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第三讲 数列通项公式的常见求法


第三讲

数列通项公式的常见求法

一、观察法:已知数列的前几项,要求写出数列的一个通项公式,主要从以下几
个方面来考虑,一是对数列的项进行分拆以后,寻找分拆项之间的规律;二是如果数列中出 现正负项相间的话,则需用 ?? 1? 或 ?? 1?
n n ?1

来调节;三是和等差与等比数列相联系,利用特



殊数列求解。 例 1、求下列数列的一个通项公式。 ① 2 , ?4

1 5

3 5 7 ,8 , ?16 10 15 20

②1,0,1,0 ③3,33,333,3333 ④11,103,1005,10007 解:①此数列可拆为三部分,第一部分为 2,4,8,16 通项是 2 ,第二部分分子部分为
n

1,3,5,7 ,通项是 2n ? 1 ,第三部分分母部分为 5,10,15,20 通项是 2 n ,再由 ?? 1?
负号即可,故 an ? ? ?1?
n ?1

n ?1

来调节正

(2n ?

2n ? 1 ); 5n

② 此 数 列 是 由 两 个 基 本 数 列 1,1,1,1?????? 和 ?1, ?1, ?1, ?1?????? 求 得 , 故

an ?

1 ? ?? 1? 2

n ?1



1 1 1 1 ? 9 ? 10 1 ? 1 , 33 ? ? 99 ? 10 2 ? 1 , 3 3 3 3 1 1 1 1 1 n 333 ? ? 999 ? 10 3 ? 1 , 3333 ? ? 9999 ? 10 4 ? 1 从而可得 a n ? 10 ? 1 3 3 3 3 3
③ 在 此 数 列 中

3?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

④此数列是由两个基本数列 10,100,1000,10000?????? 与 1,3,5, 7 ?????? 对应项求和而 得,故通项公式为 an ? 10n ? 2n ? 1

二、公式法:主要应用于可定性为等差或等比数列的类型,可直接利用等差或等
比数列的通项公式进行求解。 ①形如 an?1 ? an ? d , a1 已知; 解法为:∵ an?1 ? an ? d , d 为常数,由等差数列的通项公式( d 为数列的公差) 得到 an ? a1 ? ?n ? 1?d ②形如 an?1 ? q ? an ( q 为常数且 q ? 0 ) a1 已知; ,

1

解法为:∵

an ? 1 ? q ,∴ ?an ? 是以 a1 为首项, q 为公比的等比数列∴ an ? a1 ? q n?1 an

例 2、求下列数列的通项公式
* ①已知数列 ?an ? 中 a1 ? 2, an ?1 ? an ? 3 n ? N 求通项公式。

?

?

解:∵ an?1 ? an ? 3 ∴ an?1 ? an ? 3 则 ?an ? 是以 a1 ? 2 为首项,3 为公差的等差数列。 ∴ an ? 2 ? ?n ? 1?3 ? 3n ? 1为所求的通项公式。 ②已知 ?an ? 中 a1 ? ?3 且 an?1 ? 2an 求此数列的通项公式。 解:由 an?1 ? 2an 得

a n ?1 ?2 an

∴ ?an ? 是以 a1 ? ?3 为首项,2 为公比的等比数列, 故 an ? ?3 ? 2 n?1 即为所求通项公式。 例 3、已知数列 ?an ? 中 a1 ? 2, an ? an?1 ? an ? an?1 ? n ? 2? ,求通项公式。 解:∵当 n ? 2 时有, an ? an?1 ? an ? an?1 ∴

1 1 ? ?1 an an ?1

则?

?1? 1 1 ? 是以 ? 为首项,1 为公差的等差数列。 a1 2 ? an ?



2 1 1 2n ? 1 , (n ? 2) ∴ an ? ? ? ? n ? 1? ?1 ? 2n ? 1 an 2 2

又 a1 ? 2 ,故 an ?

