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例谈《几何画板》在高中数学教学中的辅助功能

时间:2011-03-22


例谈《几何画板》在高中数学教学中的辅助功能
崇明县民本中学 李斌

【摘要】本文从高中数学一线教师的视角,通过教学过程中应用《几何画板》软件的亲 身体验,以具体的数学案例为载体,对《几何画板》在高中数学教学中的辅助功能作了一定 的研究和总结。围绕作图演示、直观验证、模拟反馈、探索发现等四大辅助功能作了实践操 作层面上的讲解,以期为其他数学教学同行提供

一些借鉴和参考。 【关键词】几何画板 高中数学 辅助功能 【正文】 我国《基础教育课程改革纲要(试行) 》指出,要“大力推进信息技术在教学过程中的 普遍应用,促进信息技术与学科课程的整合,逐步实现教学内容的呈现方式、学生的学习方 式、教师的教学方式和师生互动方式的变革,充分发挥信息技术的优势,为学生的学习和发 展提供丰富多彩的教育环境和有力的学习工具” 。借着“二期课改”的东风,上海广大教师 围绕学科课程与信息技术的有机整合展开了积极的实践和研究, 如何科学地实施学科课程与 信息技术的有机整合已经成为教学的热点话题之一。 笔者认为, 科学实施学科课程与信息技 术有机整合应该以贴合学科实际为前提,以讲究实效为目标。笔者任教高中数学学科,在信 息技术不断更新、教学辅助软件层出不穷的背景下, 《几何画板》以其朴素的外表、强大的 功能、简单易学的操作和运行时对系统的低要求依然让我对其情有独钟。 众所周知, 数形结合是数学学科最重要的思想方法之一, 是联系数学直观和抽象的主要 工具。高中数学中除几何板块(如平面解析几何、立体几何等)本身研究“形”之外,即便 是传统意义上的代数板块(如函数、数列等)以及一些介于代数与几何之间的边缘章节(如 复数、向量等) ,都无不彰显“形”的作用。如函数(包括数列)的图像,复数与复平面上 点的对应,向量的有向线段表示等等都无处不显“形”的身影。而传统手工作图误差大、运 算繁、无法动态作图等弊端大大制约了数形结合的可行性。尽管能借助 TI 图形计算器使之 得到了一些改进,但个人电脑运行《几何画板》软件提供的屏幕尺寸和分辨率相比 TI 图形 计算器较小的屏幕和较低的分辨率仍然有其强大的优势。 《几何画板》通过基本的点工具、 圆规工具、直尺工具、辅以选择箭头工具、文本工具、自定义工具和“编辑”“显示”“作 、 、 图”“变换”“度量”“图表”六大菜单提供了强大的计算功能和静、动态演示功能。 、 、 、 根据笔者平时教学过程中应用《几何画板》的实践,结合本人的思考,对《几何画板》 在高中数学教学中的几个辅助功能作一点肤浅的交流。 一、作图演示功能。 作图演示功能是几何画板最基本、最常用的功能,由于其简便的操作、清晰的界面、易 于开发的环境以及和其他软件良好的图片兼容性而深得广大数理教师的喜欢。 几何画板的演 示作图功能按作图过程中涉及的数学思维的深浅笔者将其分为绘图功能和数学作图功能两
1

类。 1、绘图功能。笔者所谓的绘图功能, 通俗的讲,就是把几何画板当作画图板使 用。画图过程中基本不需要较多的数学知 识来支撑,就如同一个即使从来并没有学 图 1-1-1

过数学的人用笔在纸上画图,只不过现在是利用几何画板提供的画点、画圆(圆弧) 、画线 (直线、射线、线段)工具当作笔,电脑屏幕当作纸而已。区别可能就在于纸上的图要通过 扫描才能成为数字文档,从这个意义上讲,它的功能类似 于 windows 自带的画图板。如图 1-1-1 中精美的图形都由 几何画板画得。 当然,几何画板在动态作图方面是画图板不可比拟 的。如立体几何中研究长(正)方体中点、线、面关系的 时候, 可利用几何画板画出一个可以旋转的长 (正) 方体, 帮助学生从不同角度观察研究立体图形,逐步提高学生的 空间想象力。如图 1-1-2。 图 1-1-2

