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1-1 函 数


微 积 分
Calculus
主讲人:钟琴 Tel:18980373450
? ? ? ?

微积分

第一章

函数 极限 连续

?

?

?

?

1.1

函数的概念
基本概念 函数概念 函数的特性 反函数 小结 思考题
? ? ? ?

一、基本概念
1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体. 组成这个集合的事物称为该集合的元素.

a? M,

a? M,

表示法: (1) 列举法: 按某种方式列出集合中的全体元素 .
例: 有限集

无限集 N ? ? 0 , 1 , 2 , ? , n ,? ?

? M ? ? x x 所具有的特征 (2) 描述法:
? 实数集合 R ? ? x x 为有理数或无理数
? ? ? ?

数集分类:

实数

?

有理数

?

整数

?

正整数 零 负整数

? 自然数
Z----整数集

分数

无理数 N----自然数集

Q----有理数集

R----实数集

数集间的关系: N ? Z , Z ? Q , Q ? R.
两个常用符号:

?

表示“任意”

?

表示“存在” ? ?

?

?

若x ? A, 则必x ? B, 就说A是B的子集.

记作 A ? B.
若A ? B, 且B ? A, 就称集合A与B相等. ( A ? B )
例如 A ? {1,2},

C ? { x x 2 ? 3 x ? 2 ? 0}, 则 A ? C .
不含任何元素的集合称为空集. (记作 ?) 例如, { x x ? R, x ? 1 ? 0} ? ?
2

规定 空集为任何集合的子集.
? ? ? ?

2.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.

? a, b ? R, 且a ? b.

{ x a ? x ? b} 称为开区间, 记作 (a, b)

o a x b { x a ? x ? b} 称为闭区间, 记作 [a, b] o a
b

x
? ? ? ?

{ x a ? x ? b} { x a ? x ? b}

称为半开区间, 记作 [a , b) 称为半开区间, 记作 (a , b] 有限区间

[a ,??) ? { x a ? x }

( ??, b) ? { x x ? b}
无限区间

o

a o
b

x x

区间长度的定义:

两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
? ? ? ?

3.邻域: 设a与?是两个实数, 且? ? 0.

数集{ x x ? a ? ? }称为点a的?邻域 ,
点a叫做这邻域的中心 , ? 叫做这邻域的半径.

U (a , ? ) ? { x a ? ? ? x ? a ? ? }.
?
a a?? 点a的去心的?邻域,
?

?
a??

x

U( a , ? ) ? { x 0 ? x ? a ? ? }.
左 ? 邻域 : 右 ? 邻域 :
? ? ? ?

4.常量与变量: 在某过程中数值保持不变的量称为常量,

而数值变化的量称为变量.
注意 常量与变量是相对“过程”而言的. 常量与变量的表示方法: 通常用字母a, b, c等表示常量, 用字母x, y, t等表示变量.

?

?

?

?

? a a?0 a ?? ?? a a ? 0 运算性质: ab ? a b ;
5.绝对值:

( a ? 0)

a a ? ; b b
绝对值不等式:

a ? b ? a ? b ? a ? b.

x ? a ( a ? 0) x ? a ( a ? 0)

? a ? x ? a;
x ? a 或 x ? ?a;
? ? ? ?

二、函数概念
D 是一个给定的数集, 定义 设x 和y 是两个变量, 变量 y 按照一定法则总有 如果对于每个数 x ? D ,
确定的数值和它对应,则称 y 是 x的函数,记作

y ? f ( x)
因变量

数集D叫做这个函数的定义域 自变量

当x0 ? D时, 称f ( x0 )为函数在点x0处的函数值.

函数值全体组成的数集 R ? { y y ? f ( x ), x ? D} 称为函数的值域.
? ? ? ?

函数的两要素: 定义域与对应法则.

相同函数的判断方法:1.对应法则相同 2.定义域一致
? 定义域 使表达式及实际问题都有意义的自变量 集合.
D : [?1,1] D : ( ?1,1)

例如, y ? 1 ? x 2 1 例如, y ? 1 ? x2

?

?

?

?