2 (n ? N * ) 为所求的通项公式。 2n ? 1

【练习】已知数列 ?an ? 3? 是等差数列,且 a1 ? 2 ,公差为 5,求 an 【答案】 an ? 5n ? 3

三、前 n 项和法:

若知数列的前 n 项和 Sn ,则 an ? ?

?

S1

?Sn ? Sn?1



n ?1 n?2

; 需要

注意的是,对于 n ? 1 时的情况一定要检验,若当 n ? 1 时, a1 也满足 an 的表达式,则两式
2

可合并。 例 4、 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ?

3 ? 3n ? 1? 2

, 则数列 ?an ? 的通项公式是



解:①当 n ? 2 时, a n ?

3 3n ? 1 3 3n?1 ? 1 3 n 3 ? ? 3 ? 3n ?1 ? ? 3n ?1 ?3 ? 1? ? 3n 2 2 2 2

?

? ?

?

?

?

②当 n ? 1 时, a1 ? 31 ? S1 , 故 an ? ?

? 6, n ? 1 n ?3 , n ? 2
1 , an ? ?2S n S n ?1 (n ? 2) , 求数列 ?an ? 2

例 5、 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn , 且满足 a1 ? 的通项公式。

解:∵当 n ? 2 时有, an ? ?2Sn Sn?1 , an ? Sn ? Sn?1 ∴ Sn ? Sn?1 ? ?2Sn Sn?1 ,∴

1 1 ? ?2, Sn Sn?1

则?

?1? 1 1 ? 是以 ? ? 2 为首项,2 为公差的等差数列。 S1 a1 ? Sn ?



1 1 , ( n ? 2) ? 2 ? ? n ? 1? ? 2 ? 2n ∴ S n ? 2n Sn

∵ an ? Sn ? Sn?1 ,∴ an ?

1 1 1 ? ?? , (n ? 2) 2n 2(n ? 1) 2n(n ? 1)

?1 ? 2 , (n ? 1) 1 ? 又 a1 ? ,故 an ? ? 为所求的通项公式。 1 2 ?? , (n ? 2) ? 2n(n ? 1) ?
例 6、已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ,且满足 a1 ? 项公式。 解:∵ Sn ? an ? n ? 2 ①,∴ Sn?1 ? an?1 ? (n ? 1) ? 2 ②,

3 , Sn ? an ? n ? 2 ,求数列 ?an ? 的通 2

② ? ①得: 2an?1 ? an ? 1 , ∴ 2(an?1 ? 1) ? an ? 1,∴ 即数列 ?an ?1 是以 a1 ? 1 ? ?

an?1 ? 1 1 ? , an ? 1 2

3 1 1 ? 1 ? 为首项、以 为公比的等比数列, 2 2 2
3

1 1 n ?1 1 n 1 n ?( ) ? ( ) ,从而 an ? ( ) ? 1 2 2 2 2 3 1 n 又 a1 ? ,故 an ? ( ) ? 1为所求的通项公式。 2 2
故 an ? 1 ? 【练习】1、已知正项数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 满足 Sn ?
2

? an ? 1?
4
1 2

2

,求数列的通项公式 an

2、已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ,且满足 a1 ? 1, S n ? an ( S n ? ), (n ? 2) ,求数列 ?an ? 的通 项公式。 3、已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ,且满足 a1 ? 1, Sn?1 ? 4an ? 2 ,求数列 ?an ? 的通项公式。

?1, (n ? 1) ? 【答案】1、 an ? 2n ? 1;2、 an ? ? ;3、 an ? (3n ? 2) ? 2n?1 2 ? , (n ? 2) ? (2n ? 1)(2n ? 3) ?