2、数学作图功能。不夸张的讲,几何画板的数学作图功能才是真正体现了几何画板的 数学价值。这里所谓的数学作图,是指最大程度地运用几何画板提供的各种工具,借助一定 的数学知识,通过数学化的设计、构造,作出体现某个数学原理、或为理解某个数学原理服 务的数学图形。 如果说纯粹画图是站在画家的角度讲究画得像不还是不像的话, 那么数学作 图则是站在一个数学家的角度,更多的是体现作图过程中数学知识的渗透,是为理解、探究 某个数学概念或原理,运用已知的一些数学知识有意识地、可预见地构思和设计作图过程, 最终通过构造作图,达到帮助理解数学概念或原理的目的。从作图的侧重点来看,纯粹作图 主要侧重最后作出的图形结果,而数学作图更加侧重作图中的数学设计过程。可以说,一个 没有较好数学素养的人,是用不好几何画板的。从这个意义上讲,在运用几何画板进行数学 作图的过程本身也是一个数学知识应用、 探究和学习的过程。 几何画板的数学作图功能几乎 是为数学学科度身定做的,尤其体现在二维作图方面,例如: 案例 1: 直接作出函数图像。 在直角坐标系环境 下通过输入形如“y=f(x)或 x=f(y)”或在极坐标系环 境下输入形如 “r=f(θ)或 θ=f(r)” 格式的函数解析式, 可直接作出函数图像,同时,通过控制函数解析式 中参数的变化,可动态展示图像的变化。例如在二 次函数最值问题的教学中:利用“图表”菜单中“新 建参数”功能给出参数 a 、 b 、 c ,再利用“新建函 图 1-2-1
2

数”功能给出函数解析式 f ( x) = ax 2 + bx + c ,鼠标右击函数解析式,利用“绘制函数”功 进一步借助参数 t , 可画出函数 f ( x ) 在限定区间 [t , t + 2] 能, 可直接画出函数 f ( x ) 的图像。 上 的 图 像 。 如 图 1-2-1 , 图 中 函 数

g ( x) = ( f ( x) + ( x ? t ) ? ((t + 2) ? x)) ? ( x ? t ) ? ((t + 2) ? x) 的图像 (整个二次函数图像上
较 粗 的 那 段 ) 即 为 函 数 f ( x) = ax + bx + c, x ∈ [t , t + 2 ] 的 图 像 ,( 式 中 的
2

“ ( x ? t ) ? ((t + 2) ? x) ? ( x ? t ) ? ((t + 2) ? x) ” 主要是为了构造定义域 [t , t + 2] , 事实上, 类似也可画出其他定义域上的图像) 。这样,通过控制参数 a 、 b 、 c 、 t 的变化(选中相应 参数后可用键盘+/-控制或直接利用“参数动画”实现) ,可直观演示二次函数在限定区间上 “区间定函数动”和“函数定区间动”两类常见的值域(最值)问题。 案例 2:作参数方程对应曲线。通过“显示”菜单中的“追踪动点”功能可轻松显示参 数方程的轨迹。例如极坐标系中,可利用等速螺线的参数方程轻松模拟等速螺线:设等速螺

? ρ = 0.6t ? 线参数方程为: ? π , t ≥ 0 ,如图 1-2-2,先新 ?θ = 3 t ?
建参数 t ,利用“度量”菜单中的“计算”功能分别 计算 0.6t 和

π
3

t ,依次选中计算结果 0.6t 和

π
3

t ,利

用 “图表” 菜单中的 “绘制点” 功能画出点 ? 0.6t ,

? ?

π ?

t?, 3 ?

选中此点,利用“显示”菜单中的“追踪点”功能追 踪此点,通过变化参数 t (选中参数 t 后可用键盘+/控制或直接利用“参数动画”实现) ,即可动态演示此 点的轨迹为等速螺线。 案例 3:利用“轨迹”菜单作轨迹。过“作图” 菜单中的“轨迹”功能,可直接作出类如所求动点 随另一动点运动而运动所形成的轨迹。例如解析几 何中,利用椭圆参数方程中参数的几何意义——离 心角,根据已知的椭圆长、短轴长 2a 、 2b 画出椭 圆:如图 1-2-3,给出参数 a 、 b ,以 O 为圆心,分 别以 a 、 b 为半径画出大圆和小圆,在大圆上任取 一点 Q ,作射线 OQ 交小圆于点 R ,过 R 作 x 轴的 平行线交过 Q 与 y 轴平行的直线于 P ,由于当 Q 在 图 1-2-3
3

