做问卷调查,为此将他们随机编号为 1 、2、…、 480, 分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 8 抽到的 16 人中, 编号落人区间 [1, 160]的人做问卷 A,编号落入区问[161,320]的人做问卷 B,其余 的人做问卷 C,则被抽到的人中,做问卷 B 的人数为 A、4 B、5 C、6 D、7 5、如右图所示,程序框图输出的结果为 A、15 B、16 C、136 D、153

?x ?1 ? 0 ? 6、在平面直角坐标系中,不等式组 ? x ? y ? 0 ,表示的平面区域 ?x ? y ? 4 ? 0 ?
的面积是 A、3 B、

9 2

C、6

D、9

7、如图所示,若向正方形 ABCD 内随机投入一质点,则所投的质点恰好 落在 CE 与 y 轴及抛物线 y=x2 所围成的阴影区域内的概率是 A、

1 5

B、

1 6

C、

1 7

D、

2 3

8、函数 y ?

x2 ? cos 2 x 的图象大致是 3

1

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9、若 cos( A、

?

1 4

7 ? ? 2 x) ? ? ,则 sin( x ? )学科网 的值为 3 8 3 7 1 7 B、 C、± D、± 8 4 8

10、已知圆 x2+y2-2x-4y+a-5=0 上有且仅有两个点到直线 3x-4y-15=0 的距离为 1,则实 数 a 的取值范围为 A、 (5,7) B、 (-15,1) C、 (5,10) D、 (- ? ,1) 11、如图,棱长为 1 的正方体 ABC-A1B1C1D1 中,E,F 为 A1C1 上两动点,且 EF= 中错误的是 A、BD⊥CE B、△CEF 的面积为定值 C、直线 BC 与平面 CEF 所成的角为定值 D、直线 BE 与 CF 所成的角为定值 12、 已知单位向量 e 与向量 a, b 满足: |a-e|=|a|, (a-b) ? (b -e)=0,对每一个确定的向量 a,都有与其对应的向量 b 满足以上 条件,设 M,m 分别为|b|的最大值和最小值,令 t=|M-m|, 则对任意的向量 a,实数 t 的取值范围是 A、 [0,1] B、 [0,

1 ,则下列结论 2

1 ] 2

C、 [

1 , ?? ] 2

D[1, ?? ]

二、填空题(20 分) 13、在 ( x ?

1 6 ) 的展开式中,常数项为_____(用数字作答) 。 x2

14、某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为___

? 1 x ?( ) , x ? 1 15、若函数 f ( x) ? ? 2 ,则 f(x)≥2 的解集为___ ? ?log 2 x, x ? 1
16、当 n ? N * 时,定义函数 N(n)表示 n 的最大奇因数,如

则 S(n)=____(用关于 n 的代数式表示) 。 三、解答题(70 分) 17、 (本小题满分 10 分)已知等差数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,且 a3 ? 2a7 , S4 ? 17 (1)求数列{ an }的通项公式。 (2)求数列{ an }的前 n 项和 Sn 的最大值。

2

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18、 (本小题满分 12 分) 在一次抗雪救灾中,需要在 A,B 两地之间架设高压电线,为测量 A,B 两地的距离,救援人 员在相距 l 米的 C,D 两地(A,B,C,D 在同一平面上) ,没得∠ACD=45°,∠ADC=75°,∠BCD =30°,∠BDC=15°(如右图) 。考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因,实际所需电线长度 大约应该是 A,B 距离的 1.2 倍,问救援人员至少应该准备多长的电线?

