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4.韦达定理及列方程解应用题

时间:2011-12-17


第四讲
一.知识整理

韦达定理及列方程解实际问题
☆黄冈 杨俊涛

2 1.一元二次方程根与系数的关系(韦达定理) 一元二次方程ax + bx + c = 0的两 根分别是x1 , x 2, , :

b c x1 ? x2 = a , a 。 2 2.推论(1) 如果方程 x +px+q=0 的两根是 x1、x2,那么 x1+x2=-p,x1·x2=q. : 则有x1 + x2 = ?
2 3.推论(2) 以x1 , x2为根的一元二次方程为(二次项系数为 1) x ? ( x1 + x2 )x + x1 x2 = 0 : :

4.列一元二次方程解实际问题的步骤:审、设、列、解、检、答。特别注意:在列一元二次方程解应用题时, 由于所得的根一般有两个,所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求。

二.典型例题
例 1.已知方程 x 2 ? 3 x + m = 0 的一个根是 1,则另一个根是___,m 的值是____.

? x1 + 1 = 3 ? x1 = 2 ∴? 设另一根为 x1, 则有 ? x1 ? 1 = m ?m = 2 ? 解:
2 另解: x = 1代入方程得 1 ? 3 ? 1 + m = 0 , 解得m = 2 :

解方程 x 2 ? 3 x + 2 = 0 得另一解为 x = 2
点拨:韦达定理应用 1→已知方程的一根求另一根及字母系数. 2 试一试:如果 1 是方程 2X +mX+3=0 的一个根,求它的另一个根及 m 的值.

2

例2.若 2 x (x + 3) = 1的两根分别为 x1 , x 2 , 则有 x 1 + x 2 = ____, x 1 ? x 2 = ____
2 2 x 12 x 2 + x 1 x 2 = _____, x 12 + x 2 = ____

4 4 + = ______ x1 x2

1 解 : 2 x 2 + 6 x ? 1 = 0 得x1 + x2 = ?3, x1 ? x2 = ? 2 1 3 2 2 x1 x2 + x1 x2 = x1 x2 ( x1 + x2 ) = ? ? (? 3) = 2 2 4 4 4 x1 + 4 x2 + = x1 x2 x1 x2

2 x12 + x2 = ( x1 + x2 ) ? 2 x1 x2 2

点拨:韦达定理应用 2→不解方程求与两根有关的代数式的值. 2 2 2 2 试一试:设 X1、X2 是方程 X -4X+1=0 的两个根,则 X1 +X2 =__,( X1-X2) =__.

2 例3 : 设方程x 2 ? 3 x ? 2 = 0的两个根分别为x1 , x 2, x12 , x 2 为根的一元二次方程是 _____________ 以 2 2 解 : x1 + x2 = 3, x1 x2 = ?2 ∴ x12 + x2 = ( x1 + x2 ) ? 2 x1 x2 = 13 x 2 x 2 = (? 2 )2 = 4 1 2

∴ 所求的方程式为 : y ? 13 y + 4 = 0
2

点拨:韦达定理应用 3→已知两根,求作一元二次方程. 试一试:求作一个一元二次方程,使它的两根为 2 和 3.

例 4.已知:关于 x 的方程 x 2 ? (m + 1)x + m ? 2 = 0 (1)若两根的和为 3,则 m=_____ ; (2)若两根互为倒数,则 m=____; 解:由韦达定理得 (2)m – 2 = 1,∴m = 3. (1)m + 1 = 3,∴m = 2; 点拨:韦达定理应用 4→已知两根之间的关系求字母的取值范围. 试一试:(3)若两根互为相反数,则 m=____; (4) 若两根积不小于 10,则 m____. 例 5 .已知方程 x +2(m-2)x+m +4=0 有两个实数根,且这两个根的平方和比两根的积大 21,求 m 的值. 2 2 解:∵方程有两个实数根,∴ ? = [2(m ? 2 )] ? 4 × 1 × m + 4 ≥ 0
2 2

(

)

解得 m≤0.依题意,得

即( x1 + x2 ) ? 3 x1 x2 = 21 ∴ [? 2(m ? 2 )] ? 3 m 2 + 4 = 21
2 2

(

)

解这个方程得 : m1 = 17, m2 = ?1
∵m≤0,∴m=-1. 点拨:韦达定理应用 5→已知方程两个根满足某种关系,确定方程中字母系数的值. 2 2 试一试:已知关于 x 的方程 x +(2k+1)x+k -2=0 的两根的平方和比两根之积的 3 倍少 10,求 k 的值.

例 6.雪融超市今年的营业额为 280 万元,计划后年的营业额为 403.2 万元,求平均每年增长的百分率? 分析:今年到后年间隔 2 年,今年的营业额×(1+平均增长率) =后年的营业额 解:平均每年增长的百分率为 x,根据题意得: 280(1 + x ) 2 = 403.2

(1 + x) 2 = 1.44
X1=0.2 X2=-2.2(舍去)
答:平均每年的增长 20% 。 点拨:类似地, 这种增长率的问题在实际生活普遍存在,有一定的模式:若平均增长(或降低)百分率为 x, 增长(或降低)前的是 a,增长(或降低)n 次后的量是 b,则它们的数量关系可表示为

a (1 ± x ) = b
n

(其中增长取+,降低取-)

试一试:某校去年对实验器材的投资为 2 万元,预计今明两年的投资总额为 8 万元,若设该校今明两年在实 验器材投资上的平均增长率是 x,则可列方程为 例 7.甲型流感病毒的传染性极强,某地因 1 人患了甲型流感没有及时隔离治疗,经过两天的传染后共有 9 人患了甲型流感,每天平均一个人传染了几人?如果按照这个传染速度,再经过 5 天的传染后,这个地区 一共将会有多少人患甲型流感? 分析:第一天人数+第二天人数=9 解:设每天平均一个人传染了 x 人
2 1 + x + x (1 + x ) = 9 即 ( 1 + x ) = 9

x 解得: x1 = ? 4 (舍去) 2 ,

= 2.