四、 递推公式法:
i 1、若递推公式为 an?1 ? an 型,其中 i ? R 且 i?i ? 1? ? 0 ,数列 ?an ? 是正项数列;解此

种类型数列,必须对等式两边同时取对数得 lg an?1 ? i lg an ,从而化为 列 ?lg an ?是首项为 lg a1 、公比为 i 的等比数列。

lg a n ?1 ? i ,可知数 lg a n

例 7 已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2n ? 1 a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。 , 解:由 an?1 ? an ? 2n ? 1 得 an?1 ? an ? 2n ? 1 则

an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ?2 ) ? ? ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 ? [2(n ? 1) ? 1] ? [2( n ? 2) ? 1] ? ? ? (2 ? 2 ? 1) ? (2 ?1 ? 1) ? 1 ? 2[(n ? 1) ? (n ? 2) ? ? ? 2 ? 1] ? (n ? 1) ? 1 (n ? 1)n ? (n ? 1) ? 1 2 ? (n ? 1)(n ? 1) ? 1 ?2 ? n2
公式为 an ? n2 例 8.已知数列 ?an ? 中, , an ?1 ? 所以数列 {an } 的通项

2an ,求数列 ?an ? 的通项公式. an ? 2

4

6. an ?

2 n ?1
2 an?1 ? an ,求 an

例 9、已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 2 ,

2 解:在等式 an?1 ? an 两边取常用对数得 lg an?1 ? 2 lg an , 即

lg a n ?1 ?2 lg a n

所以数列 ?lg an ?是以 lg 2 为首项,以 2 为公比的等比数列, 故 lg an ? 2 n?1 ? lg 2 ? lg 2 2
n ?1

? an ? 2 2

n ?1

【练习】已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 3 【答案】 an ? n ? 33
n?1

an ?1 ?

n ?1 3 an , (n ? 1,求 an ) n3



2、若递推公式 an?1 ? an ? f ? n ? 型,则只须将原递推公式化为 法求解即可。 例 10、已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 解:由 a n ?1 ?

a n ?1 ? f ?n ? ,再以迭乘 an

2 2n , a n ?1 ? a n ,求 an 3 n ?1

a 2n 2n a n 得 n ?1 ? , n ?1 an n ?1

所以

an a a 2 ?1 2?n ? 1? 2?n ? 2? , n ?1 ? …… 2 ? ? a1 2 an?1 n an?2 n ?1
2n 3n
1, 2n ? 1 an ? a n ?1 ( n ? 2 )求数列 {an } 的通项。 3 2n ? 1
2 2 *

由迭乘法可得 an ?

【练习】1、已知: a1 ?

2、已知 ?an ? 是首项为 1 的正项数列,且 (n ? 1)an?1 ? nan ? an?1 ? an ? 0,(n ? N ) ,求 数列的通项公式 an 【答案】1、 an ?

1 1 ;2、 an ? ; 2n ? 1 n

3、若递推公式为 an?1 ? an ? f ?n?型,则只须将原递推公式化为 an?1 ? an ? f ?n?,再 以迭加法求解即可。

5

例 11、已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 2, a n ?1 ? a n ? 解:由题得 a n ?1 ? a n ? 所以有 a n ? a n ?1 ?

1 ,求 an n ?n
2

1 1 1 1 ? ? ? n ? n n?n ? 1? n n ? 1
2

1 1 1 1 1 ? , a n ?1 ? a n ? 2 ? ? …… a 2 ? a1 ? 1 ? n ?1 n n ? 2 n ?1 2 1 由迭加法可得 an ? 3 ? n
【练习】已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 2 【答案】 an ? n2 ? n ; 4、若递推公式为 an?1 ? pan ? q (其中 p 、 q 为常数, pq? p ? 1? ? 0 )型,则需把原 递推公式化为 an?1 ? ? ? p ? an ? ? ? , 其中 ? ? 以 p 为公比的等比数列。 例 12、已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? 3an ? 2 ,求 an 解:原等式可化为 an?1 ? 1 ? 3?an ? 1? 所以有 , an ? an?1 ? 2n,(n ? 2) ,求 an

q , 可得数列 ?an ? ?? 是以 a1 ? ? 为首项、 p ?1

an?1 ? 1 ? 3 即数列 ?an ? 1?是以 2 为首项、以 3 为公比的等比数列 an ? 1
从而 an ? 2 ? 3n?1 ? 1 。

故 an ? 1 ? 2 ? 3n?1

【练习】在数列 ?an ? 中,若 a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 3(n ? 1) ,则该数列的通项 an = 【答案】 an ? 2n?1 ? 3 ;

