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新疆巴州蒙古族高级中学2015届高三数学上学期12月月考试卷(含解析)

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新疆巴州蒙古族高级中学 2015 届高三上学期 12 月月考数学试卷
一、选择题 1. (5 分)已知 α 是三角形的一个内角且 sinα +cosα = ,则此三角形是() A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形

2. (5

分)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcosC+ccosB=asinA,则△ABC 的形状为() A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定 3. (5 分)若函数 f(x)=sinax+cosax(a>0)的最小正周期为 1,则它的图象的一个对称中 心为() A. B. (0,0) C. D.

4. (5 分)函数 f(x)=2sin(ω x+φ ) (ω >0,﹣ ω ,φ 的值分别是()

<φ <

)的部分图象如图所示,则

A. 2,﹣

B. 2,﹣

C. 4,﹣

D. 4,

5. (5 分)已知 O 是△ABC 所在平面内一点,D 为 BC 边中点,且 A. B. C. D.

,那么()

6. (5 分)已知点 A(6,2) ,B(1,14) ,则与 A. C. B. D.

共线的单位向量为()

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7. (5 分)已知向量 、 的夹角为 60°,且| |=2,| |=1,则向量 与向量 +2 的夹角等 于() A. 150°

B. 90°

C. 60°

D. 30°

8. (5 分)在四边形 ABCD 中, A. B.

=(1,2) ,

=(﹣4,2) ,则该四边形的面积为() C. 5 D. 10 ,则 a5() C. 31 D. 32

9. (5 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 A. ﹣16 B. 16

10. (5 分)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3=9,S6=36,则 a7+a8+a9=() A. 63 B. 45 C. 36 D. 27 11. (5 分)已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=﹣8,则 a1+a10=() A. 7 B. 5 C. ﹣ 5 D. ﹣7

12. (5 分)设 f(x)=

,则

f(x)dx 等于()

A.

B.

C.

D. 不存在

13. (5 分)己知曲线 y=x 在点(a,b)处的切线与直线 x+3y+1=0 垂直,则 a 的值是() A. ﹣1 B. ±1 C. 1 D. ±3

3

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 14. (5 分)在△ABC 中,A,B,C 成等差数列,则 =.

15. (5 分)函数 y=lgsin2x+

的定义域为.

16. (5 分)已知数列{an}满足 a1=1,an=

an﹣1(n≥2) ,则 an=.

17.如果函数 f(x)=ax +2x﹣3 在区间(﹣∞,4)上是单调递增的,则实数 a 的取值范围是.

2

三、解答题: (本大题共 6 小题,第 17 题 10 分,其余每小题 10 分,共 70 分).

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 18. (10 分)已知抛物线 y=ax +bx+c 通过点 P(1,1) ,且在点 Q(2,﹣1)处与直线 y=x﹣3 相切,求实数 a,b,c 的值. 19. (12 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边长分别是 a,b,c. (Ⅰ)若 c=2, ,且△ABC 的面积 ,求 a,b 的值;
2

(Ⅱ)若 sinC+sin(B﹣A)=sin2A,试判断△ABC 的形状.

20. (12 分)设两个非零向量 与 不共线. (1)若 + , , ,求证:A,B,D 三点共线;

(2)试确定实数 k,使 k + 和 +k 共线.

21. (12 分) (1)在等差数列{an}中,已知 a1=20,前 n 项和为 Sn,且 S10=S15,求当 n 取何值时, Sn 取得最大值,并求出它的最大值; (2)已知数列{an}的通项公式是 an=4n﹣25,求数列{|an|}的前 n 项和. 22. (12 分)数列{an}的前 n 项和为 Sn,数列{bn}中,b1=a1,bn=an﹣an﹣1(n≥2) ,若 an+Sn=n. (1)设 cn=an﹣1,求证:数列{cn}是等比数列; (2)求数列{bn}的通项公式.

23. (12 分)求函数 y=sin(

+4x)+cos(4x﹣

)的周期、单调区间及最大、最小值.

