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2006年湖南省高中数学竞赛(A卷)


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2 0 0 7 年第 6期 

3 5  

2 0 0 6年湖南省高 中数学 竞赛 ( A 卷)  




选择题 ( 每小题 6 分, 共3 6 分)  

1 . 记[  ] 表示 不大

于  的最 大整数 . 设  集合 A={  l   一[  ] =2 } , B={  l   l  l <   2 } . 则A   n日=(   ( A ) ( 一 2 , 2 )   ( c ) {  , 一1 }   ) .   ( B ) [ 一 2 , 2 ]   ( D ) { 一   , 1 }  

( D ) — 

3+4√2   6+4√2  

+—  

:1  

注: 原卷 中选项 ( A ) 、 ( D ) 是一样 的, 这里  做了改动 .   6 . 将正方形 的每条边 8 等分 , 再取分点  为顶点 ( 不包括正方形的顶点 ) , 可以得到不  同的三角形 (  
( A ) 1   3 7 2   ( C ) 3   1 3 6  

2 . 若f ( x ) = ( 2 x   + 2 x   一 5 3 x 。 一 5 7 x + 5 4 )   晰,  

) 个.  
( B ) 2   0 2 4   ( D ) 44 9 5  

则  T J i l - 1 ) - ( ) .  
( A) 一1 ( B ) 1  ( C ) 2   0 0 5 ( D ) 2   0 0 7  

二、 填空题 ( 每小题 6 分, 共3 6 分)   7 . 等 差数列 { a   } 的前 m 项和为 9 0 , 前  2 m 项和为 3 6 0 . 则前 4 m项和为— — .  

3 . 四边形 的各顶点位于一个边长为 1 的  正方形各边上 . 若 四条边长的平方 和为 t , 则 
t 的取 值 区间 是 (   ) .  

8 . 已 知   、 y E 【 一 号 , 号 】 , 。 ∈ R , 且  
f   。 + s i n  一 2 。 = 0 ,  

( A ) [ 1 , 2 ]   ( c ) [ 1 , 3 ]   中, P为 棱 A B 上 一  点, 过点 P在空 间作  直线 z , 使 z与 平 面 
彻仞 和 A B C 】 D 】均 

( B ) [ 2 , 4 ]   ( D ) [ 3 , 6 ]  

4 .  ̄ 1 I 图1 , 在正方体 A B C D —A 1 B 1   C 1 D1  
C  

I 4 , , s +  i n  + 。 : 0 .  
则C O S (  + 2 y ) 的值为— — .   9 . 1 0 0把 椅 子 排 成 一 圈 , 有 n个 人 坐 在  椅子上 , 使得再有一个人坐人时 , 总与原来 的  个人 中的一个 坐在相邻 的椅子上 . 则 n的 
1 O . 在△ A B C中 , 4 , / 3 = ̄ / 3 0 , A C= 4 6 , B C  


C  



成3 0  ̄ 角. 则这样 的直  线条数是(  
( A ) 1  

最小值为  图1  
( C ) 3   ( D ) 4  

) .  
( B ) 2  

 ̄ / 1 5 , 有一点 D使得 A D平分 B C并 且  能写成  的形式 
n  o △^ B c  

5 . 等腰 R t △A B C中, 斜边 B C= 4  , 一  椭圆以 C为其 焦点 , 另一个 焦点在线段 A B   上, 且 椭 圆经过点 A 、 日. 则该 椭 圆的标准方 
程是 ( 焦 点 在  轴 上 ) (  
( A)   +  

LA D B是 直角 , 比值 

( m、 n 是互质的正整数) . 则 m+n = — — .   1 1 . 设A B C D—A 】 B 】 C 】 D 】 是棱长为 1 的 

) .  
1  

正方体 . 则上底 面 A B C D 的 内切 圆上的点 P  
与过顶点 A 、 日 、 c , 、 D , 的圆上 的点 q之间的  最小距离是— — .   1 2 . 一项“ 过关游戏” 的规则规定 : 在第 n   关要抛一枚骰子 n次 , 如果这 n次抛掷所 出  现的点数之和大于 2   , 则算过关 . 那么 , 连过 

( B )   6  4 4 2+   3  4 4 2  1  
+  + 

( c )  

+  

1  

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中 等 数 学 

前3 关 的概率为— — .   三、 解答 题 ( 共7 8 分)   1 3 . ( 1 6 分) 是否存在最小的正整数 t , 使  得不等式  ( n+  )   >( 1 +n )   n   1 4 . ( 1 8 分) 设 、  
f ( x , y , z ) =   ① 

2. B.  

令 :  

, 则2   2 +2   一5 5: 0 .  