5、若递推公式为 an?1 ? pan ? f (n) (其中 p 为常数, f ( n) 为关于 n 的一次函数)型, 即 f (n) ? an ? b 时,则引入辅助数列 ?an ? An ? B? 且 A ?

a b a ? ,B ? , p ?1 p ? 1 ( p ? 1) 2

则原递推公式可化为 an?1 ? A(n ? 1) ? B ? p(an ? An ? B) ,从而知道 ?an ? An ? B 是以 ?

a1 ? A ? B 为首项, p 为公比的等比数列。
例 13、已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an ?

1 an ?1 ? 2n ? 1, (n ? 2) ,求通项公式 an 2

解:设 bn ? an ? An ? B ,则 an ? bn ? An ? B , an?1 ? bn?1 ? A(n ?1) ? B
6

所以 bn ? An ? B ? an ?

1 [bn ?1 ? A(n ? 1) ? B] ? 2n ? 1 ,即 2 1 1 1 1 bn ? bn ?1 ? ( A ? 2)n ? ( A ? B ? 1) 。 2 2 2 2

?A ?2 ?2?0 ? A ? ?4 1 ? 设? 解之得 ? , 所以 bn ? bn ?1 且 bn ? an ? 4n ? 6 , 2 ?B ? 6 ? A ? B ?1 ? 0 ?2 2 ?
由于 ?bn ? 是以 3 为首项,以

1 3 为公比的等比数列,所以有 bn ? n ?1 。 2 2

由此得: an ?

3 2n ?1

? 4n ? 6

6、若递推公式为 an?1 ? pan ? q n (其中 p 、 q 为常数, pq? p ? 1??q ? 1? ? 0 )型,此 类型题需把原递推公式两边同除以 q n?1 得

an ?1 p an 1 ? ? ? ,从而可引入辅助数列 ?bn ? 且 q n ?1 q q n q

bn ?

an p 1 ,则原递推公式可化为 bn ?1 ? bn ? ,从而化上一类型求解。 n q q q
1 a n ? 2 n ,求 an 2

例 14、已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 2, a n ?1 ? 解:在原不等式两边同除以 2
n ?1

得:

a n ?1 1 a n 1 ? ? ? 2 n ?1 4 2 n 2
则 bn ?1 ?

不妨引入辅助数列 ?bn ? 且 bn ?

an 2n

1 1 ? bn ? 4 2

故 bn ?1 ?

1 2 1? 2? 2? ? 以 为公比的等比数列, ? ? bn ? ? 即数列 ?bn ? ? 是以 1 为首项、 4 3 4? 3? 3? ?
n ?1

a 2 ?1? 故有 n ? ? ? ? n 3 ? 4? 2

则 an ?

2? n? 2 ? 2n?1 3

7、若递推公式为 an?2 ? pan?1 ? qan (其中 p 、 q 为常数且 pq ? 0 )型,此类型题需 把原递推公式化为 an?2 ? Aan?1 ? B?an?1 ? Aan ? ,其中 A、B 满足 ? 列化为前一种类型求解。

?A ? B ? p ,从而把数 ? AB ? ?q

7

例 15、已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a 2 ? 2, a n ? 2 ? 解:由 a n ? 2 ?

2 1 a n ?1 ? a n ,求 an 3 3

2 1 a n ?1 ? a n 可设 an?2 ? ? A ? B?an?1 ? ABan 3 3 2 ? 1 A? B ? ? ? A ?1 ? 3 解得 ? 1 或 ?A ? ? 3 所以有 ? ? ?B ? ? 1 ? ? AB ? ? 3 ? B ?1 ? ? 3 ? 1 则有 a n ? 2 ? a n ?1 ? ? ?a n ?1 ? a n ? 3 1 故数列 ?an?1 ? an ?是以 1 为首项,以 ? 为公比的等比数列 3
所以

? 1? an?1 ? an ? ? ? ? ? 3?

n ?1

? 1? ? 1? ? 1? 由迭加法可得: a n ? a1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3? ? 3? ? 3?

