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导数及其应用高考真题

时间:2017-03-28


1、

x a 3 ? ? ln x ? ,其中 a ? R , 4 x 2 1 且曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线垂直于直线 y ? x . 2
(2014,重庆卷,文科,19)已知函数 f ( x) ? (1) 求 a 的值; (2) 求函数 f ( x) 的单调区间与极值.

2、(2014,四川卷,文,21)已知函数 f ( x) ? e x ? ax2 ? bx ? 1,其中 a, b ? R,

e ? 2.71828... 为自然对数的底数.
(1)设 g ( x) 是函数 f ( x) 的导函数,求函数 g ( x) 在区间 [0,1] 上的最小值; (2)若 f (1) ? 0 ,函数 f ( x) 在区间 (0,1) 内有零点,证明: e ? 2 ? a ? 1 . 3、(2014,广东卷,文,21)已知函数 f ( x) ? (1)求函数 f ( x) 的单调区间; (2)当 a ? 0 时,试讨论是否存在 x0 ? (0, ) ? ( ,1) ,使得 f ( x0 ) ? f ( ) . 4、(2013,全国卷,文,20)已知函数 f ( x) ? e x (ax ? b) ? x2 ? 4 x ,曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y ? 4 x ? 4 . (1)求 a , b 的值; (2)讨论 f ( x) 的单调性,并求 f ( x) 的极大值. 5、(2013,全国卷,文,21)已知函数 f ( x) ? x 2e? x . (1)求 f ( x) 的极小值和极大值; (2)当曲线 y ? f ( x) 的切线 l 的斜率为负数时,求 l 在 x 轴上截距的取值范围. 6、(2013,北京卷,文,18)已知函数 f ( x) ? x2 ? x sin x ? cos x . (1)若曲线 y ? f ( x) 在点 (a, f (a)) 处与直线 y ? b 相切,求 a 和 b 的值; (2)若曲线 y ? f ( x) 直线 y ? b 有两个不同的交点,求直线 b 的取值范围. 7、(2013,江苏卷,文,20)设函数 f ( x) ? ln x ? ax, g ( x) ? e x ? ax ,其中 a 为常数. (1)若 f ( x) 在 (1, ??) 上是单调减函数,且 g ( x) 在 (1, ??) 上有最小值,求 a 的取值范 围;

1 3 x ? x 2 ? ax ? 1(a ? R) . 3

1 2

1 2

1 2

(2)若 g ( x) 在 (?1, ??) 上是单调增函数,试求 f ( x) 的零点个数,并证明你的结论. 8、(2013,广东卷,文,12)若曲线 y ? ax2 ? ln x 在点 (1, a ) 处的切线平行于 x 轴, 则a ? .

9、(2013,广东卷,文,21)设函数 f ( x) ? x3 ? kx2 ? x(k ? R) . (1)当 k ? 1 时,求函数 f ( x) 的单调区间; (2)当 k ? 0 时,求函数 f ( x) 在 (k , ?k ) 上的最小值 m 和最大值 M . 10、(2012,全国卷,文,13)曲线 y ? x(3ln x ? 1) 在点 (1,1) 处的切线方程为 . 11、(2012,全国卷,文,21)设函数 f ( x) ? e x ? ax ? 2 . (1)求 f ( x) 的单调区间; (2)若 a ? 1, k 为整数,且当 x ? 0 时, ( x ? k ) f ' ( x) ? x ? 1 ? 0 ,求 k 的最大值. 12、(2012,北京卷,文,18)已知函数 f ( x) ? ax2 ? 1(a ? 0), g ( x) ? x3 ? bx . (1)若曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? g ( x) 在它们的交点 (1, c) 处具有公共切线,求 a , b 的 值; (2)当 a ? 3, b ? ?9 时,若函数 f ( x) ? g ( x) 在区间 ( k , 2) 上的最大值为 28,求 k 的取 值范围. 13、(2012,安徽卷,文,17)设定义在 (0, ??) 上的函数 f ( x) ? ax ? (1)求 f ( x) 的最小值; (2)若曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ?