图 1-2-2

R

大圆上运动时, P 的轨迹即为以 2a 为长轴、 2b 为短轴的椭圆, 点 以 故依次选中点 P 和点 Q (两点全部选中) ,利用“构造”菜单中的“轨迹”功能可直接作出点 P 的轨迹——以 2a 为 长轴、以 2b 为短轴的椭圆。通过控制参数 a 、 b 可随意作出已知长、短轴长的椭圆。 二、直观验证功能。 数学的抽象性往往是困扰学生学习数学的一大障碍, 如何变抽象为形象, 也一直是数学 学科与信息技术整合的主要内容之一。 几何画板强大的计算、 作图功能以及个人电脑屏幕的 的大尺寸、 高分辨率为一些抽象的数学问题提供了直观验证的可能, 成为帮助学生克服数学 学习抽象性的有力工具。 案例 4:2006 年浦东新区高考模拟卷(理)最后一题第(3)题:当 0 < a < 1 时,就函 数 y = a x 与 y = log a x 的图像的交点情况提出你的问题,并加以解决. (说明:①函数

1 1 f ( x) = x ln x 有如下性质:在区间 (0, ] 上单调递减,在区间 [ ,1) 上单调递增.解题过程中 e e
可以利用;②将根据提出和解决问题的不同层次区别给分. ) 本题的结论是:当 a ∈ (0, e? e ) 时,函数 y = a x 与 y = log a x 的图像有 3 个交点;当

a ∈ [e ? e ,1) 时,函数 y = a x 与 y = log a x 的图像有 1 个交点(具体解答从略) .但在课后,虽
然学生承认结论的成立, 但很多学生还是表现出难以信服的表情。 有的同学虽然借助计算器 计算有关数据得到了一定的直观论证,但始终难以将 a ∈ (0, e? e ) 时函数 y = a x 与 y = log a x 的图像的 3 个交点直观的画出来,迫切地吵着要我画出直观图。究其原因,主要是手工画图 误差较大,即使 TI 图形计算器,由于分辨率不高也不能达到很好的展示效果。为此,笔者 借助几何画板自制课件:①先作出点 (e ? e , 0) 供参照;②作连接原点和单位点的线段,在此 线段上任取一点 E,计算 E 点横坐标 xE;③利用“图表”菜单“绘制函数”功能画出函数

f ( x) = ( xE ) x 和 g ( x) = log xE x 的图像;④拖动点 E 控制两个函数的底 xE 在 ( 0,1) 内递减
变化。直观地演示了当 xE ∈ (e ,1) 时的 1 个交点(如图 2-1) 、到当 xE = e 时的一个切点 (如图 2-2) 、直到 xE ∈ (0, e ) 时的 3 个交点(如图 2-3)的整个过程,有效地验证了用数 学方法解得的结论,同学们都露出了恍然大悟的微笑。
?e ?e ?e

图 2-1

图 2-2
4

图 2-3

三、模拟反馈功能。 传统的静态作图无法模拟数学中的动态变化, 很多时候仅凭想象往往会面临高度的抽象 和可想而不可及的尴尬,甚至会出现由于想象的不严密而导致的错误。 《几何画板》在动态 中保持几何关系相对不变的特点以及能将较简单的作图和通过定 义、构造、运动和变换的功能能帮助我们模拟一些数学变化,进一 步研究变化过程中的数学现象。 案例 5:如图 3-1,直角三角形 ABC ,∠A = 60° ,∠C = 90° ,
y
B C

AB = 4 ,点 A 、点 B 分别在射线 x = 0( y ≥ 0) 、 y = 0( x ≥ 0) 上滑
动,求当点 B 从原点 O 径直滑动到点 D (0, 4) 的过程中,点 C 经过 的路程。 ..