0

1

n?2

? 1? 1? ?? ? ? 3? ? 1 1? 3

n ?1

又由 a1 ? 1 得 a n ?

7 3? 1? ? ?? ? 4 4 ? 3?

n ?1

8、若递推公式为 an ?

a ? an?1 ? b , (n ? 2), a1 ? m (其中 a, b, c, d , m 为常数)型。 c ? an ?1 ? d 3an ?1 ? 2 (n ? 2), 求 an . an?1 ? 4
(3 ? m)[an ?1 ? 2 ? 4m ] 3? m an ?1 ? 4

例 16、已知 a1 ? 4, an ?

解:设 an ? m ? 令m ?

3an ?1 ? 2 ?m? an ?1 ? 4

2 ? 4m ,解得 m1 ? 2 , m2 ? ?1 3? m

∴ an ? 2 ?

5(an ?1 ? 2) an?1 ? 4

(1) , an ? 1 ?

2(an?1 ? 1) an?1 ? 4

(2) ,

a ? 2 a1 ? 2 5 n?1 ( 1 ) an ? 2 5 an ?1 ? 2 5 ? ? ? ? ( ) ? 2 ? ( )n?1 , 得 ,∴ n ( 2 ) an ? 1 2 an ?1 ? 1 an ? 1 a1 ? 1 2 2

∴ an ?

2 ? 5n?1 ? 2n 为所求。 2 ? 5n?1 ? 2n?1
8

9、若递推公式为 an ? p ?

m ? an ?1 (其中 p , m 为常数)型。 m ? an ?1
, ?

考虑函数倒数关系有

1 1 1 ? p( ? ) an an ?1 m

1 1 p ? p? ? an an?1 m

令 bn ?

1 , 则 {bn } 可归为 an?1 ? pan ? q 型。 an

例 17、数列 ?an ? 中, an?1 ?

2n?1 ? an , a1 ? 2 ,求 ?an ? 的通项。 2n?1 ? an

解:

2n?1 ? a 1 1 1 1 1 ? ? n ?1 ,设 bn ? ? n?1 n ∴ an ?1 an 2 an an?1 2 ? an

∴ bn ?1 ? bn ?

1 1 1 ,∴ bn ? bn ?1 ? ∴ bn ? bn ?1 ? , n ?1 n 2 2 2n 1 1 bn ?1 ? bn ? 2 ? n ?1 , bn ? 2 ? bn ?3 ? n ? 2 , ?????? 2 2 1 1 b3 ? b2 ? 3 , b2 ? b1 ? 2 2 2

∴ bn ?

1 1 1 2n ? 1 2n ? 1 ? n ? ? n ,∴ an ? n 2 2 2 2 2

10、 若递推公式为 an ? b1a1 ? b2a2 ? b3a3 ???? ? bn?1an?1 , (其中 b1 , b2 , b3 , ???bn?1 为常数) 型。 例 18、 已知 ?bn ? 是首项为 1, 公差为

a ? 2a2 ? 3a3 ? ??? ? nan 4 的等差数列, 且满足 bn ? 1 , 1 ? 2 ? 3 ? ??? ? n 3

(1) an , 求 (2) c1 ? a1 ,c2 ? a2 ? a3 ,c3 ? a4 ? a5 ? a6 , c4 ? a7 ? a8 ? a9 ? a10 ,?????? 若 如此构成数列 ?cn ? ,求 cn 。

n(n ? 1) 4 4n ? 1 , 1 ? 2 ? 3 ? ??? ? n ? , ? 2 3 3 n(n ? 1)(4n ? 1) ∴ a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ??? ? (n ? 1)an ?1 ? nan ? ① 6 n(n ? 1)(4n ? 5) a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ??? ? (n ? 1)an ?1 ? ② 6
解: (1)? bn ? 1 ? (n ? 1) ? ① ? ②得: nan ?