故  t ) =[ ( 2 £  +2 £ 一5 5 ) ( t 。 +t 一1 ) 一1 ]   嘶 


(一1 ) 。 嘶 :1 .  

3. B.  

对任何正整数 n 恒成立?证 明你的结论 .  
为正实数 . 求函数 

当四边形顶点与正方形 顶点 重合时 , 知t = 4 , 排  除选 项( A ) 、 ( C ) ; 又 取各 边 中点时 , 可得 t = 2 , 排 除 
选项 ( D) .  
4. B.  

的最 小 值 .  

由于二 面角 C   一A B—D的平面角为 4 5 。 , 所 以,  

在这个二面角及它 的 “ 对顶 ” 二 面角 内 , 不存在 过点 

1 5 . ( 2 2 分) 设 A、 B分别为椭 圆  +  


P且与面 A B C D和面 A B C I   D I 均成 3 O 。 角的直线 . 转 而 
考虑它 的补二 面角 , 易知 , 过点 P有且仅有 2 条直线  与面 A B C D和 面 A B C   D   均成 3 0 。 角. 故满 足条 件 的  直线 2 有2 条.  
5. A.  

1 (   >b>0 ) 和双 曲线  一   =1的公 共 

左、 右顶点 , P 、 Q分别为双 曲线 和椭 圆上不 
同于  、 B的动 点 , 且满 足 
A P+   =  ( A Q+   ) (  ER, I  I >1 ) .  

因为 日 c= 4 √   , 设 椭 圆 的另一 个 焦 点为 D. 以  
D C为 轴 、 D C中点为原点建 立直角坐标系 . 设椭 圆 
方程 为  +   =l ( a>6 >o ) ? 所以,  
I   A DI +I   B DI +I   A CI +I   BCI =4 a。  

设直线 A P、 即、  Q 、  
kl 、k 2、 k3 、 k 4.  

的斜率分别 为 

( 1 ) 求证 : k l +k 2 +k 3 +k 4 = O ;   ( 2 ) 设F . 、 F : 分别为椭 圆和双 曲线 的右 


8+ 4   = 4 口 .  

焦点 , 若  : ∥Q F 。 , 求k   +k ; +k ; +k ; 的 
值.  

解 得 口=2 + √ 2 .  
故I A DI =2 口一I A CI =2 √ 2 .   在R t △ A DC中 , 因 

1 6 . ( 2 2 分) 将 m 位性别相 同的客人 , 按 
如下方 法 安 排 人 住  . 、 4   , …,   这 n个 房 

I   C DI   : 8 + 1 6 : 2 4 。 c   : 6 。 b   =口   一c   = 4 √   ,  
故方程—羔  +—   =1为所 求 .  
6+4 √2   4 √2  
6. C.  

间: 首先, 安排 1 位客人和余下的客人的{人 
住房 间 A   ; 然后 , 从余 下的客人 中安排 2位  客人和再次余下的客人的  人住房间 A : ; 依  此类推 , 第几号房就安排几位客人和余下 的  

解法 1 : 首先 。 注意到三 角形 的三个顶点 不在正  方形的同一边上 . 任选正方形 的三 边 , 使三个 顶点分  别在其上 , 有 4种方法 .   其次 , 在选 出的 三条 边 上各 选 一 点 , 有7 3 种方 
法.  

客人的告人住. 这样, 最后一间房间 A   正好 
安排最后余下的 n 位 客人 . 试求 客人 的数和  客房 的房间数 , 以及每间客房入住客人 的数 .  

这类三角形共 有 4×7 3 =1   3 7 2 个.   另外 , 若 三角形 有两个 顶点 在正 方形 的一条边  上, 第 三个顶 点在另一条边上 , 则先取一边使 其上 有  三角形的两个顶点 , 有 4种方法 ; 再在这 条边 上任取 

参 考 答 案 
— —

两点有 2 1 种方法 ; 然后 在 其余 的 2 1 个分 点 中任 取 


点作为第三 个顶点 .   这类三 角形共 有 4 ×2 1 ×2 1 =1   7 6 4 个.   综上 , 可得不 同三角形 的个数 为 
1  3 7 2+1  7 6 4= 3 】 3 6.  



1. C.  

由于  =0   A, 排 除选 项( A) 、 ( B ) .  

又  =一1 ,   满足题意, 故选( c ) .  