1 ? b(a ? 0) . ax

3 x ,求 a , b 的值. 2

14、(2016,全国卷,文,21)已知函数 f ( x) ? ( x ? 2)e x ? a( x ?1)2 . (1)讨论 f ( x) 的单调性; (2)若 f ( x) 有两个零点,求 a 的取值范围. 16、(2016,全国卷 2, 文,20)已知函数 f ( x) ? ( x ? 1)ln x ? a( x ? 1) . (1)当 a ? 4 时,求曲线 y ? f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线方程;

(2)若当 x ? (1, ??) 时, f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围. 17、(2016,全国卷 3,文,16)已知 f ( x) 是偶函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? e? x?1 ? x , 则曲线 y ? f ( x) 在点 (1, 2) 处的切线方程是 .

18、(2016,山东卷,文,20)设 f ( x) ? x ln x ? ax2 ? (2a ?1) x, a ? R . (1)令 g ( x) ? f ' ( x) ,求 g ( x) 的单调区间; (2)已知 f ( x) 在 x ? 1 处取得极大值,求实数 a 的取值范围. 19、(2015,全国卷 1,文,21)设函数 f ( x) ? e2 x ? a ln x . (1) 讨论 f ( x) 的导函数 f ' ( x) 零点的个数; (2) 证明:当 a ? 0 时, f ( x) ? 2a ? a ln

2 . a

20、(2015,全国卷 2,文,21)已知函数 f ( x) ? ln x ? a(1 ? x) . (1)讨论 f ( x) 的单调性; (2)当 f ( x) 有最大值,且最大值大于 2a ? 2 时,求 a 的取值范围. 21、(2015,北京卷,文,19)设函数 f ( x) ? (1)求 f ( x) 的单调区间和极值; (2)证明:若 f ( x) 存在零点,则 f ( x) 在区间 1, e ? 上仅有一个零点.

x2 ? k ln x, k ? 0 . 2

?

?

22、(2014,全国卷 1,文,21)设函数 f ( x) ? a ln x ?

1? a 2 x ? bx(a ? 1) ,曲线 2

y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线斜率为 0.
(1)求 b ; (2)若存在 x0 ? 1 ,使得 f ( x0 ) ?

a ,求 a 的取值范围. a ?1

23、(2014,全国卷 2,文,21)已知函数 f ( x) ? x3 ? 3x2 ? ax ? 2 ,曲线 y ? f ( x) 在点 (0, 2) 处的切线与 x 轴交点的横坐标为 ?2 . (1)求 a ; (2)证明:当 k ? 1 时,曲线 y ? f ( x) 与直线 y ? kx ? 2 只有一个交点.

24、(2013,全国卷 1,文,20)已知函数 f ( x) ? e x (ax ? b) ? x2 ? 4 x ,曲线

y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y ? 4 x ? 4 .
(1)求 a , b 的值; (2)讨论 f ( x) 的单调性,并求 f ( x) 的极大值. 25、(2013,全国卷 2,文,21)已知函数 f ( x) ? x 2e? x . (1)求 f ( x) 的极小值和极大值; (2)当曲线 y ? f ( x) 的切线 l 的斜率为负数时,求 l 在 x 轴上截距的取值范围. 26、(2012,全国卷,文,21)设函数 f ( x) ? e x ? ax ? 2 . (1)求 f ( x) 的单调区间; (2)若 a ? 1, k 为整数,且当 x ? 0 时, ( x ? k ) f ' ( x) ? x ? 1 ? 0 ,求 k 的最大值. 27、(2016,全国卷 1,理,21)已知函数 f ( x) ? ( x ? 2)e x ? a( x ?1)2 有两个零点. (1)求 a 的取值范围; (2)设 x1 , x2 是 f ( x) 的两个零点,证明: x1 ? x2 ? 2 . 28、(2016,全国卷 2,理,21)(1)讨论函数 f ( x) ? 当 x ? 0 时, ( x ? 2)ex ? x ? 2 ? 0 ; (2)证明:当 a ??0,1? 时,函数 g ( x) ? 为 h(a) ,求函数 h(a) 的值域. 29、(2016,全国卷 3,理,21)设函数 f ( x) ? a cos 2 x ? (a ? 1)(cos x ? 1) ,其中

( x ? 2) x e 的单调性,并证明 x?2

e x ? ax ? a ( x ? 0) 有最小值.设 g ( x) 的最小值 x2

a ? 0 ,记 f ( x) 得最大值为 A .
(1)求 f ' ( x) ; (2)求 A ; (3)证明: f ' ( x ) ? 2 A .


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