新疆巴州蒙古族高级中学 2015 届高三上学期 12 月月考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题 1. (5 分)已知 α 是三角形的一个内角且 sinα +cosα = ,则此三角形是() A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形

考点: 三角形的形状判断. 专题: 计算题;解三角形. 分析: α 是三角形的一个内角,利用 sinα +cosα = ∈(0,1) ,可知此三角形是钝角三角 形. 解答: 解:∵α 是三角形的一个内角, ∴sinα >0,

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 又 sinα +cosα = , ∴(sinα +cosα ) =1+2sinα ?cosα = , ∴2sinα ?cosα =﹣ <0,sinα >0, ∴cosα <0, ∴α 为钝角, ∴此三角形是钝角三角形. 故选 C. 点评: 本题考查三角形的形状判断,考查二倍角公式的应用,属于中档题. 2. (5 分)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcosC+ccosB=asinA,则△ABC 的形状为() A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定 考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 由条件利用正弦定理可得 sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA,再由两角和的正弦公式、 诱导公式求得 sinA=1,可得 A= ,由此可得△ABC 的形状.
2

解答: 解:△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, ∵bcosC+ccosB=asinA,则由正弦定理可得 sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA, 即 sin(B+C)=sinAsinA,可得 sinA=1,故 A= ,故三角形为直角三角形,

故选 B. 点评: 本题主要考查正弦定理以及两角和的正弦公式、诱导公式的应用,根据三角函数的 值求角,属于中档题. 3. (5 分)若函数 f(x)=sinax+cosax(a>0)的最小正周期为 1,则它的图象的一个对称中 心为() A. B. (0,0) C. D.

考点: 两角和与差的正弦函数;正弦函数的对称性. 专题: 计算题. 分析: 化简函数 f(x)=sinax+cosax(a>0)为 通过 f(x)=0 求出满足选项中的 x 值即可. 解答: 解:f(x)=sinax+cosax= T= =1,则 a=2π sin(ax+ ) sin(ax+ ) ,利用周期求出 a,然后

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 所以 f(x)= sin(2π x+ ) =0

令 f(x)=0,则其中有:2π x+ x=﹣

即其中一个对称中心是(﹣ ,0) 故选 C. 点评: 本题考查正弦函数的对称性,考查计算能力,是基础题. 4. (5 分)函数 f(x)=2sin(ω x+φ ) (ω >0,﹣ ω ,φ 的值分别是() <φ <

)的部分图象如图所示,则

A. 2,﹣

B. 2,﹣

C. 4,﹣

D. 4,

考点: 由 y=Asin(ω x+φ )的部分图象确定其解析式;y=Asin(ω x+φ )中参数的物理意 义. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: 通过图象求出函数的周期,再求出 ω ,由( 解答: 解:由图象可知: T= ∴ω = ∵( =2; ,2)在图象上, +φ =2k , ,φ =2kπ , (k∈Z) . = ,2)确定 φ ,推出选项. ,∴T=π ,

所以 2× ∵﹣

<φ <

∴k=0, ∴φ = 故选:A. .

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 点评: 本题考查 y=Asin(ω x+φ )中参数的物理意义,由 y=Asin(ω x+φ )的部分图象确 定其解析式,考查视图能力,逻辑推理能力.

5. (5 分)已知 O 是△ABC 所在平面内一点,D 为 BC 边中点,且 A. B. C. D.

,那么()

考点: 零向量;三角形五心. 专题: 平面向量及应用. 分析: 先根据所给的式子进行移项, 再由题意和向量加法的四边形法则, 得到 即有 成立. ,∴ , ,

解答: 解:∵ ∵D 为 BC 边中点, ∴ ,则 ,

故选:A. 点评: 本题考查了向量的加法的四边形法则的应用,即三角形一边上中点的利用,再根据 题意建立等量关系,再判断其它向量之间的关系.

6. (5 分)已知点 A(6,2) ,B(1,14) ,则与 A. C. B. D.

共线的单位向量为()

考点: 平行向量与共线向量;单位向量;平面向量的坐标运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 与 共线的单位向量为: ,由已知分别求得 , 即可得到答案.

解答: 解:

=(﹣5,12) ,|

|=

=13,

∴与

共线的单位向量为:

=

=±(﹣



) ,

即与

共线的单位向量为(



)或(

) ,

故选 C.

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点评: 本题考查共线向量、单位向量及向量的坐标运算,属基础题,与 共线的单位向量为 ± .