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2 O O 7年第 6 期 

解法 2 :   一 4 G= 3   1 3 6 .  
二 、 7. 1   4 4 0.  

鼠为“ 第  次 过关成 功” , 第  次 游戏 中 , 基本事 件  总数为 6   .   第1 关: 事件 A 。 所含基本事件 数为 2 ( 即出现点  数 1和 2两种情况 ) , 所以, 过此关 的概率 为 


设 S k=口 I +口 2+… +   , 易知 s m 、 s 2  一 s m 、  

S ,  一. s  成等 差数 列 . 从而, S ,  = 8 1 0 .   又易 知 . s   一. s  s 3  一s 2  . s   一s 3  成等差数 
列, 则 s 4  = 3   s 3  一3   s 2  +s m=1   4 4 0 .  
8. 1.  

1一  

1  

1 一 言  亏?  

’  

第2 关: 事件 A   所含 基本事件数为方程 +Y =   口当 口分别 取 2 、 3 、 4时 的正 整数 解 组数 之 和 , 即6  
个. 所以, 过此关 的概率 为 
1 一  


设  ) = t 3 + s i n   . 则 , (   ) 在 【 一 号 , 号 】 上 是  
单调递增 的 .   由原方 程 组 可得 / (  ) =/ (一2 , , ) =2 a , 又  、  


=1 一   6
= 


. 

第3 关: 事件 A , 所含基本事件数为方程  +Y+   =a当 a分别 取 3 、 4 、 5 … 6   7   8 时 的正整数 解组数 之  和, 即5 6 个. 所 以, 过此关的概率为 
_ l_  


2 y E 【 一 号 , 号 】 , 所 以 ,   = 一 2 y , 有   + 2 y = o .  
故 c 0 s (  +2 y ) =1 .  
9. 3 4.  

: 1一  

= 

.  

由题 意知 , n个人 人坐后 , 每两人 中间至 多有两  把空椅子 . 若能让两人 中间恰好有两 把空椅 子 , 则 n  

故连过 三关的概率为 
×  ×  =  .  

最小 . 这样 , 若 对 已坐人 的椅 子进行 编 号 , 可得 一等 
差数 列 : 1 , 4 , 7 , …, 1 0 0 .  
从而 , 1 0 0=1 +3 ( n一1 ) . 解 得 n=3 4 .  
1 0 . 6 5.   ’  

三、 1 3 . 取( t , n ) =( 1 , 1 ) , ( 2 , 2 ) , ( 3 , 3 ) .  

容易验证 , 当t =1 , 2 , 3 时均不符合要求 .   当t = 4时 , 若 n=1 , 式① 显然成立 .   若 n ≥2 。 有 
4 4 n   ( n+1 ) 。 =? / n - 2 ( 2 n ) 2 ( 2 n+2 ) 。 ×2 3  

设B C中 点为E , 仰= 委.  
由中线公式得 A E:   .  



【 L  
( !  

旦  n 十   a t  
)  < ( ! !  

r  J  
)  

由勾股定理得 1 2 0—1 5 +5 7= 2 ̄ / 5 7 x , 解得 


8 1  
= —   = .  


、 ,  

( n+4 )   .  

于 是 , 詈=   =  
1 1.

=   2 7 .  

’  

故式① 成立 .   因此 , t =4满足对任何正整数 n , 式①恒成立 .  
1 4 . 在取定 Y的情 况下 , 有 

故 m +n:2 7 +3 8= 6 5 .  

堕 

!  ±  2   1  ±  2 = 墨   : ±! 鱼  ±  2  ± 三  
. 

设点 0是正方体 的中心 , 易得 
o q:   , O P:   .  

=8  +  

+6 v+4  

≥2  

+6 y+4 =(  

+2 )   ,  

由三角形不等 式有 P Q≥o q~O P:   号 当且仅 当点 0、 P、 q三点共线 时成立 .  

, 等 

当 且 仅 当   = √ 警 时 , 上 式 等 号 成 立 .  
同理 ,  
≥(   + 4 3)  

=6 计 4 x嘶  

+3  

显然 , 当点 P为线段脂 的中点时 , 射线 O P与 
矩形 A B C 。 D 。 的外接圆的交点为点 q时满 足要求 .  
1 2.   1 0 0
. 

当 且 仅 当 z = √   时 , 上 式 等 号 成 立 .  
故 


由于骰子是均匀正方体 , 所以, 抛掷后 各点数 出  现 的可能性 是相等 的.  

盟  

设事件  为 “ 第 n次 过 关失 败 ” , 则 对 立 事件 

!  