O

A

x

图 3-1

本题的关键是“路程”两字。很多同学先求出点 C 的轨迹方程,得其轨迹是一条线段:

y=

3 x, 3 ≤ x ≤ 2 3(具体解答过程从略) ,然后求出该线段的长度等于 2,就作为点 C 3

经过的路程;也有的同学认为应该算出点 B 分别在起始位置原点 O 和最终位置点 D 处对应 的点 C 的位置 3, 3 和

(

) (

3,1 之间的距离即可,算得答案 2 3 ? 2 。实际上,以上两个答

)

案都是错误的。 造成错误的主要原因是学生只关注了在点 B 从原点运动到 D (0, 4) 的过程中 点 C 所形成的最终轨迹,而忽略了(或者说感受不到)形成这个轨迹的具体过程。事实上, 从点 B 开始运动到结束,点 C 经历了一个往返的过程,因此以上两个答案并非点 C 经过的 真正路程。那么,点 C 到底经历了一个怎样的往返?其经过的路程究竟是多少?此时此刻, 静态的说明已经显得杯水车薪,如何直观地模拟出点 C 运动的整个过程就显得格外重要。 模拟的关键是怎样构造一条长度为 4 且两端分别在射线

x = 0( y ≥ 0) 、 y = 0( x ≥ 0) 上滑动的线段。利用平面几何“直
角三角形斜边上的中线长等于斜边长的一半”作如下构造:先作 出以原点 O 为圆心,过点 ( 2, 0 ) 的圆在第一象限的圆弧(包括弧 的两个端点) ,并在圆弧上任取一点 E,过 E 分别作 x 轴、y 轴的 平行线,然后分别作出原点关于这两条平行线的对称点 B、A, 线段 AB 的长度总等于 2 OE = 4 。然后将线段 AB 分别绕点 B 逆时针旋转 30 度、 绕点 A 顺时针旋转 60 度, 得交点即直角顶点 图 3-2

C。这样,拖动点 E 在圆弧上滑动,就可模拟符合题意的斜边端点在射线 x = 0( y ≥ 0) 、

y = 0( x ≥ 0) 上滑动、且斜边长为定值 4 的直角三角形的运动(如图 3-2) 。选中点 C,追踪
点 C,拖动 E 从 ( 2, 0 ) 到 ( 0, 2 )(等效于点 B 从原点 O 滑动到点 D (0, 4) ) ,就能模拟演示点

5

C 的运动过程。通过模拟可以发现,在整个过程中,点 C 从点 Q 3, 3 出发(如图 3-3) , 沿直线 y =

(

)

3 3 x 向上运动到点 R 2, 2 3 (如图 3-4) ,再返回沿直线 y = x 向下一直 3 3

(

)

运 动 到 点 P

(

3,1

)

( 如 图

3-5 ) , 因 此 点

C

经 过 的 路 程 应 为

图 3-3

图 3-4

图 3-5

PR + RQ = 2 + 4 ? 2 3 = 6 ? 2 3 。
四、探究发现功能。 市教委制订的《关于加强课程与信息技术整合的指导意见》提出在理科方面要“应用数 字化真实或虚拟试验互动软件,充分展示科学原理的发生、发展过程,帮助学生更好的理解 科学;通过各类可视化、交互式的教学软件以及信息技术在数据统计、分析、再现等方面的 强大支持,突出量化分析和研究效能,使信息技术成为学生探究科学世界的有力工具” 。几 何画板简单易学的操作使学生能在较短时间较完整地掌握其基本功能, 从而为学生运用几何 画板独立探究、发现数学规律提供了可能,使学生从“听”数学逐渐向“做”数学转变,不 断促进数学学习过程中“做”与“想”的有机统一。 案例 6:一张矩形纸片 ABCD , AB = 8 , BC = 4 ,如图 4-1,将矩形纸片的 A 角折起,使点 A 落在线段 CD 的 A’上,求 所有折痕 EF 的中点 P 的轨迹方程。 (此题由 07—08 上海《高中 数学复习点要》第 11.2 节【例题选讲】第 1 题改编而成) 案例研究过程再现: 1、师生共同分析,达成共识。根据折叠的轴对称特性,折痕 EF 即为 AA’的中垂线与 矩形边界的两个交点间的连线段, 因此所求轨迹方程即为当点 A’ 在线段 CD 上滑动时, AA’ 的中垂线与矩形边界的两交点 E、F 的连线段的中点 P 的轨迹方程。 2、学生独立解答。有学生解答如下:如图 4-1-2 所示建立平面直角坐标系,设 P(x,y), A’(t,4)(0≤t≤8),求得线段 AA’的中垂线 l 的方程: y ? 2 = ?
D E A' C