7. (5 分)已知向量 、 的夹角为 60°,且| |=2,| |=1,则向量 与向量 +2 的夹角等 于() A. 150°

B. 90°

C. 60°

D. 30°

考点: 数量积表示两个向量的夹角. 专题: 计算题. 分析: 先求出 及| |= = 的值,再根据

cosθ =

求出 θ 的值.

解答: 解:由题意可得 则| |= =

=2×1cos60°=1,设向量 与向量 +2 的夹角等于 θ , =2 .

故 cosθ =

=

=



再由 0°≤θ ≤180°,可得 θ =30°, 故选 D. 点评: 本题主要考查两个向量的夹角公式,两个向量数量积公式,求向量的模的方法,属 于中档题.

8. (5 分)在四边形 ABCD 中, A. B.

=(1,2) ,

=(﹣4,2) ,则该四边形的面积为() C. 5 D. 10

考点: 向量在几何中的应用;三角形的面积公式;数量积判断两个平面向量的垂直关系. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 通过向量的数量积判断四边形的形状,然后求解四边形的面积即可. 解答: 解:因为在四边形 ABCD 中, 所以四边形 ABCD 的对角线互相垂直,又 , , , , =0,

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 该四边形的面积: = =5.

故选 C. 点评: 本题考查向量在几何中的应用,向量的数量积判断四边形的形状是解题的关键,考 查分析问题解决问题的能力. 9. (5 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 A. ﹣16 B. 16 C. 31 ,则 a5() D. 32

考点: 数列的概念及简单表示法. 专题: 计算题. 分析: 先根据 a1=S1,an=Sn﹣Sn﹣1(n≥2)求出数列{an}的通项公式,再将 n=5 代入可求出所 求. 解答: 解:当 n=1 时,a1=S1=2a1﹣1,∴a1=1. 当 n>1 时,Sn=2an﹣1,∴Sn﹣1=2an﹣1﹣1, ∴Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1, ∴an=2an﹣2an﹣1, ∴an=2an﹣1, ∴ =2,
n﹣1 *

∴{an}是首项为 1,公比为 2 的等比数列,∴an=2 ,n∈N . 5﹣1 ∴a5=2 =16. 故选 B. 点评: 本题主要考查了数列的概念及简单表示法,以及等差数列的通项公式,同时考查了 计算能力,属于基础题. 10. (5 分)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3=9,S6=36,则 a7+a8+a9=() A. 63 B. 45 C. 36 D. 27 考点: 等差数列的性质. 分析: 观察下标间的关系,知应用等差数列的性质求得. 解答: 解:由等差数列性质知 S3、S6﹣S3、S9﹣S6 成等差数列,即 9,27,S9﹣S6 成等差,∴S9 ﹣S6=45 ∴a7+a8+a9=45 故选 B. 点评: 本题考查等差数列的性质. 11. (5 分)已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=﹣8,则 a1+a10=() A. 7 B. 5 C. ﹣ 5 D. ﹣7 考点: 等比数列的性质;等比数列的通项公式. 专题: 计算题.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 分析: 由 a4+a7=2,及 a5a6=a4a7=﹣8 可求 a4,a7,进而可求公比 q,代入等比数列的通项可求 a1,a10,即可 解答: 解:∵a4+a7=2,由等比数列的性质可得,a5a6=a4a7=﹣8 ∴a4=4,a7=﹣2 或 a4=﹣2,a7=4 当 a4=4,a7=﹣2 时, ,

∴a1=﹣8,a10=1, ∴a1+a10=﹣7 3 当 a4=﹣2,a7=4 时,q =﹣2,则 a10=﹣8,a1=1 ∴a1+a10=﹣7 综上可得,a1+a10=﹣7 故选 D 点评: 本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的应用,考查了基本运算的能力.

12. (5 分)设 f(x)=

,则

f(x)dx 等于()

A.

B.

C.

