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【名师堂】2015-2016学年高中数学 1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象(二)教案 新人教A版必修4


函数 y=Asin(ω x+φ )的图象(二)
(一) 、导入新课 思路 1.(直接导入)上一节课中,我们分别探索了参数φ 、ω 、A 对函数 y=Asin(ω x+φ ) 的图象的影响及“五点法”作图.现在我们进一步熟悉掌握函数 y=Asin(ω x+φ )(其中 A>0, ω >0,φ ≠0)的图象变换及其物理背景.由此展开新课. 思路 2.(复习导入)

请同学们分别用图象变换及 “五点作图法” 画出函数 y=4sin(

1 ? x- ) 3 2

的简图,学生动手画图,教师适时的点拨、 纠正,并让学生回答有关的问题.在学生回顾与复习 上节所学内容的基础上展开新课. (二) 、推进新课、新知探究、提出问题 ①在上节课的学习中,用“五点作图法”画函数 y=Asin(ω x+φ )的图象时,列表中最关 键的步骤是什么? ②(1)把函数 y=sin2x 的图象向_____平移_____个单位长度得到函数 y=sin(2x-

? ) 3

的图象; (2)把函数 y=sin3x 的图象向_______平移_______个单位长度得到函数 y=sin(3x+

? )的图象? 3 ? ③将函数 y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,再向左平移 个单位长度, 2 1 所得到的曲线是 y= sinx 的图象,试求函数 y=f(x)的解析式. 2
(3)如何由函数 y=sinx 的图象通过变换得到函数 y=sin(2x+ 对这个问题的求解现给出以下三种解法,请说出甲、乙、丙各自解法的正误.

? )的图象; 6

? ? 1 1 sinx 的图象先向右平移 个单位长度,得到 y= sin(x- ) 2 2 2 2 ? 1 1 的图象 , 再将所得的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 , 得到 y= sin(2x- ), 即 2 2 2 1 1 y= ? cos2x 的图象,∴f(x)= ? cos2x. 2 2
甲:所给问题即是将 y= 乙:设 f(x)=Asin( ω x+ φ ), 将它的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 , 得到 y=Asin( φ )=

?
2

x+φ )的图象,再将所得的图象向左平移

? 1 1 ? sinx,∴A= , =1, +φ =0, 2 2 2 2 ? ? 1 1 1 即 A= ,ω =2,φ =- .∴f(x)= sin(2x- )= ? cos2x. 2 2 2 2 2

? ? ? 个单位长度,得到 y=Asin( x+ + 2 2 2

丙:设 f(x)=Asin( ω x+ φ ), 将它的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 , 得到 y=Asin(

?
2

x+φ )的图象,再将所得的图象向左平移

? ? ? 个单位长度,得到 y=Asin[ (x+ )+ 2 2 2

1

φ ]=Asin(

?

4 2 1 ? ?? ∴A= , =1, +φ =0. 2 2 4 ? 1 解得 A= ,ω =2,φ =- , 2 2 ? 1 1 ∴f(x)= sin(2x- )= ? cos2x. 2 2 2

x+

??

+φ )=

1 sinx, 2

活动:问题①,复习巩固已学三种基本变换,同时为导入本节课重、 难点创设情境.让学生 回答并回忆 A、 ω、 φ 对函数 y=Asin(ω x+φ )图象变化的影响.引导学生回顾 “五点作图法” , 既复习了旧知识,又为学生准确使用本节课的工具提供必要的保障. 问题②,让学生通过实例综合以上两种变换,再次回顾比较两种方法平移量的区别和导 致这一现象的根本原因,以此培养训练学生变换的逆向思维能力,训练学生对变换实质的理 解及使用诱导公式的综合能力. 问题③,甲的解法是考虑以上变换的“逆变换”,即将以上变换倒过来,由 y=

1 sinx 变 2

换到 y=f(x),解答正确.乙、丙都是采用代换法,即设 y=Asin(ω x+φ ),然后按题设中的变换 得到两次变换后图象的函数解析式,这种思路清晰,但值得注意的是:乙生的解答过程中存在

? ? 个单位长度时,把 y=Asin( x+ 2 2 2 ? ? ? φ ) 函数中的自变量 x 变成 x+ , 应该变换成 y=Asin[ (x+ )+ φ ], 而不是变换成 2 2 2 ? ? y=Asin( x+ +φ ),虽然结果一样,但这是巧合,丙的解答是正确的. 2 2
实质性的错误,就是将 y=Asin( x+φ )的图象向左平移 三角函数图象的“逆变换”一定要注意其顺序,比如甲生解题的过程中如果交换了顺序 就会出错,故在对这种方法不是很熟练的情况下,用丙同学的解法较合适(即待定系数法).平 移变换是对自变量 x 而言的,比如乙同学的变换就出现了这种错误.