P A F B

图 4-1

t t ( x ? ) ,分别令 x=0、y=0 得 4 2

6

? ?x = t 8 t ? yE = + 2 、 F = + , x 所以 P 的坐标 (x,y) 满足: ? 8 t 2 ?y = ? ?
2
2 2 2

xF 4 t 16 + t 2 = + = 2 t 4 4t (0 ≤ t ≤ 8), 2 2 yE t t + 16 = +1 = 2 16 16
y
D D' E A' C

消去参数 t , 得普通方程为 x + y ? x y = 0( x > 0,1 ≤ y ≤ 5) 。 3、学生质疑。很快,有学生对上述解法提出了异议,认为 题中的折痕并不一定是 AA’的中垂线 l 与横、纵坐标轴的交点, 真正的折痕端点一端可能并不在坐标轴上,如图 4-2。 4、探究发现。那么,在整个过程中,折痕如何变化、所求 轨迹方程到底又是怎样的呢?
A

P F 图 4-2 B x

考虑到本题中所涉及的几何图形较为简单, 利用几何画板很方便就能模拟, 因此让学生 尝试通过几何画板进行探究:先建立平面直角坐标系,作出 A(0, 0) 、 B (8, 0) 、 C (8, 4) 、

D (0, 4) 四点, 顺次选中四点, 利用作线段功能作出矩形 ABCD。 在线段 CD 上任取一点 A’,
作线段 AA’的中垂线 l ,拖动点 A’,让学生观察 A’在线段 DC 上滑动时, l 与矩形边界的交 点 E、F 所处的位置的变化:拖动 A’从 D 到 C,发现 E、F 一开始在线段 AD、BC 上(如图 4-3) ,然后在 AD、AB 上(如图 4-4) ,最后在 DC、AB 上(如图 4-5) 。显然,学生的质疑 是合理的。

图 4-3

图 4-4

图 4-5

拖动点 A’同时,通过几何画板“显示”菜单的“追踪”功能追踪 P 点(注意:根据交 点的三种不同情况分别追踪) ,发现其轨迹是一个由两条线段和一条曲线段所围成的封闭曲 线。如图 4-6、4-7、4-8。最终,解题的重点就放在围成轨迹的线段、曲线段相应端点的确

图 4-6

图 4-7
7

图 4-8

定上了。再现整个过程,发现围成轨迹的线段、曲线段相应端点对应着 A’点的几个关键位 置分别如图 4-6 和图 4-7 所示。 经计算得线段 LM、 的方程分别为 x = 4(8 ? 4 3 ≤ y ≤ 2) 、 LN

y = 2(2 ≤ x ≤ 4) ,曲线段 MN 的方程为 x 2 + y 2 ? x 2 y = 0(2 ≤ x ≤ 4,8 ? 4 3 ≤ y ≤ 2) ,所

? x 2 + y 2 ? x 2 y = 0, (2 ≤ x ≤ 4,8 ? 4 3 ≤ y ≤ 2) ? 以所求的轨迹方程为: ? y = 2, (2 ≤ x ≤ 4) 。至此,问题得以 ? ? x = 4, (8 ? 4 3 ≤ y ≤ 2)
解决。 事实证明, 《几何画板》在数学教学中的应用,能有效地激发学生的数学学习兴趣,使 抽象、枯燥的数学概念变得直观、形象,使学生从害怕、厌恶数学变成对数学喜爱并乐意学 数学,进而通过做“数学实验”去模拟、验证、探索……。当然,一切优秀的教辅软件,其 真正作用的发挥, 都离不开广大一线教学工作者在教学实践中孜孜不倦的尝试、 实践和反思。 正如《上海市普通中小学课程方案》 (试行稿)写道: “信息技术在学科教育中的应用是一项 探索性的工作,需要在课程建设的实践中不断实验、总结和研究” 。让我们广大数学教学同 行共同努力,让数学学科与信息技术有机整合的鲜花越开越鲜艳。

注:本文所用的《几何画板》软件为 4.0 以上汉化版本。所选案例中对《几何画板》 “参 数”选项的“角度”栏注意按照需要适当选用“弧度制”或“角度制” ,参数的“键盘调节” 属性设置为 0.01 单位为宜。

【本文参考资料】 1、 《上海市普通中小学课程方案》 (试行稿) ,上海教育出版社,2004 年 10 月第一版 2、教育部《基础教育课程改革纲要》 (试行)《中国教育报》 , ,2001 年 7 月 27 日第 2 版 3、中国几何画板网,http://www.gspinchina.com/Default.htm

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