D. 不存在

考点: 定积分. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 原积分化为 可 解答: 解:
2

f(x)dx=

x dx+

2

(2﹣x)dx,根据定积分的计算法则计算即

f(x)dx=

x dx+

2

(2﹣x)dx= x |

3

+(2x﹣ x )|

2

= +(2×2

﹣ ×2 )﹣(2﹣ )= +4﹣2﹣2+ = 故选:C 点评: 本题考查了定积分的计算,关键是求出原函数,属于基础题, 13. (5 分)己知曲线 y=x 在点(a,b)处的切线与直线 x+3y+1=0 垂直,则 a 的值是() A. ﹣1 B. ±1 C. 1 D. ±3 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 计算题;导数的概念及应用. 3 分析: 曲线 y=x 在点(a,b)的处的切线的斜率为 3,再利用导数的几何意义,建立方程, 可求 a 的值. 3 解答: 解:由题意,曲线 y=x 在点(a,b)的处的切线的斜率为 3 2 2 求导函数可得 y=3x ,所以 3a =3 ∴a=±1 故选 B. 点评: 本题考查导数的几何意义,考查两条直线的位置关系,属于基础题.
3

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二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 14. (5 分)在△ABC 中,A,B,C 成等差数列,则 = .

考点: 两角和与差的正切函数. 专题: 计算题. 分析: 首先利用等差中项求出∠A+∠C=120°,然后利用两角和与差公式化简原式,即可得 出结果. 解答: 解:A,B,C 成等差数列 ∴2∠B=∠A+∠C 又∵∠B+∠A+∠C=180° ∴∠B=60°∠A+∠C=120° =tan( = (1﹣tan tan )+ tan tan ) (1﹣tan tan )+ tan tan

= 故答案为 . 点评: 本题考查了等差数列的性质和两角和与差的正切函数, 关键是求出∠A+∠C 和化简原 式,要灵活掌握两角和与差的正切函数.属于基础题.

15. (5 分)函数 y=lgsin2x+

的定义域为[﹣3,﹣

)∪(0,

) .

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 函数的定义域应满足被开方数大于或等于 0, 且真数大于 0, 求出 x 的取值范围即可. 解答: 解:∵函数 y=lgsin2x+ ,

∴应满足



解得

(其中 k∈Z) ;

∴﹣3≤x<﹣

,或 0<x<

; )∪(0, ) . ) ;

∴函数的定义域为[﹣3,﹣ 故答案为:[﹣3,﹣

)∪(0,

点评: 本题考查了函数的定义问题,也考查了解不等式组的问题,是基础题.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 16. (5 分)已知数列{an}满足 a1=1,an= an﹣1(n≥2) ,则 an= .

考点: 数列递推式. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 依题意,可得 an= 即可得到答案. 解答: 解:∵数列{an}中,a1=1,an= an﹣1(n≥2) , ? ? ? ?1= (n≥2) ,再验证 n=1 时是否符合该式



=



=

,?,

= ,

∴an=

?

?

?a1

=

?

?

? ?1= (n≥2) ,

又 n=1 时 a1=1,满足上式, ∴an= , 故答案为: . 点评: 本题考查数列递推式的应用,着重考查累乘法,属于中档题. 17.如果函数 f(x)=ax +2x﹣3 在区间(﹣∞,4)上是单调递增的,则实数 a 的取值范围是 .
2

考点: 二次函数的性质. 专题: 计算题;分类讨论. 分析: ①当 a=0 时,f(x)=2x﹣3 在(﹣∞,4)上单调递增,②当 a≠0 时,则实数 a 满 足 ,可求.

解答: 解:①当 a=0 时,f(x)=2x﹣3 在(﹣∞,4)上单调递增,满足题意 2 ②当 a≠0 时,若使得函数 f(x)=ax +2x﹣3 在区间(﹣∞,4)上是单调递增, 则实数 a 满足 ,解可得

综上可得, 故答案为[﹣ ]