?

? 3? ,π , ,2π . 2 2 ? ? ? ②(1)右, ;(2)左, ;(3)先 y=sinx 的图象左移 ,再把所有点的横坐标压缩到原来 6 3 18 1 的 倍(纵坐标不变). 2
讨论结果:①将ω x+φ 看作一个整体,令其分别为 0, ③略. 提出问题 ①回忆物理中简谐运动的相关内容,并阅读本章开头的简谐运动的图象,你能说出简谐 运动的函数关系吗? ②回忆物理中简谐运动的相关内容,回答:振幅、周期、频率、相位、初相等概念与 A、 ω 、φ 有何关系. 活动:教师引导学生阅读并适时点拨.通过让学生回忆探究,建立与物理知识的联系,了 解常数 A、ω 、φ 与简谐运动的某些物理量的关系,得出本章开头提到的“简谐运动的图象” 所对应的函数解析式有如下形式:y=Asin(ω x+φ ),x∈[0,+∞),其中 A>0,ω >0.物理中,描 述简谐运动的物理量,如振幅、 周期和频率等都与这个解析式中的常数有关:A 就是这个简谐 运动的振幅 , 它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离 ; 这个简谐运动的周期是

2

T=

2?

? 1 ? f= = 给出 , 它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数 ; ω x+ φ 称为相 T 2?
位;x=0 时的相位φ 称为初相. 讨论结果:①y=Asin(ω x+φ ),x∈[0,+∞),其中 A>0,ω >0. ②略. (三) 、应用示例 例 1 图 7 是某简谐运动的图象.试根据图象回答下列问题: (1)这个简谐运动的振幅、周期和频率各是多少? (2)从 O 点算起,到曲线上的哪一点,表示完成了一次往复运动?如从 A 点算起呢? (3)写出这个简谐运动的函数表达式.

, 这是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间 ; 这个简谐运动的频率由公式

图7 活动:本例是根据简谐运动的图象求解析式 .教师可引导学生再次回忆物理学中学过的 相关知识,并提醒学生注意本课开始时探讨的知识,思考 y=Asin(ω x+φ )中的参数φ 、ω 、A 在图象上是怎样反映的,要解决这个问题,关键要抓住什么.关键是搞清φ 、ω 、A 等参数在 图象上是如何得到反映的.让学生明确解题思路,是由形到数地解决问题,学会数形结合地处 理问题.完成解题后,教师引导学生进行反思学习过程,概括出研究函数 y=Asin(ω x+φ )的 图象的思想方法,找两名学生阐述思想方法,教师作点评、补充. 解:(1)从图象上可以看到,这个简谐运动的振幅为 2 cm;周期为 0.8 s;频率为

5 . 4

(2)如果从 O 点算起,到曲线上的 D 点,表示完成了一次往复运动;如果从 A 点算起,则到 曲线上的 E 点,表示完成了一次往复运动. (3)设这个简谐运动的函数表达式为 y=Asin(ω x+φ ),x∈[0,+∞),

5? ;由图象知初相φ =0. ? 2 5? 于是所求函数表达式是 y=2sin x,x∈[0,+∞). 2
那么 A=2;由 =0.8,得ω = 点评:本例的实质是由函数图象求函数解析式,要抓住关键点.应用数学中重要的思想方 法——数形结合的思想方法,应让学生熟练地掌握这种方法. 变式训练 函 数 y=6sin(

2?

? 1 x- ) 的振幅是 , 周期 是 ____________, 频 率是 ____________, 初相 是 6 4
1 8? ?