n(n ? 1)(4 n ?1) n( n ?1)(4 n ?5) ? ? 2n 2 ? n , 6 6

9

∴ an ? 2n ? 1 , (2) cn 是数列 ?an ? 的 n 个项的和, cn 的第一项为 an ( n?1)
2 ?1

,第 n 项为 an ( n?1)
2

?n



∴ cn ? an ( n?1) ? an( n?1)
2 ?1 2

?2

? an( n?1) ? ??? ? an( n?1)
2 ?3 2

?n

? S n( n?1) ? S n( n?1) ? n3 。
2 2

【练习】已知数列 ?an ? 满足 nan ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ???? ? (n ? 1)an?1 , (n ? 2) ,且 a1 ? 3 求数列 ?an ? 的通项公式 an

【答案】 an ?

3 ? 2n ? 2 ; n
x ?x

五、方程消元法:
项公式 an

例 18、已知函数 f ( x) ? 2 ? 2 ,数列 ?an ? 满足 f (log2 an ) ? ?2n ,求数列 ?an ? 的通

解 : ∵ 数 列 ?an ? 满 足 f (log an )? ? 2 , 且 f ( x) ? 2x ? 2? x , ∴ an ? n 2
2 2 ∴ an ? 2nan ? 1 ? 0 ,解得 a n ? ? n ? 1 ? n ,∵ an ? 0 ,∴ a n ?

1 ? ?2n , an

n2 ?1 ? n .

【练习】已知正项数列 ?an ? 中,已知 an ? 2 Sn ? 1 ,求数列 ?an ? 的通项公式 an 【答案】 an ? 2n ? 1;

六、 用数列的周期性求通项:
例 19、已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 2 , an ?1 ? 1 ?

1 ,求数列 ?an ? 的通项公式 an an

解:∵ an ?1 ? 1 ?

1 1 1 1 ,∴ an ? 2 ? 1 ? , an ?3 ? 1 ? ?? ? 1 ? an ? 1 ? an an?1 an ? 1 an? 2 an
1 1 ? , a3 ? ?1 , 2 2

从而数列 ?an ? 是以 3 为周期的周期数列。又 a1 ? 2 , a2 ? 1 ?

?2, n ? 3k ? 1, ?1 ? ∴ an ? ? , n ? 3k ? 2, 其中 k ? N 。 ?2 ??1, n ? 3k ? 3, ?
【练习】已知数列 {an } 满足 a1 ? 0, a n ?1 ?

an ? 3 3a n ? 1

(n ? N * ) ,则 a 20 = (
3 2



A.0

B. ? 3

C. 3

D.

10

【答案】B;

七、 归纳、猜想、证明三步法:
例 19、已知函数 f ( x ) ?

x ,数列 ?an ? 中,a1 ? 1 , an?1 ? f (an ), n ? N * ,写出 a2 、 1? x a3 、 a4 的值,并推测数列 ?an ? 的通项公式 an ,并证明。
1 1 1 an , a1 ? 1 ∴ a2 ? , a3 ? , a4 ? 2 3 4 1 ? an

解:∵ an ?1 ? 猜想 an ?

1 ,证明用数学归纳法(略) 。 n

【练习】已知数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 0 , an ?1 ? 【答案】 an ?

1 ? an ,求数列 ?an ? 的通项公式 an 3 ? an

n ?1 ; n ?1 1 n


1.(2008 江西卷)在数列 {an } 中, a1 ? 2 , an ?1 ? an ? ln(1 ? ) ,则 an ? ( A. 2 ? ln n 答案 A B. 2 ? (n ? 1) ln n C. 2 ? n ln n D. 1 ? n ? ln n

11


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