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4.2.2 圆与圆的位置关系


4.2.2

圆与圆的位置关系
整体设计

教学分析 本节课研究圆与圆的位置关系,重点是研究两圆位置关系的判断方法,并应用这些方法 解决有关的实际问题.教材是在初中平面几何对圆与圆的位置关系的初步分析的基础上结合 前面学习的点与圆、 直线与圆的位置关系,得到圆与圆的位置关系的几何方法,用代数的方法 来解决几何问题是解析几何的精髓,

是平面几何问题的深化,它将是以后处理圆锥曲线的常 用方法.因此,增加了用代数方法来分析位置关系,这样有利于培养学生数形结合、经历几何 问题代数化等解析几何思想方法及辩证思维能力,其基本思维方法和解决问题的技巧对今后 整个圆锥曲线的学习有着非常重要的意义.根据学生的基础,学习的自觉性和主动性,自主学 习和探究学习能力,平时的学习养成的善于观察、 分析和思考的习惯,同时由于本节课从内容 结构与思维方法上与直线与圆的位置关系相似 ,学生对上节课内容掌握较好,从而本节课从 学生学习的角度来看不会存在太多的障碍,因而教学方法可以是引导学生从类比直线与圆位 置关系来自主研究圆与圆的位置关系. 三维目标 使学生理解并掌握圆和圆的位置关系及其判定方法.培养学生自主探究的能力.通过用 代数的方法分析圆与圆的位置关系,使学生体验几何问题代数化的思想,深入了解解析几何 的本质,同时培养学生分析问题、解决问题的能力,并进一步体会数形结合的思想. 重点难点 教学重点:求弦长问题,判断圆和圆的位置关系. 教学难点:判断圆和圆的位置关系. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1.平面几何中,圆与圆的位置关系有哪几种呢?如何判断圆与圆之间的位置关系呢? 判断两圆的位置关系的步骤及其判断方法如下:第一步:计算两圆的半径 R,r;第二步:计 算两圆的圆心距 O1O2,即 d;第三步:根据 d 与 R,r 之间的关系,判断两圆的位置关系. 两圆的位置关系: 外离 d>R+r 外切 d=R+r 相交 |R-r|<d<R+r 内切 d=|R-r| 内含 d<|R-r|

在解析几何中,我们用代数的方法如何判断圆与圆之间的位置关系呢?这就是我们本堂 课研究的课题,教师板书课题圆与圆的位置关系. 思路 2.前面我们学习了点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系,那么,圆与圆的位置关系 有哪几种呢?如何判断圆与圆之间的位置关系呢?教师板书课题:圆与圆的位置关系. 推进新课 新知探究 提出问题 ①初中学过的平面几何中,圆与圆的位置关系有几种? ②判断两圆的位置关系,你有什么好的方法吗? ③你能在同一个直角坐标系中画出两个方程所表示的圆吗?

④根据你所画出的图形,可以直观判断两个圆的位置关系.如何把这些直观的事实转化为数 学语言呢? ⑤如何判断两个圆的位置关系呢? ⑥若将两个圆的方程相减,你发现了什么? ⑦两个圆的位置关系是否可以转化为一条直线与两个圆中的一个圆的关系的判定呢? 活动: 教师引导学生回顾学过的知识、 举例,并对学生活动进行评价; 学生回顾知识点时,可互 相交流.教师引导学生阅读教科书中的相关内容,注意个别辅导,解答学生疑难,并引导学生 自己总结解题的方法.学生观察图形并思考,发表自己的解题方法.教师应该关注并发现有多 少学生利用“图形”求解,对这些学生应该给予表扬.同时强调,解析几何是一门数与形结合 的学科.启发学生利用图形的特征,用代数的方法来解决几何问题.教师指导学生利用两个圆 的圆心坐标、半径长、连心线长的关系来判别两个圆的位置.学生互相探讨、交流,寻找解决 问题的方法,并能通过图形的直观性,利用平面直角坐标系的两点间距离公式寻求解题的途 径. 讨论结果:①初中学过的平面几何中,圆与圆的位置关系有五类,分别是外离、外切、相交、 内切、内含. ②判断两圆的位置关系,我们可以类比直线与圆的位置关系的判定,目前我们只有初中学过 的几何法,利用圆心距与两圆半径的和与差之间的关系判断. ③略. ④根据所画出的图形,可以直观判断两个圆的位置关系.用几何的方法说就是圆心距(d)与两 圆半径(r,R)的和与差之间的关系. ⑤判断两个圆的位置关系.一是可以利用几何法,即两个圆的圆心坐标、 半径长、 连心线长的 关系来判别两个圆的位置关系.设两圆的连心线长为 l,则判别圆与圆的位置关系的依据有 以下几点: 1°当 d>R+r 时,圆 C1 与圆 C2 外离; 2°当 d=R+r 时,圆 C1 与圆 C2 外切; 3°当|R-r|<d<R+r 时,圆 C1 与圆 C2 相交; 4°当 d=|R-r|时,圆 C1 与圆 C2 内切; 5°当 d<|R-r|时,圆 C1 与圆 C2 内含; 二是看两圆的方程组成的方程组的实数解的情况,解两个圆的方程所组成的二元二次方 程组.若方程组有两组不同的实数解,则两圆相交;若方程组有两组相同的实数解,则两圆相 切;若无实数解,两圆相离. 总结比较两种方法的优缺点. 几何方法:直观,容易理解,但不能求出交点坐标. 代数方法: 1°只能判断交点,并不能准确的判断位置关系(有一个交点时不能判断内切还是外切,无交 点时不能判断内含还是外离). 2°优点是可以求出公共点. ⑥若将两个圆的方程相减,得到一个一元一次方程,既直线方程,由于它过两圆的交点,所以 它是相交两圆的公共弦的方程. ⑦两个圆的公共点的问题可以化归为这条公共直线与两个圆中的一个圆的公共点的判定问 题.由点到直线的距离公式来判断. 应用示例 思路 1