: !  

±  2 :  

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3 8  

中 等 数 学 



(  +  
1 9 4+ 1 1 2   ,  

)  
+7 q r 2 > z  

1 6 . 设安排完第 k号客房 A   后还剩 一 F   位客人 ,   则a 0   m,  一 l   n.   因为 第 k号 客 房  入 住 的 客 人 数 为 k+  


≥( 2  


所 以,  一 。 一   =  +   (  一 l 一  ) .  

, 即 

当且仅 当 , , =   时, 第二个 不等式 中等号成立 .   因此 , 当  :   , ) , :  1


= 

z :

雩 时 ,   x , y , z ) 取  

变 形 得  + 6 k 一 3 6 = 导[  一 l + 6 ( 七 一 1 ) 一 3 6 3 .  
这表 明数列 b   =   +6 J } 一3 6是等 比数列 , 公 比 
为 q =— 6  其中 , b 0 =口 0 —3 6 =m一3 6 , b   一 l =  一 l +  


得最小值 1 9 4 +1 1 2   .   1 5 . ( 1 ) 设 P(   。 , Y 。 ) , Q (  , Y   ) . 则 

” ‘  ‘    l + 口  l +   一 口   = 辫 一   =  一 Y 1 .  
① 

6 ( n 一1 ) 一3 6 =7 n 一4 2 .  

代 入 通 项 公 式 得 7 / / , - 4 2 = ( m 一 3 6 ) ( 6 1   n - I ,  
即 m- -3 6 +   .  

同理 , 毛 +J } 。 =一   2 b 2 。   X 2
. 

② 

口 

2  

设 0为原点 , 则 
2 0 P=A P+B P=  ( A Q+  
所以, O P=  0 Q.  

由于 m为正整数 , 并且 7  与 6 n - l 互质 , 故 
) =2 A o 1 2 .  
6   I ( n 一6 ) .  

故 0、 P、 Q三点共线 .  
于是 ,   :一 X 2
. 

但 0 ≤ l 虽   I < 1 ( n > 1 ) , 解 得 n = 6 .  
从而, m =3 6 .  

由此可知 , 客房 A   人住 1 +  
房A 2 入 住 2+  
2 4-3

: 6 位客人 ; 客 

由式①、 ②得 k 1 +k 2 +k 3 +k 4 =0 .  
( 2 ) 由点 Q在 椭圆上 , 有  Y 2 =1
. 

:6位 客人 ; 客房 A , 入 住 3+  

由O P=  0 Q, 得(  l , Y 1 ) =  ( x 2 , Y 2 ) .  
所以 ,   =   1  
。, ) ,  =

下 下

  位客 客房 A 4 入 4+ :6 :6 位客 人 人; ; 客房  入住 住 4+堡    = 位 位 客  客 

…  
.  

{ ) , 。 .  
③ 

人; 客房 A 5 人住 5+— I Z   - 一 3=6 位客人 ; 最后一间客房  入住 了剩下 的 6 位客人 .   综上 , 共有客人 3 6人 , 客 房 6间 , 每 间客 房均人 
住 6位客人 .  

从而 ,  2 5  
口 

U  :  z .  
。  

又点 P在 双曲线上 , 有 
Yl
一  

( 欧 阳新龙
④ 

提供 )  

=1 .  

由式③ 、 ④得  :  

。 z , , ,   :  

6 z .  

敬 告 读 者 
为了帮助全 国各 地 中学 生参 加 2 O 0 7年全  国初中数学联赛 , 我编辑部 在 2 O O 7年第 1 期推 

因为 P F 2 / / Q F   , 所以, I   故  = 一 a 2 +b 2


I =  I   O F l   I .  

丢 =  
‘  

=   .  
=   .  

由 式 ① 得 (   + k 2 ) z :  . 善 : 4 .  
同理 , ( k 3 +k 4 )   = 4 .  
另一方面 ,   J } z =  

出了服务于全 国初 中数 学联赛 的专 刊 , 聘请 多  名教练 员 为专 刊 提 供 模 拟试 题 ( 有 详 细 的解  答) 。现 有少 量 剩余 , 欢迎 读 者 订 购。个 人 订  阅每册 3 . 9 0 元( 含邮费) ; 集体订 阅请与编辑都 
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类似地 , 毛J } 。 :一   .  

故k   +k ; +k j +k :  


本刊 编辑部 

( k . +k , )  +( k 3 +k 4 )  一2 ( k 1   k 2 +k 3   k 4 ) =8  


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