函数定义域求法: 1. 2 3. 4. 5. 开偶次方 ,根号内的表达式不小于零; 对数中的真数必须大于零; 分式中的分母不能为零; 反正弦和反余弦符号下的表达式的绝对值不能大于 1; 分段函数的定义域是各段定义域的并集. ? 正切函数

y ? tan x

? ? ? ? x ? R, 且x ? k? ? , k ? ? ? 2 ? ?
? ? ? ?

?

?

?

?

例1 求函数f(x)=

lg ? x 2 ? 2x ? 9?x
2

的定义域.

?解:要使函数有意义,只需
? x2 ? 2x ? 0, ? 2 9 ? x ? 0, ?

?x ? 2或x ? 0. 也即 ? ? ?3 ? x ? 3

解得-3<x<0或2<x<3.

故函数的定义域是(-3,0)∪(2,3).

?

?

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?



?1 ? 若 函 数 y ? f ( x ) 的 定 义 域 为 ? ,2? , 则 ?2 ?


f (log 2 x) 的定义域为

?1 ? 分析:由函数 y ? f ( x) 的定义域为 ? ,2? 可知: ?2 ? 1 1 ? x ? 2 ;所以 y ? f (log 2 x) 中有 ? log 2 x ? 2 。 2 2 1 解:依题意知: ? log 2 x ? 2 2 解之,得 2?x?4 ∴ f (log 2 x) 的定义域为 x | 2 ? x ? 4

?

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?

?

如果自变量在定 义域内任取一个数值 时,对应的函数值总 是只有一个,这种函 数叫做单值函数,否 则叫与多值函数.

y

R

y

?( x, y)
x

例如,x ? y ? a .
2 2 2

o

x

D

定义: 点集C ? {( x , y) y ? f ( x ), x ? D} 称为

函数y ? f ( x )的图形.
? ? ? ?

函数的表示方法
1 2 ( 1) . 解析法: y ? kx (k ? 0) , h ? gt 2

(2). 列表法:
国内生产总值(单位: 亿元)

年份 生产总值

1990 18598.4

1991 21662.5

1992 26651.9

1993 34560.5

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?

结束

(3).隐函数 由二元方程 F ?x, y ? ? 0 确定的二元函数称为隐 函数. 如
x3 ? y3 ? 1 ? 0 , x ? y ? e xy ? 0

注 有的隐函数可以改写为显函数的形式,如
而有的 x3 ? y 3 ?1 ? 0 的显函数形式为 y ? 3 1 ? x 3 . 隐函数则不能改写成显函数的形式,如 e xy ? x ? y 把隐函数改写成显函数,叫做隐函数的显化.

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(4) . 图象法:
我国人口出生率变化曲 线

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几个特殊的函数举例
(1) 符号函数
1 y

? 1 当x ? 0 ? y ? sgn x ? ? 0 当x ? 0 ? ? 1 当x ? 0 ?

o

x

-1

x ? sgn x ? x

?

?

?

?

(2) 取整函数 y=[x]
[x]表示不超过 x 的最大整数 4 3 2 1 o

y

-4 -3 -2 -1

x 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4

阶梯曲线

?

?

?

?

(3) 狄利克雷函数

?1 当x是有理数时 y ? D( x ) ? ? ?0 当x是无理数时
y
1

? o 无理数点 有理数点

x

?

?

?

?

(4) 取最值函数
y ? max{ f ( x ), g( x )}
y
f ( x) g( x )

y ? min{ f ( x ), g( x )}
y
f ( x) g( x )

o

x

o

x

?

?

?

?

在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的
式子来表示的函数,称为分段函数.

例如,

? 2 x ? 1, f ( x) ? ? 2 ? x ? 1,
y ? x2 ? 1

x?0 x?0
y ? 2x ? 1

?

?

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?

? 1 0? x?1 设f ( x ) ? ? , 求函数 f ( x ? 3)的定义域. ?? 2 1 ? x ? 2


例2

? 1 0? x?1 ? f ( x) ? ? ?? 2 1 ? x ? 2 ? 1 0? x?3?1 ? f ( x ? 3) ? ? ?? 2 1 ? x ? 3 ? 2 ? 1 ? 3 ? x ? ?2 ?? ? ? 2 ? 2 ? x ? ?1
故 D f : [?3,?1]

?