例 1 已知圆 C1:x +y +2x+8y-8=0,圆 C2:x +y -4x-4y-2=0,判断两圆的位置关系. 活动:学生思考交流,教师引导提示,判断两圆的位置关系有两种基本的方法,要合理使用.方 法一看两圆的方程组成的方程组的实数解的情况,方法二利用圆心距与两圆半径的和与差之 间的关系判断.
2 2 ? ? x ? y ? 2 x ? 8 y ? 8 ? 0, 解:方法一:圆 C1 与圆 C2 的方程联立得到方程组 ? 2 2 ? ? x ? y ? 4 x ? 4 y ? 2 ? 0.

2

2

2

2

(1) (2)
③ ④

①-②得 x+2y-1=0, 由③得 y=

1? x 2 ,把上式代入①并整理得 x -2x-3=0. 2
2

方程④的判别式 Δ =(-2) -4×1×(-3)=16>0,所以方程④有两个不等的实数根,即圆 C1 与圆 C2 相交. 2 2 2 2 2 2 方法二:把圆 C1:x +y +2x+8y-8=0,圆 C2:x +y -4x-4y-2=0,化为标准方程,得(x+1) +(y+4) =25 2 2 与(x-2) +(y-2) =10. 圆 C1 的圆心是点(-1,-4),半径长 r1=5; 圆 C2 的圆心是点(2,2),半径长 r2= 10 .
2 2 圆 C1 与圆 C2 的连心线的长为 ( ?1 ? 2) ? ( ?4 ? 2) =3 5 ,圆 C1 与圆 C2 的半径长之和为

r1+r2=5+ 10 , 半径长之差为 r1-r2=5- 10 . 而 5- 10 <3 5 <5+ 10 ,即 r1-r2<3 5 <r1+r2, 所以圆 C1 与圆 C2 相交,它们有两个公共点 A、B. 点评:判断两圆的位置关系,一般情况下,先化为标准方程,利用几何法判断较为准确直观. 变式训练 判断下列两圆的位置关系,如果两圆相交,请求出公共弦的方程. 2 2 2 2 (1)(x+2) +(y-2) =1 与(x-2) +(y-5) =16, 2 2 2 2 (2)x +y +6x-7=0 与 x +y +6y-27=0. 解 :(1) 根 据 题 意 , 得 两 圆 的 半 径 分 别 为 r1=1 和 r2=4, 两 圆 的 圆 心 距 d= [2 ? (?2) ? (5 ? 2) =5.
2 2

因为 d=r1+r2,所以两圆外切. 2 2 2 2 (2)将两圆的方程化为标准方程,得(x+3) +y =16,x +(y+3) =36. 故两圆的半径分别为 r1=4 和 r2=6,
2 2 两圆的圆心距 d= (0 ? 3) ? (3 ? 0) ? 3 2 .

因为|r1-r2|<d<r1+r2,所以两圆相交. 2 2 2 2 例 2 已知圆 C1:x +y +2x-6y+1=0,圆 C2:x +y -4x+2y-11=0,求两圆的公共弦所在的直线方程 及公共弦长. 活动: 学生审题,思考并交流,探讨解题的思路,教师及时提示引导,因两圆的交点坐标同时满 2 2 足两个圆方程,联立方程组,消去 x 项、 y 项,即得两圆的两个交点所在的直线方程,利用勾股

定理可求出两圆公共弦长. 解:设两圆交点为 A(x1,y1)、B(x2,y2),则 A、B 两点坐标满足方程组
2 2 ? ? x ? y ? 2 x ? 6 y ? 1 ? 0, ? 2 2 ? ? x ? y ? 4 x ? 2 y ? 11 ? 0.

