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课题名称 《函数的单调性》 (北师大版 必修 数学1 第二章)


课题名称 《函数的单调性》 (北师大版 姓名 课型 是否采用 多媒体 黄翠花 听说课 课时

必修 数学 1 第二章) 杜桥中学 教学对象 高一学生

单位 1 课时 是

一、教材分析
对于刚刚升入高中的学生来说,他们在初中阶段,通过一次函数、二次函数、反比例函数的 学习已经对函数的增减性有了初步的感性认识。

这里函数的单调性就是进一步学习函数增减性 的严格定义,从数和形两个方面理解单调性的概念。在高中阶段,用符号语言刻画图形语言, 用定量分析解释定性结果,对就是于培养学生的理性思维是很有必要的。高三阶段我们还要学 习利用导数为工具研究函数的单调性, 所以,高一单调性的学习,及时初中学习的延续和深化, 又为高三的学习奠定基础。

二、学情分析
高一学生已经掌握了一次函数、二次函数、反比例函数的图像和基本性质以及集合等内容, 但对知识的理解和方法的掌握一些细节上不完备, 反映在解题中就是思维不缜密, 过程不完善。 通过一段时间的教学我发现大部分学生归纳总结能力方面不足,对于数学中的思想方法尤其是 这里要用到的数形结合思想还需进一步的培养和加强。

三、教学资源与策略
教学资源:课本,教师参考资料、自编助学案以及多媒体和计算机。 教学策略:这节课是学生初次接触单调性概念,根据教学内容、教学目标和学生的认知水平, 我主要采用启发式讲授,学生自主探究归纳的教学方法。

四、教学目标
1. 知识与能力:理解函数单调性概念,掌握用定义判断和证明函数单调性的方法。 培养学生观察、归纳、推理论证的逻辑思维能力。 2. 过程与方法:通过知识的讲授和理解,进一步加强学生对数形结合数学思想的掌握。 探究与活动,明白考虑问题要细致,说明要缜密准确。 3. 情感、态度与价值观:理性描述生活中的增长、递减现象。

五、教学重难点
1. 教学重点:函数单调性的概念,判断和证明函数的单调性。 2. 教学难点:函数单调性概念(数学符号语言)的认识。 应用定义证明单调性代数推理论证。

六、教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图

一 复习引入 1 请同学们作出下列函数的图像: (1) y ? x (2) y ? ? x (3) y ? x 2

教师引导学生 得出:当 k ? 0 学生分组画 便于学生温故而 知新,在已有知识 基础上去探求新 知识。

时, y 随 x 值的 图。 增大而增大;当
k ? 0 时, y 随 x

2 画出一次函数 y ? kx ? b 的图像。

值的增大而减 小。

二 新知探究 1 投影(图)一次函数的图像 当 k ? 0 时,对于定义域内的任意两个 自变量 x1 , x2 ,当 x1 ? x2 时,都有 教师引导学生 学生观察、讨 论并交流。

f ( x1 ) ? f ( x2 ) 。当 k ? 0 时,对于定义域内 用数学语言表
的任意两个自变量 x1 , x2 ,当 x1 ? x2 时,
都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 。

达函数值的增 减变化。

2 增(减)函数的概念 一般地,在函数 y ? f ( x) 的定义域 内的一个区间 A 上,如果对于任意两个 值 x1 , x2 ? A ,当 x1 ? x2 时,都有 那么就称函数 y ? f ( x) 在 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 区间 A 上是增加的,有时也称函数
y ? f ( x) 在区间 A 上是递增的。

教师板书概念

让学生思考归 纳减函数的概

教师投影教材

念,教师最后

类似的,在函数 y ? f ( x) 的定义域 内的一个区间 A 上,如果对于任意两个 值 x1 , x2 ? A ,当 x1 ? x2 时,都有

图 2-16, 学生观 补充完善。 察图像,归纳 增、减性。可分 1 让学生观察比 较、抽象概括概 念。

那么就称函数 y ? f ( x) 在 组讨论交流。教 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 区间 A 上是减少的,有时也称函数
y ? f ( x) 在区间 A 上是递减的。

师补充纠正。

2 让学生体会归 3 单调区间 如果 y ? f ( x) 在区间 A 上是增加的或 者是减少的,那么称 A 为单调区间。 纳类比的思想方 法,发展学生的理 性思维能力。

如果函数 y ? f ( x) 在定义域的某个子 集上市增加的或者减少的,那么就称函 数 y ? f ( x) 在这个子集上具有单调性。 如果函数 y ? f ( x) 在整个定义域内是 增加的或者减少的,我们分别称这个函 数为增函数或者减函数,统称为单调函 数。