9 (1 + x ) 5 = 9 (1 + 2 ) 5 = 2187 或 (1 + x ) 7 = (1 + 2 ) 7 = 2187
答:每天平均一个人传染了 2 人,这个地区一共将会有 2187 人患甲型流感。

试一试:某种电脑病毒传播非常快, ,如果有一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有 81 台电脑被感染。请 经过两轮感染后就会有 解释:每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑 每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?若病毒得不到有效控制,被感染的电脑会不会超过 700 被感染的电脑会不会超过 台?

例 8. (2003 年,舟山)如图,有长为 24 米的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度 a 为 10 米) 有长为 墙的最大可用长度 ,围成中间 2 隔有一道篱笆的长方形花圃。设花圃的宽 AB 为 x 米,面积为 S 米 , 设花圃的宽 2 (1)求 S 与 x 的函数关系式;(2) )如果要围成面积为 45 米 的花圃,AB 的长是多少米 的长是多少米? 解:(1)设宽 AB 为 x 米,则 BC 为(24 (24-3x)米,这时面积 2 S=x(24-3x)=-3x +24x 2 2 x (2)由条件-3x +24x=45 化为:x -8x+15=0 解得 x1=5,x2=3 ∵0<24-3x≤10 得 14/3≤x< <8 ∴x2 不合题意,AB=5,即花圃的宽 AB 为 5 米。 即花圃的宽 试一试:如图是宽为 20 米,长为 32 米的矩形耕地,要修筑同样宽的三条道路(两条纵向 两条纵向,一条横向,且互相垂 直),把耕地分成六块大小相等的试验地 把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验地的面积为 570 平方米,问:道路宽为多少米 道路宽为多少米?

例 9. 一辆汽车以 20m/s 的速度行驶 的速度行驶,司机发现前方路面有情况 .紧急刹车后汽车又滑行 25m 后停车. 紧急刹车后汽车又滑行 (1)从刹车到停车用了多少时间? (2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少 从刹车到停车平均每秒车速减少多少? (3)刹车后汽车滑行到 15m 时约用了多少时间 时约用了多少时间(精确到 0.1s)? 分析: (1)刚刹车时时速还是 20m/s 20m/s,以后逐渐减少,停车时时速为 0. 因为刹车以后 因为刹车以后,其速度的减少都 是受摩擦力而造成的,所以可以理解是匀速的 所以可以理解是匀速的,因此,其平均速度为=(20+0)÷ ÷2=10m/s,那么根据:路 程=速度×时间,便可求出所求的时间 (2)很明显,刚要刹车时车速为 20m/s, 便可求出所求的时间; ,停车车速为 0,车速减 少值为 20-0=20,因为车速减少值 20,是在从刹车到停车所用的时间内完成的, 因为车速减少值 ,所以 20 除以从刹车到停 车的时间即可; (3)设刹车后汽车滑行到 15m 时约用了 xs. 由于平均每秒减少车速已从上题求出 设刹车后汽车滑行到 由于平均每秒减少车速已从上题求出,所以 便可求出滑行到 15 米的车速,从而可求出刹车到滑行到 15m 的平均速度,再根据 从而可求出刹车到滑行到 再根据:路程=速度×时间, 便可求出 x 的值. 解: (1)从刹车到停车的路程是 25m 25m,从刹车到停车的平均车速是:(20+0)÷2=10( (m/s) , 那么从刹车到停车所用的时间是 25÷10=2.5(s) ; (2)从刹车到停车车速的减少值是 20-0=20,从刹车到停车每秒平均车速减少值是 从刹车到停车车速的减少值是 从刹车到停车每秒平均车速减少值是:20÷2.5=8(m/s) ; (3)设刹车后汽车滑行到 15m 时约用了 xs,这时车速为(20-8x)m/s,则这段路程内的平均车速为 则这段路程内的平均车速为 〔20+(20-8x)〕÷2=(20-4x 4x)m/s, 所以 x(20-4x)=15 2 整理得:4x -20x+15=0 解方程:得 X1≈4.08(不合题意,舍去) 2≈0.9 . 解方程 ,X 0.9 答:刹车后汽车行驶到 15m 时约用 0.9s 0.9s。 试一试:一个小球以 5m/s 的速度在平坦地面上开始滚动 的速度在平坦地面上开始滚动,并且均匀减速,滚动 10m 后小球停下来. (1)小球滚动了多少时间? (2)平均每秒小球的运动速度减少多少 平均每秒小球的运动速度减少多少? (3)小球滚动到 5m 时约用了多少时间 时约用了多少时间(精确到 0.1s)?


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