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?

三、函数的特性
1.函数的有界性:
若X ? D, ?M ? 0, ?x ? X , 有 f ( x ) ? M 成立,
则称函数f ( x )在X上有界.否则称无界.
y
M y=f(x) o -M

y
M

x
有界 X

o -M

x0
X 无界

x

?

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?

2.函数的单调性: 设函数 f ( x)的定义域为D, 区间I ? D,
如果对于区间I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1 ? x2时, 恒有 (1) f ( x1 ) ? f ( x2 ),
则称函数 f ( x )在区间I上是单调增加的;
y
y ? f ( x)

f ( x2 )
f ( x1 )

o

I

x
? ? ? ?

设函数 f ( x)的定义域为D, 区间I ? D,
如果对于区间I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1 ? x2时,
恒有 (2) f ( x1 ) ? f ( x2 ),
则称函数 f ( x )在区间I上是单调减少的 ;
y
y ? f ( x)

f ( x1 )
f ( x2 )

o

I

x

?

?

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?

3.函数的奇偶性:
设D关于原点对称, 对于?x ? D, 有 f ( ? x ) ? f ( x ) 称 f ( x )为偶函数;
y

y ? f ( x)

f (? x )
-x o 偶函数 x

f ( x)
x

?

?

?

?

设D关于原点对称, 对于?x ? D, 有
f (? x ) ? ? f ( x )

称 f ( x )为奇函数;
y

y ? f ( x)

f ( x)
-x
f (? x )

o 奇函数

x

x

?

?

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?

注意如下结论: (1)在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函 数的乘积是偶函数;一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

( 2 )若f(x) 是奇函数且定义域中有原点,则f(0) ? 0。

a· 2 x ? a ? 2 如:若f ( x) ? 为奇函数,则实数a ? x 2 ?1
(∵f ( x) 为奇函数,x ? R,又 0 ? R,∴f (0) ? 0

a· 2 0 ? a ? 2 即 ? 0,∴a ? 1) 0 2 ?1
? ? ? ?

4.函数的周期性: ? x ? X , ? T ? 0, 且 x ? T ? X , 若

则称 f ( x)为周期函数 , 称T为周期 ( 一般指最小正周期 ). y
?2? ??

o ?

2?

x

周期为 注: 周期函数不一定存在最小正周期 . 例如, 常量函数 f ( x) ? C 任意非零实数均为函数的周期, 故没有最小正周期
? ? ? ?

周期为 ?

四、反函数
定义. 设函数 y ? f ( x), x ? X 值域为Y, 若对 有唯一确定的x, 使 f (x) ?y, 于是确定了x 是 y 的函数 这个函数称为原函数的反函数, 记作

x?f
性质:

?1

( y ) ,y Y ?

1) y=f (x) 单调递增 (减) 其反函数
且也单调递增 (减) .

?

?

?

?

2) 函数

与其反函数 的图形关于直线

y y?x

Q(b, a)

对称 .

y ? f ( x)

例如 , 指数函数 y ? e x , x ? (?? , ? ? )
对数函数 它们都单调递增, 其图形关于直线

o

x

互为反函数 , 对称 .

?

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?

1、 反函数的定义域是原函数的值域 2、 反函数的值域是原函数的定义域 函数 y? ( B ) A. y=x 2- 2x+2(x<1) B. y=x2- 2x+2(x≥1) C. y=x2- 2x D. y=x 2- 2x (x<1) (x≥1)
? ? ? ?

x ? 1 ? 1( x ? 1) 的 反 函 数 是

求反函数的步骤 (①反解 x;②互换 x、 y;③注明定义域)

? ?1 ? x 如:求函数 f ( x) ? ? 2 ? ?? x

?x ? 0? 的反函数 ?x ? 0?

(答:f

?1

? x ? 1 ? x ? 1? ( x) ? ? ) ?? ? x ? x ? 0 ?

?

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五、小结
基本概念 集合, 区间, 邻域, 常量与变量, 绝对值. 函数的概念
函数的特性 有界性,单调性,奇偶性,周期性. 反函数

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思考题
1 2 设 ?x ? 0 ,函数值 f ( ) ? x ? 1 ? x , x 求函数 y ? f ( x ) ( x ? 0) 的解析表达式.