教师提出问题: 师生共同概 教材图 2-16 所 描述的函数是 4 单调性是函数的局部性质。 单调函数吗? 括:该函数在 某些区间上单 调递增,在某 些区间上单调 递减,而在整 个定义域上不 具备单调性, 不是单调函 数。 加深对概念的理 解。

三 应用举例 教材例 1 说出函数 f ( x) ?
1 的单调区间,并指 x

明在该区间上的单调性。 例2 画出函数
f ( x) ? 3x ? 2 的图像, 判断

教师引导学生 归纳证明函数

学生自学例 1, 培养学生的自学 例 2,分组共 能力,加深对概念 的理解和应用的 意识。

单调性的步骤。 同归纳步骤。

它的单调性,并加以证明。

归纳:取值 ?作差 ?变形 ?定号 ?结 论。

教师辅导学生 四 课堂练习 教材练习 1,2 题, 习题 2-3 A 组 2 题。

学生分组讨论

巩固所学知识。

完成课堂练习。 完成。

五 归纳小结 1 单调性的定义。 2 单调性的证明(注意步骤) 。 3 数学思想方法数形结合思想的掌握 教师引导学生 总结。 学生分组讨论 总结。 使学生养成归纳 总结的习惯,不断 提高自己的理性 思维水平及反思 构建能力。

六 作业布置 教材习题 2-3 A 组第 4,5 题。

学生独立完 成。

巩固所学知识。

七、教学评价
“函数单调性”是一个重要的数学概念,以往的教学方法一般是由教师讲解为主,在单调性的 定义教学中,往往缺少从定性的描述到定量表示的思维过程,即缺少建构,本设计致力于展示 概念是如何让构成的,在概念的发生,发展中,通过层层设问,调动学生的思维,突出培养了 学生的思维能力,体现了教师是用教材教,而不是教教材。 这节课是学生在教师的引导下,进行逐步探索的过程,在探索的过程中,学生通过分析,观

察,逐步抽象概括得出函数的单调性定义,初步学会如何由有具体到抽象,有特殊到一般的思 维过程,并渗透数形结合思想。本设计体现了新课程所倡导的“培养学生积极主动勇于探索的 学习方式” 。

八、教学反思
1 本节课在函数单调性的教学中合理地设置台阶,帮助学生以具体的经验认知为支撑,结合 单调性的历史背景和生成过程开展教学。教学分成了设置图像,动态趋势,符号表示三个层次, 以螺旋递进的方式,帮助学生掌握相关知识。 2 在过渡到函数单调性符号表示时,为了突破难点,本节课重视两个方面:一是进行具体计 算,列举具体函数值,有利于学生理解接受;二是语言分析到位,设问明确,目的性强,利于 学生操作,能使学生循着教师提供的主线有意识地进行教学活动,对单调性概念的认识逐步深 入。 3 教师教学时,要注意解题的规范板演,便于学生掌握其程序化操作,在这个过程中培养学 生的逻辑思维能力。 4 函数单调性证明中,难点是作差变形,针对学生可能“变形不到位、不彻底、想当然地判 断出大小关系”的问题,应对初中常见恒等变形(配方、因式分解、通分?)加以复习和强化。

九、板书设计

函数的单调性

一:复习引入

三:应用举例

五:归纳小结

二:函数的单调性

例1

1:知识

1:概念的形成

例2

2:方法

2:概念深化

四:课堂练习

六:布置作业

专家点评(高新一中 党效文)
在对教材和学生已有知识充分了解下, 黄老师的教案设计教学目标设计层次分明, 重点难点 突出,合理。从学生所熟悉的一次函数,二次函数的图像入手,让学生回顾初中已有的对函数单 调性的感性认识, 以一次函数为例引导学生用数学语言来描述函数的增减性, 使学生不知不觉中 对函数的单调性有了初步的理性认识,进而再引导学生把这种理性认识抽象到一般情况形成概 念, 使学生理解了数学概念和结论的形成过程, 体会其中蕴含的从特殊到一般的思维过程和思想 方法。 在利用定义证明函数的单调性的设计中, 让学生进一步体会了数学语言的优越性, 体会数与 形的完美统一,使学生学习的过程成为“再创造,再发现”的过程,不断的增强学生的思维能力 和创新意识。 同时在教学过程中设计了让学生分组讨论, 归纳小结的过程, 培养了学生相互学习, 团结协作的思想意识。


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