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 点评: 本题主要考查了函数单调性的应用及分类讨论的思想,解题的关键是比较区间端点 与二次函数的对称轴,但是不要漏掉对一次函数即 a=0 时的考虑 三、解答题: (本大题共 6 小题,第 17 题 10 分,其余每小题 10 分,共 70 分). 2 18. (10 分)已知抛物线 y=ax +bx+c 通过点 P(1,1) ,且在点 Q(2,﹣1)处与直线 y=x﹣3 相切,求实数 a,b,c 的值. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;函数解析式的求解及常用方法. 专题: 计算题. 分析: 根据点 P 在抛物线上,以及抛物线过点 Q,和在 x=2 处的导数等于 1,建立方程组, 解之即可求出所求. 解答: 解:因为抛物线过点 P,所以 a+b+c=1① 又 y′=2ax+b,∴y′|x=2=4a+b,∴4a+b=1② 又抛物线过点 Q∴4a+2b+c=﹣1③ 由①②③解得 a=3,b=﹣11,c=9 点评: 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,以及函数解析式的求出,属于 中档题. 19. (12 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边长分别是 a,b,c. (Ⅰ)若 c=2, ,且△ABC 的面积 ,求 a,b 的值;

(Ⅱ)若 sinC+sin(B﹣A)=sin2A,试判断△ABC 的形状. 考点: 正弦定理;三角形的形状判断. 专题: 计算题. 分析: (Ⅰ)根据余弦定理,得 c =a +b ﹣ab=4,再由面积正弦定理得
2 2 2

,两式

联解可得到 a,b 的值; (Ⅱ)根据三角形内角和定理,得到 sinC=sin(A+B) ,代入已知等式,展开化简合并,得 sinBcosA=sinAcosA,最后讨论当 cosA=0 时与当 cosA≠0 时,分别对△ABC 的形状的形状加以 判断,可以得到结论. 2 2 解答: 解: (Ⅰ)由余弦定理 及已知条件得,a +b ﹣ab=4,?. (3 分) 又因为△ABC 的面积等于 ,所以 ,得 ab=4. (5 分)

联立方程组

解得 a=2,b=2. (7 分)

(Ⅱ)由题意得:sinC+sin(B﹣A)=sin2A 得到 sin(A+B)+sin(B﹣A)=sin2A=2sinAcoA 即:sinAcosB+cosAsinB+sinBcosA﹣cosBsinA=2sinAcoA 所以有:sinBcosA=sinAcosA, (10 分) 当 cosA=0 时, ,△ABC 为直角三角形(12 分)

当 cosA≠0 时,得 sinB=sinA,由正弦定理得 a=b,

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 所以,△ABC 为等腰三角形. (14 分) 点评: 本题考查了正弦定理与余弦定理的应用,属于中档题.熟练掌握三角函数的有关公 式,是解好本题的关键.

20. (12 分)设两个非零向量 与 不共线. (1)若 + , , ,求证:A,B,D 三点共线;

(2)试确定实数 k,使 k + 和 +k 共线.

考点: 向量的共线定理. 专题: 计算题;证明题. 分析: (1)根据所给的三个首尾相连的向量,用其中两个相加,得到两个首尾相连的向量, 根据表示这两个向量的基底,得到两个向量之间的共线关系,从而得到三点共线. (2)两个向量共线,写出向量共线的充要条件,进而得到关于实数 k 的等式,解出 k 的值, 有两个结果,这两个结果都合题意. 解答: 解: (1)∵ = ∴ 与 = , 共线 =

两个向量有公共点 B, ∴A,B,D 三点共线. (2)∵ 即 ∵非零向量 与 不共线, ∴k﹣λ =0 且 1﹣λ k=0, ∴k=±1. 点评: 本题考查向量共线定理,是一个基础题,本题从两个方面解读向量的共线定理,一 是证明向量共线,一是根据两个向量共线解决有关问题. 21. (12 分) (1)在等差数列{an}中,已知 a1=20,前 n 项和为 Sn,且 S10=S15,求当 n 取何值时, Sn 取得最大值,并求出它的最大值; (2)已知数列{an}的通项公式是 an=4n﹣25,求数列{|an|}的前 n 项和. 考点: 数列的求和;等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 和 共线,则存在实数 λ ,使得 , =λ ( ) ,

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 分析: (1)由已知得 (n﹣ )+
2

,从而 d=﹣ ,进而求出 Sn=﹣

,由此能求出当 n=12 或 13 时,Sn 取得最大值 130.
2

(2) 由已知得{an}是首项为﹣21, 公差为 4 的等差数列, 从而数列{an}的前 n 项和 Sn=2n ﹣23n, 由 an=4n﹣25≥0,得 ,从而 n≤6 时,an<0,n≥7 时,an>0,由此能求出数列{|an|}