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?

思考题解答
1 设 ?u x

2 1 1 1 ? 1 ? u 则 f ?u ? ? ? 1 ? 2 ? , u u u

1? 1? x 故 f ( x) ? . ( x ? 0) x
2

?

?

?

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练 习 题
一、填空题:

3、不等式 x ? 5 ? 1 的区间表示法是_________. x ? U ( 0, ? ) y ? U ( 0, 2 ) 2 4、设 y ? x ,要使 时, , ? 须 __________.
?

? 1? 5 2 1、若 f ? ? ? ? 2t ,则 f ( t ) ? __________ , ?t? t f ( t 2 ? 1) ? __________ . ? ? 1 , x ? ? 3 2、若?( t ) ? ? , ? sin x , x ? ? ? 3 ? ? 则?( ) =_________,?( ) =_________. 6 3

?

?

?

二、证明 y ? lg x 在( 0,?? ) 上的单调性. 三、证明任一定义在区间( ? a , a ) ( a ? 0 ) 上的函数可表 示成一个奇函数与一个偶函数之和. 四、设 f ( x ) 是以 2 为周期的函数, ? x 2 ,?1 ? x ? 0 且 f ( x) ? ? ,试在( ?? ,?? ) 上绘出 ? 0, 0 ? x ? 1 f ( x ) 的图形. 五、证明:两个偶函数的乘积是偶函数,两个奇函数的 乘积是偶函数,偶函数与奇函数的乘积是奇函数. ax ? b 六、证明函数 y ? 的反函数是其本身. cx ? a e x ? e?x 七、求 f ( x ) ? x 的反函数,并指出其定义域. ?x e ?e
? ? ? ?

练习题答案
2 2 2 5 ( t ? 1 ) ? , ; 2、1,1; 2 2 2 t ( t ? 1) ? (0, 2 ] . 3、(4,6); 4. 1? x , ( ?1,1) . 七、 y ? ln 1? x

一、1、5t ?

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初 等 函 数
基本初等函数 复合函数 初等函数

双曲函数和反双曲函数 小结 思考题

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一、基本初等函数
1.幂函数 y ? x ?
y
y ? x2
1
(1,1)

(?是常数)
y? x
y? x

o
1 y? x

1

x

?

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?

?

x 2.指数函数 y ? a

(a ? 0, a ? 1)

y ? ex

1 x y?( ) a

y ? ax

(a ? 1)
?
(0,1)

?

?

?

?

3.对数函数 y ? loga x

(a ? 0, a ? 1)

y ? ln x

y ? log a x
(1,0)

?

(a ? 1)

y ? log 1 x
a

?

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?

4.三角函数 正弦函数 y ? sin x
y ? sin x

?

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?

?

余弦函数 y ? cos x

y ? cos x

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?

?

正切函数 y ? tan x
y ? tan x

?

?

?

?

余切函数 y ? cot x

y ? cot x

?

?

?

?

正割函数 y ? sec x
y ? sec x

?

?

?

?

余割函数

y ? csc x
y ? csc x

?

?

?

?

5.反三角函数

反正弦函数 y ? arcsin x
y ? arcsin x

?

?

?

?

反余弦函数 y ? arccos x

y ? arccos x

?

?

?

?

反正切函数 y ? arctan x

y ? arctan x

?

?

?

?

反余切函数 y ? arccot x

y ? arccot x

幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反 三角函数统称为基本初等函数.

?

?

?

?

复合函数
1.复合函数
设 y ? u, u ? 1 ? x 2 ,
定义:

初等函数
y ? 1 ? x2

设函数 y ? f ( u) 的定义域D f , 而函数

u ? ?( x ) 的值域为Z ? , 若 D f ? Z ? ? ? , 则称
函数 y ? f [?( x )]为x 的复合函数.

x ?自变量, u ? 中间变量, y ? 因变量,
? ? ? ?