(1) (2)

①-②,得 3x-4y+6=0. 因为 A、B 两点坐标都满足此方程,所以 3x-4y+6=0 即为两圆公共弦所在的直线方程. 易知圆 C1 的圆心(-1,3),半径 r=3. 又点 C1 到直线的距离为 d=

| ?1? 3 ? 4 ? 3 ? 6 | 9 = . 5 32 ? (?4) 2

所以 AB=2 r ? d
2

2

24 9 24 ,即两圆的公共弦长为 . ? 2 32 ? ( ) 2 ? 5 5 5

点评:处理圆有关的问题,利用圆的几何性质往往比较简单,要注意体会和应用. 思路 2 2 2 例 1 求过点 A(0,6)且与圆 C:x +y +10x+10y=0 切于原点的圆的方程.

图1 活动:学生思考交流,回顾圆的方程的求法,教师引导学生注意题目的条件,灵活处理,如图 1. 所求圆经过原点和 A(0,6),且圆心应在已知圆的圆心与原点的连线上.根据这三个条件可确 定圆的方程. 2 2 解:将圆 C 化为标准方程,得(x+5) +(y+5) =50, 则圆心为 C(-5,-5),半径为 52.所以经过此圆心和原点的直线方程为 x-y=0. 2 2 2 设所求圆的方程为(x-a) +(y-b) =r . 由题意,知 O(0,0),A(0,6)在此圆上,且圆心 M(a,b)在直线 x-y=0 上,则有

?(0 ? a) 2 ? (0 ? b) 2 ? r 2 , ?a ? 3, ? ? 2 2 2 ?(0 ? a) ? (6 ? b) ? r , 解得 ?b ? 3, ? ?a ? b ? 0, ?r ? 3 2 . ?
于是所求圆的方程是(x-3) +(y-3) =18. 点评:求圆的方程,一般可从圆的标准方程和一般方程入手,至于选择哪一种方程形式更恰当, 要根据题目的条件而定,总之要让所选择的方程形式使解题过程简单. 2 2 例 2 已知⊙O 方程为 x +y =4,定点 A(4,0),求过点 A 且和⊙O 相切的动圆圆心的轨迹方程. 活动: 教师引导学生回顾学过的知识,两圆外切,连心线长等于两圆半径之和,两圆内切,连心 线长等于两圆半径之差,由此可得到动圆圆心在运动中所应满足的几何条件 ,然后将这个几 何条件坐标化,即得到它的轨迹方程. 解法一:设动圆圆心为 P(x,y),因为动圆过定点 A,所以|PA|即为动圆半径.
2 2

当动圆 P 与⊙O 外切时,|PO|=|PA|+2; 当动圆 P 与⊙O 内切时,|PO|=|PA|-2. 综合这两种情况,得||PO|-|PA||=2. 将此关系式坐标化,得
2 2 2 2 | x ? y ? ( x ? 4) ? y |=2.

化简可得(x-2) -

2

y2 =1. 3

解法二:由解法一可得动点 P 满足几何关系||OP|-|PA||=2, 即 P 点到两定点 O、A 的距离差的绝对值为定值 2,所以 P 点轨迹是以 O、A 为焦点,2 为实轴 长的双曲线,中心在 OA 中点(2,0),实半轴长 a=1,半焦距 c=2,虚半轴长 b= c 2 ? a 2 ? 3 , 所以轨迹方程为(x-2) -
2

y2 =1. 3

点评: 解题的过程就是实现条件向结论转化的过程,对于圆与圆,要综合平面几何知识、 解析 几何、代数知识,将条件转化成我们熟悉的形式,利用常规思路去解,求点的轨迹更要注意平 面几何的知识运用. 知能训练 课堂练习 P141 练习题 课堂小结 本节课主要学习了圆与圆的位置关系,判断方法:几何方法和代数方法. 作业 习题 4.2 A 组 8、9、10、11. 设计感想 本节课研究圆与圆的位置关系,重点是研究两圆位置关系的判断方法,并应用这些方法 解决有关的实际问题.《圆与圆的位置关系》这个课题在新课标中,被作为一个独立的章节, 说明新课标对这一章节的要求已经有所提高 ,可见有其重要性.教材是在初中平面几何对圆 与圆的位置关系的初步分析的基础上得到圆与圆的位置关系的几何方法,但用代数的方法来 解决几何问题是解析几何的精髓,是平面几何问题的深化,它将是以后处理圆锥曲线的基本 方法.因此,用代数方法来分析位置关系,这样有利于培养学生数形结合、几何问题代数化等 解析几何思想方法及辩证思维能力,其基本思维方法和解决问题的技巧对今后整个圆锥曲线 的学习有着非常重要的意义.这堂课是建立在初中已经对圆与圆的位置关系有个粗略地了解 的基础上,对这个位置关系的了解进一步深化,而且前一堂课学习过直线与圆的位置关系,圆 与圆的位置关系的研究和直线与圆的位置关系的研究方法是类似的,所以可以用类比的思想 来引导学生自主地探究圆与圆的位置关系.作为解析几何的一堂课,判断圆与圆的位置关系, 体现的正是解析几何的思想: 用代数方法处理几何问题,用几何方法处理代数问题.所以在教 材处理上,对判断两圆位置关系用了代数和几何两种方法,两种方法贯穿始终,使学生对解析 几何的本质有所了解.


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