19、 (本小题满分 12 分) 如图,已知四棱锥 P-ABCD 的底面为矩形,PA⊥底面 ABCD,且 AB= 2 ,BC=1,点 E,F 分别为 AB,PC 中点。 (I)当 PA 的长度为多少时,EF⊥PD; (II)在(I)的前提下,求二面角 B-PC-D 的余弦值。

20、 (本小题满分 12 分) 为参加部队射击比赛,甲、乙两人进行了 4 天的集中训练,每天的射击数据如下表 甲射击数据表: 乙射击数据表:

将射击环数的频率视为概率,估计他们的比赛成绩。 (I)求甲、乙两人射击环数 X1,X2 的分布列,根据射击环数的期望与方差比较两人的射击水平; (II)若射击成绩在 9 环以上(含 9 环)为成绩优秀,求甲在 3 次射击中至少有 2 次成绩优秀的概 率。

21、 (本小题满分 12 分)

3

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已知椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右顶点、上顶点分别为 M,N,过其左焦点 F(-c,0) a 2 b2

作垂直于 x 轴的直线 l,且与椭圆在第二象限交于 P 点, MN ? ? OP 。 (1)求椭圆 C 的离心率; (2)若椭圆的弦 AB 过点 E(

2 5 c ,0)且不与坐标轴垂直,设点 A 关于 x 轴的对称点 A1, 5

直线 A1B 与 x 轴交于点 R(5,0) ,求椭圆 C 的方程。

22、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

a ? ln x 。 x

(I)若 f(x)在 x=1 处取得极值,求实数 a 的值; (II)若 f(x)≥5-3x 恒成立,求实数 a 的取值范围。

数学(理科答案)
一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1-5ABABC 6-10DBCCB 11-12DC 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 15 14. 3 15. (??, ?1] [8, ??) 16.

4n 2 ? 3 3

三、解答题: 17.解: (Ⅰ)设等差数列 ?an ?的公差为 d . 由已知 a3 ? 2a7 , S 4 ? 17 ,

?a1 ? 2d ? 2(a1 ? 6d ) ? 得? ,………………2 分 4?3 4a1 ? d ? 17 ? ? 2

4

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?a1 ? 5 ?n 11 ? 解得 ? ? .……………5 分 1 ,? an ? 2 2 d ?? ? ? 2
(Ⅱ)法一:
2

S n ? 5n ?

n(n ? 1) ? 1 ? 1? 21 ? 441 . ?? ? ? ? ?n? ? ? 2 ? 2? 4? 2? 16 ……………8 分

1 ? 当 n 取10或11时, S n 取最大值 27 .……………10 分 2
法二: 数列 ?an ?的 a1 ? 0, 公差 d ? 0 ,

? 此等差数列 ?an ?是首项为正数的递减数列.
当 n ? 11 时, an ?

11 ? n ?0; 2
?

所以当 1 ? n ? 11且n ? N 时,有 an ? 0; 当 n ? 12且n ? N 时,有 an ? 0 .………………8 分 综上:当 n 取 10 或 11 时, S11 ? S10 ? 27 所以 S n 取最大值 27
?

1 . 2

1 .………10 分 2

18.解:依题意, CD ? l , ?ACD ? 45 0 , 在 ?ACD 中, ?CAD ? 180 0 ? ?ACD ? ?ADC ? 60 0 ,

根据正弦定理

CD sin 45 6 AD CD ,∴ AD ? ? l, ? ? ? sin 60 3 sin 45 sin 60

……….4分

在 ?BCD 中, ?CBD ? 180 0 ? ?BCD ? ?BDC ? 135 0 , ?BCD ? 30 0

根据正弦定理BD=

CD sin 30? 2 ? CD sin135? 2

, BD ?

CD sin 30 2 ? l sin135 2

…………………….8分

又在 ?ABD 中, ?ADB ? ?ADC ? ?BDC ? 90 0 根据勾股定理有

AB ? AD 2 ? BD 2 ?

2 1 42 ? CD = l 3 2 6

…………………………10分

5

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实际所需电线长度约为 1.2 AB ?

42 l ………………………….12 分 5

19.解:(Ⅰ)以 A 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系. 设 PA ? x , 则

P(0, 0, x), D( ?1, 0, 0), E (0,
……………2 分 又 EF ? (?

2 1 2 x , 0), C ( ?1, 2, 0), F ( ? , , ) 2 2 2 2

1 x , 0, ), PD ? (?1, 0, ? x) 2 2

EF ? PD ?