注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个 复合函数的; 如函数链 y ? arcsin u , u ? 2 ? x 不能构成复合函数 .
2

函数链 y ? u , u ? cos x ? 9 也不能构成复合函数 . 2.复合函数可以由两个以上的函数经过复 合构成.

x 例如 y ? cot , y ? u , 2

x u ? cot v , v ? . 2

2.初等函数

由常数和基本初等函数经过有限 次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可 用一个式子表示的函数,称为初等函数.
? ? ? ?

?e x , 例1 设 f ( x ) ? ? ? x, 求 f [?( x )].

x?1 ? x ? 2, , ?( x ) ? ? 2 x?1 ? x ? 1,

x?0 , x?0


10

? e ? ( x ) , ?( x ) ? 1 f [?( x )] ? ? ??( x ), ?( x ) ? 1
当?( x ) ? 1时,

或 x ? 0, ?( x ) ? x ? 2 ? 1, 或 x ? 0, ?( x ) ? x 2 ? 1 ? 1,

x ? ?1;

0 ? x ? 2;
? ? ? ?

20

当?( x ) ? 1时,

或 x ? 0, ?( x ) ? x ? 2 ? 1, 或 x ? 0, ?( x ) ? x 2 ? 1 ? 1,
综上所述

? 1 ? x ? 0;

x ? 2;

? e x?2 , x ? ?1 ? ? x ? 2, ? 1 ? x ? 0 f [? ( x )] ? ? 2 . x ?1 ?e , 0? x ? 2 2 ? x x? 2 ? ? 1,

?

?

?

?

三、双曲函数
e ?e 双曲正弦 sinh x ? 2
x ?x

y ? cosh x

D : ( ??,?? ),

奇函数.
x

1 x y? e 2
?x

e ?e 双曲余弦 cosh x ? 2
D : ( ??,?? ),

1 ?x y? e 2
y ? sinh x
? ? ? ?

偶函数.

四、小结
函数的分类:
代 数 函 数 有 理 函 数

有理整函数(多项式函数)
有理分函数(分式函数)

函 数

初 等 函 数

无理函数 超越函数

非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数)
? ? ? ?

思考题
下列函数能否复合为函数 y ? f [ g ( x )], 若能,写出其解析式、定义域、值域.

(1)
( 2)

y ? f (u) ? u,
y ? f ( u) ? ln u,

u ? g( x ) ? x ? x

2

u ? g( x ) ? sin x ? 1

?

?

?

?

思考题解答
(1) y ? f [ g( x )] ? x ? x2

1 x ? D ? { x | 0 ? x ? 1}, f ( D ) ? [0, ] 2 ( 2) 不能. ? g( x ) ? sin x ? 1 ? 0

g( x ) 的值域与 f ( u) 的定义域之交集是空集.

?

?

?

?

练 习 题
一、填空题: 1、幂函数,指数函数, 对数函数,三角函数和
反三角函数统称_________. 2、函数 f ( x ) 的定义域为[ 1 , 3 ] ,则函数 f (ln x ) 的定义域为__________.
3、由函数 y ? e u,u ? x 2 复合而成的函数为______ .
4、函数 y ? sin ln 2 x 由 __________复合而成 .

5、若 f ( x ) 的定义域为 [ 0 , 1 ] ,则 f(x 2)的定义域 为 __________,f (sin x ) 的定义域为__________, f ( x ? a )(a ? 0) 的定义域为___________ , f ( x ? a ) ? f ( x ? a ) (a ? 0) 的定义域为_________.
? ? ? ?

二、应用图形的“叠加 ”作函数 y ? x ? sin x 的图形 .

? 1,x ? 1 ? 三、设 f ( x ) ? ? 0,x ? 1 ,g ( x ) ? e x , ? ? 1,x ? 1 ? 求 f [ g( x )] ,g[ f ( x )] ,并作出它们的图形 .

四、火车站行李收费规定如下: 20 千克以下不计费, 20~50 千克每千克收费 0.20 元,超出 50 千克超 出部分每千克 0.30 元,试建立行李收费 f ( x ) (元 ) 于行李重量 x (千克) 之间的函数关系,并作出图 形.
? ? ? ?