___________,图象最高点的坐标是_______________. 解:6 8π

?
6

(8kπ +

8? ,6)(k∈Z) 3

例 2 若函数 y=Asin( ω x+ φ )+B( 其中 A>0,ω >0)在其一个周期内的图象上有一个最高点
3

(

? ? ,3)和一个最低点( ,-5),求这个函数的解析式. 12 12

活动:让学生自主探究题目中给出的条件,本例中给出的实际上是一个图象,它的解析式 为 y=Asin( ω x+ φ )+B( 其中 A>0, ω >0), 这是学生未遇到过的 . 教师应引导学生思考它与 y=Asin(ω x+φ )的图象的关系,它只是把 y=Asin(ω x+φ )(其中 A>0,ω >0)的图象向上(B>0) 或向下(B<0)平移|B|个单位.由图象可知,取最大值与最小值时相应的 x 的值之差的绝对值 只是半个周期.这里φ 的确定学生会感到困难,因为题目中毕竟没有直接给出图象,不像例 1 那样能明显地看出来,应告诉学生一般都会在条件中注明|φ |<π ,如不注明,就取离 y 轴最 近的一个即可. 解:由已知条件,知 ymax=3,ymin=-5, 则 A=

T 7? ? ? 1 1 (ymax-ymin)=4,B= (ymax+ymin)=-1, = - = . 2 12 12 2 2 2

∴T=π ,得ω =2. 故有 y=4sin(2x+φ )-1.

? ? ,3)在函数的图象上,故有 3=4sin(2× +φ )-1, 12 12 ? ? ? ? ? 即 sin( +φ )=1.一般要求|φ |< ,故取 +φ = .∴φ = . 6 2 6 2 3 ? 故所求函数的解析式为 y=4sin(2x+ )-1. 3
由于点( 点拨:这是数形结合的又一典型应用,应让学生明了,题中无图但脑中应有图或根据题意 画出草图,结合图象可直接求得 A、 ω ,进而求得初相φ ,但要注意初相φ 的确定.求初相也是 这节课的一个难点. 变式训练 已知函数 y=Asin(ω x+φ )(其中 A>0,ω >0)一个周期的图象如图 8 所示,求函数的解析 式.

解:根据“五点法”的作图规律,认清图象中的一些已知点属于五点法中的哪一点,而选 择对应的方程ω xi+φ =0,

? 3? ,π , ,2π (i=1,2,3,4,5),得出φ 的值. 2 2

方法一:由图知 A=2,T=3π ,

2 2 ,∴y=2sin( x+φ ). ? 3 3 3? 由“五点法”知,第一个零点为( ,0), 4 ? 2 3? ∴ · +φ =0 ?φ =- , 2 3 4 2 ? 故 y=2sin( x- ). 3 2
由 =3π ,得ω =
4

2?

方法二:得到 y=2sin(

2 x+φ )同方法一. 3 3? 9? 由图象并结合“五点法”可知,( ,0)为第一个零点,( ,0)为第二个零点. 4 4 2 9? ? ∴ · +φ =π ?φ = ? . 3 4 2 2 ? ∴y=2sin( x- ). 3 2

点评:要熟记判断“第一点”和“第二点”的方法,然后再利用ω x1+φ =0 或ω x2+φ =π 求出φ . 2.2007 海南高考,3 函数 y=sin(2x-

? ? )在区间[ ? ,π ]上的简图是( 3 2

)

图9 答案:A (四) 、课堂小结 1.由学生自己回顾本节学习的数学知识:简谐运动的有关概念.本节学习的数学方法:由简单 到复杂、 特殊到一般、 具体到抽象的化归思想,数形结合思想,待定系数法,数学的应用价值. 2.三角函数图象变换问题的常规题型是:已知函数和变换方法,求变换后的函数或图象,这种 题目的解题的思路是:如果函数同名则按两种变换方法的步骤进行即可;如果函数不同名 , 则将异名函数化为同名函数,且需 x 的系数相同.左右平移时,如果 x 前面的系数不是 1,需将 x 前面的系数提出,特别是给出图象确定解析式 y=Asin(ω x+φ )的题型.有时从寻找“五点 法”中的第一零点( ?

? ,0)作为突破口,一定要从图象的升降情况找准第一零点的位置. ?

(五) 、作业

5


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