1 x2 ? 0? ? 0, 2 2

所以 x ? 1 , 当 PA 的长度为 1 时,EF⊥PD.………………5 分 (Ⅱ)法一:在 Rt ?PBC 中作 BN ? PC,? BN ?

3 1 , CN ? . 2 2

? CF=1? N 为 CF 中点。

取CD中点M,连结MN? MN//DF。 又? DF ? PC,? MN ? PC? ?MNB 为二面角 B-PC-D的平面角.…………9 分 在 ?MNB 中 BM ?

6 1 3 , , MN ? , BN ? 2 2 2 3 3 3 .…………12 分 3

? cos ?MNB = ?

? 二面角 B-PC-D的余弦值为 ?

法二:如图建立空间直角坐标系 A-xyz, 则 B( 0, 2 ,0 )P( 0,0,1 )C( ? 1, 2 ,0 )D( ? 1,0,0 ) 则 PB ? (0, 2 ,?1) , PC ? (?1, 2 ,?1) , PD ? (?1,0,?1) 设平面 PBC 的法向量 n1 ? ( x, y, z )

? n1 ? PB ? 0 , n1 ? PC ? 0 ?
2 y ? z ? 0,? x ? 2 y ? z ? 0 ,令 y ? 1 ,则 n1 ? (0,1, 2) ,……………8 分

6

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同理可得平面 PCD 的一个法向量 n2 ? (1, 0, ?1) ,………………10 分 则二面角 B-PC-D的余弦值 cos n1 , n2 = ?

3 ,……………12 分 3

20.解: (Ⅰ) 由甲射击数据表可知,总共射击 400 次,其中射击 7 环的频数为 40 次,8 环频数 为 80 次,9 环频数为 120 次,10 环的频数为 160 次. 故

P ? X1 ? 7 ? ?

40 ? 0.1 400 120 P ? X1 ? 9? ? ? 0.3 400

P ? X1 ? 8? ?

80 ? 0.2 400 160 P ? X 1 ? 10 ? ? ? 0.4 400

所以,甲射击环数 X 1 的分布列为

X1
P
同理可计算 乙射击环数 X 2 的分布列

7 0. 1 7 0. 2 8 0. 1

8 0. 2 9 0. 2

9 0. 3

10 0. 4 10 0. 5

X2
P

…………………………………4 分

E ? X 1 ? ? 9,

D ? X 1 ? ? 1 ; E ? X 2 ? ? 9,

D ? X 2 ? ? 1.4

…………………………………………………………6 分 甲乙两人射击环数均值相等,甲射击环数方差比乙射击环数方差小,因此甲乙射击的平均水平没 有差别,但甲发挥比乙稳定. ………………8 分 (Ⅱ)甲在一次射击成绩优秀的概率 P ? 0.3 ? 0.4 ? 0.7 甲在 3 次目标射击中至少有 2 次成绩优秀的概率为:

C32 ? 0.7 2 ? 0.3 ? C33 ? 0.7 3 ? 0.784

…………………………12 分
y
A P N

x2 y 2 21. 解: (Ⅰ)由椭圆方程 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 得 M 、 N 的坐标为 a b
? x ? ?c b2 ? M (a, 0) , N (0, b) , 则 MN ? (?a, b) , 又由 ? x 2 y 2 , 得 P ( ? c, ) a ? 2 ? 2 ?1 b ?a
由 MN ? ? OP (? ? 0) 得 b ? c ……………….2 分

F1

E B A1

M

R

x

椭圆的离心率为

2 .…………….4 分 2

7

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A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 )





k A1 R ? k BR



? y1 y2 ? x1 ? 5 x2 ? 5





k AE ? k BE 得

? y1 ? y2 , ? 2c 2c ? x1 ? x2 5 5

2c 5 ? x2 ? y 2 5 ,于是 20c ? 2 5 x x ? (2c ? 5 5)( x ? x ) .…………8 分 ? ? 则 1 2 1 2 2c 5 ? x1 y1 ? x1 5 x2 ?
? x 2 ? 2 y 2 ? 2c 2 2c ? 设直线 AB : y ? k ( x ? ) ,则由 ? 2c 得 y ? k ( x ? ) 5 ? 5 ?