练习题答案
[e , e 3 ] ; 一、1、基本初等函数; 2、 x2 3、 y ? e ; 4、 y ? sin u, u ? ln v , v ? 2 x ; 5、[-1,1],[2k? , 2k? ? ? ],[ ? a ,1 ? a ] , 1 ? [a ,1 ? a ] 0 ? a ? ? 2 ? . ? 1 ?? a? ? 2 ? ? ?e , x ? 1 ?1, x ? 0 ? ? 三、 f [ g ( x )] ? ?0, x ? 0 ; g[ f ( x )] ? ?1, x ? 1 . ? ? 1, x ? 1 ?1 ? ? , x ?1 ?e
? ? ? ?

x ? 20 ?0 ? 四、 y ? ?0.2 x ,20 ? x ? 50 ?10 ? 0.3( x ? 50), x ? 50 ?

?

?

?

?

备用题
1. 设



时 证明 为奇函数 .

其中

a, b, c 为常数, 且

1 , a f (1) ? b f (t ) ? ct , x ? 则 证: 令 t ? 1 t x t


消去 f ( 1 ), 得 x

af (1 ) ? b f ( x) ? c x x

为奇函数 .
? ? ? ?

2 . 设函数 y ? f ( x) , x ? (?? , ? ?) 的图形与 x ? a , y ? b (a ? b) 均对称, 求证 y ? f ( x) 是周期函数.

证: 由 f ( x) 的对称性知

f (a ? x) ? f (a ? x),
于是

f (b ? x) ? f (b ? x) ? f ( 2a ? x )

f ( x) ? f ?a ? ( x ? a)?

故 f ( x) 是周期函数 , 周期为
? ? ? ?

3. 求

y?

x2 , ?1 ? x ? 0 ln x , 0 ? x ? 1 的反函数及其定义域. 2 e x ?1 , 1 ? x ? 2

2 当 解 : ? 1 ? x ? 0 时 , y ? x ? ( 0 , 1] , 则 x ? ? y , y ? ( 0 , 1]

当 0 ? x ? 1 时, y ? ln x ? ( ? ? , 0 ] , 则 x ? ey , y ?( ? ?, 0] 当 1 ? x ? 2 时, y ? 2 e x ?1 ? ( 2 , 2 e ] , y 则 x ? 1 ? ln 2 , y ? ( 2, 2e ] 反函数 y ? 定义域为 ( ? ? , 1] ? ( 2 , 2 e ]
? ? ? ?

例 f ( x ? 1) ? e x +x,求f ( x)
解:令t= x ? 1 , 则t ? 0 ? x ? t ? 1,? f (t ) ? e
2 t2 ?1

? t2 ? 1

? f (x) ? e

x2 ? 1

? x 2 ? 1, x ? 0

?

?

?

?

?

?

?

?


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2.1.1 函 数

2.1.1 函数课件函数课件隐藏>> 一函数 ●课题§2.1.1 函数() ●教学目标 ()教学知识点 1.函数的概念. 2.区间、无穷大的概念、记号. 3....

必修4 1.1-1.2任意角及其三角函数 考点测试题

必​修​4​ ​ ​ ​ ​ ​1​.​1​-​1​.​2​任​意​角​及​其​三​角​​ ​ ​ ​考...

【成才之路】高二数学 1、3-3-1函数的单调性与导数同步练习 新人教A版选修1-1

​1​​的​单​调​性​与​导​​同​步​...(1,+∞) 3 3 2 3 [解析] ∵y′=3x -2x-1=(3x+1)(x-1), 1 ∴...

高一数学必修1集合与函数概念单元测试题

高​一​​学​必​修​1​集​合​与​​概...15. (12分)已知,全集U={x|-5≤x≤3}, A={x|-5≤x<-1},B={x|-...

§1-1 函数的极限

§1-1 函数极限暂时的定义 1.函数在某点的极限 就说 C 是变 “ 1.函数在某点的极限 一个变量 y 能够无限制地接近某一个常量() C ,量 y 的极限”...

19.1.1 变量与函数(1)

新​人​教​版​,​八​年​级​下​册​​学​,​第​十​九​章​,​​次​​,​直​接​可​...

高一数学必1函数专题训练-函数及其性质

高​一​必​修​一​​专​题​训​练​-​​...2x ? 3 由已知得 (2y-1)x2-(2y-1)x+(3y-1)=0 (*) 1 3 (1) ...