的前 n 项和. 解答: 解: (1)∵{an}是等差数列,a1=20,前 n 项和为 Sn,且 S10=S15, ∴ 解得 d=﹣ , ∴Sn=20n+ =﹣ + =﹣ (n﹣ )+
2





∴当 n=12 或 13 时,Sn 取得最大值 S12=S13=130. (2)∵数列{an}的通项公式是 an=4n﹣25, ∴a1=4﹣25=﹣21,an﹣an﹣1=(4n﹣25)﹣(4n﹣4﹣25)=4, ∴{an}是首项为﹣21,公差为 4 的等差数列, ∴数列{an}的前 n 项和 Sn=﹣21n+ 由 an=4n﹣25≥0,得 , =2n ﹣23n,
2

∴n≤6 时,an<0,n≥7 时,an>0, 设数列{|an|}的前 n 项和为 Tn, 2 当 n≤6 时,Tn=﹣(a1+a2+?+an)=﹣Sn=23n﹣2n ; 2 2 当 n≥7 时,Tn=Sn﹣2S6=2n ﹣23n﹣2(2×36﹣23×6)=2n ﹣23n+132. ∴数列{|an|}的前 n 项和: .

点评: 本题考查等差数列的前 n 项和取最大值时项数的求法和最大值的求法,考查数列的 各项绝对值的和的求法,是中档题,解题时要注意等差数列的性质的合理运用. 22. (12 分)数列{an}的前 n 项和为 Sn,数列{bn}中,b1=a1,bn=an﹣an﹣1(n≥2) ,若 an+Sn=n. (1)设 cn=an﹣1,求证:数列{cn}是等比数列; (2)求数列{bn}的通项公式. 考点: 等比关系的确定;数列递推式. 专题: 计算题;证明题. 分析: (1) 先根据 an+Sn=n 求出 a1 的值, 再由 an+1+Sn+1=n+1 和 an+Sn=n 两式相减可得到 2 (an+1 ﹣1)=an﹣1,即 = ,再由 cn=an﹣1 可得到数列{cn}是等比数列,得证.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (2)先根据数列{cn}是等比数列求出数列{cn}的通项公式,进而可得到数列{an}的通项公式, 然后由 bn=an﹣an﹣1 可得到 bn 的通项公式. 解答: (1)证明:∵a1=S1,an+Sn=n,∴a1+S1=1,得 a1= .

又 an+1+Sn+1=n+1,两式相减得 2(an+1﹣1)=an﹣1,即

= ,

也即

= ,故数列{cn}是等比数列.

(2)解:∵c1=a1﹣1=﹣ , ∴cn=﹣ ,an=cn+1=1﹣ ,an﹣1=1﹣ ﹣
*

. = .

故当 n≥2 时,bn=an﹣an﹣1= 又 b1=a1= ,即 bn= (n∈N ) .

点评: 本题主要考查等比数列的证明和求数列的通项公式,考查基础知识的综合运用.

23. (12 分)求函数 y=sin(

+4x)+cos(4x﹣

)的周期、单调区间及最大、最小值.

考点: 三角函数中的恒等变换应用. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: 经观察, ( +4x)+( ﹣4x)= ,从而利用诱导公式及三角函数中的恒等变换可

将原式化为 y=2sin(4x+ 解答: 解:∵( ∴cos(4x﹣

) ,从而可求其周期、单调区间及最大、最小值. ﹣4x)= , +4x) , ,即 T= .

+4x)+(

)=cos(

﹣4x)=sin(

∴原式就是 y=2sin(4x+ 当﹣ + 当 [ +2kπ ≤4x+ , + ≤

) ,这个函数的最小正周期为

+2kπ (k∈Z)时函数单调递增,所以函数的单调递增区间为[﹣

](k∈Z) . ≤ +2kπ (k∈Z)时函数单调递减,所以函数的单调递减区间为

+2kπ ≤4x+ + , +

](k∈Z) .

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 当 x= 当 x=﹣ + + (k∈Z)时,ymax=2; (k∈Z)时,ymin=﹣2. +4x)+( ﹣4x)= ”

点评: 本题考查诱导公式及三角函数中的恒等变换,观察到“( 是关键,也是解题中的亮点,属于中档题.

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