(1 ? 2k 2 ) x 2 ?

8k 2c (8k 2 ? 10)c 2 x? ? 0. 5 5

x1 ? x2 ?

(8k 2 ? 10)c 2 8k 2c x x ? , .…………10 分 1 2 5(1 ? 2k 2 ) 5(1 ? 2k 2 )
(8k 2 ? 10)c 2 8k 2c .解得 c ? 5 ? 20 c ? (2 c ? 5 5) ? 5(1 ? 2k 2 ) 5(1 ? 2k 2 )

代入得 2 ?

所以椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 .…………12 分 10 5
x?a . x2

22.解: (Ⅰ)函数 f ( x) 定义域为 (0, ??) , f '( x) ? ?

f '(1) ? 0 ,即 a ? ?1 .…………2 分
经检验, a ? ?1 符合题意.………………….4 分 (Ⅱ)设 g ( x) ? f ( x) ? 3 x ? 5 ?

a ? ln x ? 3 x ? 5 ,则当 x ? 0 时, g ( x) ? 0 恒成立. x

g (1) ? a ? 2 ? 0 ,所以 a ? 2 .…………6 分

g '( x) ?
域内.

3x 2 ? x ? a .方程 g '( x) ? 0 有一负根 x1 和一正根 x2 . x1 ? 0 ? x2 .其中 x1 不在函数定义 x2

在 ( x2 , ??) 上是增函数. 即 g ( x) 在定义域上的最小值为 g ( x2 ) . ………8 g ( x) 在 (0, x2 ) 上是减函数, 分
8

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依题意 g ( x2 ) ? 0 .即 g ( x2 ) ?

a a ? ln x2 ? 3 x2 ? 5 ? 0 .又 3 x2 2 ? x2 ? a ? 0 ,所以 ? 3 x2 ? 1 , x2 x2

因为 分

a 1 所以 g ( x2 ) ? 3 x2 ? 1 ? ln x2 ? 3 x2 ? 5 ? 0 , 即 6 x2 ? 6 ? ln x2 ? 0 , …………10 ? 0 ,x2 ? 。 3 x2
6x ?1 x

令 h( x) ? 6 x ? 6 ? ln x ,则 h ' ( x) ?

当 x ? ( , ??) 时, h ' ( x) ? 0 ,所以 h( x) 是增函数。所以 6 x2 ? 6 ? ln x2 ? 0 的解集为 [1,??) 所以 a ? 3 x2 2 ? x2 ? 2 . 即 a 的取值范围是 [2, ??) .…………12 分 解法二: f ( x) ? 5 ? 3 x ,即 a ? x ln x ? 3 x 2 ? 5 x 设 g ( x) ? x ln x ? 3 x ? 5 x ,则, g ( x) ? ln x ? 6 x ? 6
2 '

1 3

设 h( x) ? g ( x) ,则 h ' ( x) ?
' '

1 ? 6x ' , h(1) ? g (1) ? 0 x
'

当 x ? (1,??) 时, h ( x) ? 0 , h( x) ? g ( x) 是减函数

? h( x) ? 0 ,即 g ( x) 是减函数, g ( x) ? g (1) ? 2 .……………8 分
当 x ? (0,1) 时,先证 ln x ? x ? 1 , 设 F ( x) ? ln x ? ( x ? 1) , F ' ( x) ?

1? x ?0, x

F ( x) 是增函数且 F (1) ? 0 , F ( x) ? 0 ,即 ln x ? x ? 1 ,
当 x ? (0,1) 时, g ( x) ? x ln x ? 3 x ? 5 x ? x( x ? 1) ? 3 x ? 5 x ? ?2( x ? 1) ? 2 ? 2
2 2 2

g ( x) 的最大值为 2,
即 a 的取值范围是 [2, ??) .………………12 分

9


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