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1.2.2 空间中的平行关系2

时间:2014-03-12


1.2.2空间中的平行关系(2)

二. 直线与平面平行
1. 直线在平面内: 文字语言:如果一条直线和一个平面有 两个公共点,那么这条直线就在这个平 面内。

图形语言: 符号语言:A∈α,B∈α, ? AB ? ?

2. 直线与平面相交:
文字语言:直线a和平面α只有一个公共

r />点A,叫做直线与平面相交,这个公共点
叫做直线与平面的交点. 图形语言:

符号语言:a∩α=A.

3. 直线与平面平行:

文字语言:直线a与平面α没有公共点, 叫做直线与平面平行. 图形语言: 符号语言:a∩α=

?

3. 直线与平面平行的判定定理: (1)文字语言:如果不在一个平面内的 一条直线和平面内的一条直线平行,那么 这条直线和这个平面平行. (2)图形语言:
b a

(3)符号语言: a ?α,b

? α, a // b, ?a //α.

?

证明直线与平面平行,三个条件必须具 备,才能得到线面平行的结论. 三个条件中注意:“面外、面内、平行” 线线平行 线面平行

运用定理的关键是找平行线; 找平行线又经常会用到三角形中位线定理.

4. 直线和平面平行的性质定理 (1)文字语言:如果一条直线和一个平 面平行,经过这条直线的平面和这个平 面相交,那么这条直线就和交线平行.
a

(2)图形语言:

?
a//α (3) 符号语言: a ? β α∩β=b

b

? a//b

例1. 已知空间四边形ABCD中,E,F分别 是AB,AD的中点,求证:EF//平面BCD. 证明:连接BD,在△ABD中, 因为E,F分别是AB,AD的中点,

所以EF // BD, 又因为BD ? 平面BCD,
EF ? 平面BCD,
B

A

E

F D C

所以EF//平面BCD.

例2. 求证:如果过一个平面内一点的直线 平行于与该平面平行的一条直线,则这条 直线在这个平面内。 已知:l //α,点P∈α,P∈m,m // l, 求证:m ? α. 证明:设l与P确定的平面为β, 且α∩β=m’, 则l //m’,又知l //m, m∩m’=P,
l

?

?

m'

P

m

由平行公理可知,m与m’重合. 所以m ? α.

例3.如图,正方体 ABCD ? A?B?C ?D?中,E为 DD? ? 的中点,试判断 BD与平面 AEC的位置关系,并说明理 由. D? 证明:连接BD交AC于点O, 连接OE, 在 ?DBD?中,E,O分别是 DD?, BD 的中点.
A?

E
D
O

B?

C?

C

? EO // BD?

? ? EO ? 平面ACE ? ? BD // 平面AEC ? BD ? 平面ACE ?

A

B

例4. 已知:如图,AB//平面α,AC//BD,且 AC、 BD与α分别相交于点C, D. 求证:AC=BD. 证明:

AC / / BD ? AC与BD 确定一个平面AD
AB //平面? AB ? 平面AD

平面? ? 平面AD ? CD ? AB // CD ? ABCD为

AC // BD ? AC ? BD

平行四边形

?

1.以下命题(其中a,b表示直线,?表示 平面) ①若a∥b,b??,则a∥? ②若a∥?,b∥?,则a∥b ③若a∥b,b∥?,则a∥? ④若a∥?,b??,则a∥b 其中正确命题的个数是( ) (A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个

练习:

2.判断下列命题是否正确,若正确,请简述 理由,若不正确,请给出反例. (1)如果a、b是两条直线,且a∥b,那么a 平行 于经过b的任何平面;( ) (2)如果直线a、b和平面α 满足a∥α, b∥α,那么a∥b ;( )

(3)如果直线a、b和平面α 满足a∥b, a∥α, b α,? 那么 b∥α;( ) (4)过平面外一点和这个平面平行的直线只 有一条.( )

3.在长方体 ABCD-A1B1C1D1中

D1 A1 D

C1
B1 C B

1.与直线AB平行的平面是______. 2. 和直线AA1平行的平面是_____. 3.与直线AD平行的平面是______.

A

4.

长方体ABCD -A1 B1C1 D1中,点P ? BB (异于 B、B1) 1 PA ? BA1 ? M , PC ? BC 1 ? N , 求证:MN // 平面ABCD
D1 C1

问题的关键是证明MN//AC, 在⊿PAC中,证明 PM:MA=PN:NC.

A1

B1

P M D N C

A

B

证法1
A 利用相似三角形对应边成比例 及平行线分线段成比例的性质
1

D1

C1

B1

PM PB ?PBM∽ ?AA1 M ? ? MA AA1 PN PB ?PBN ∽?CC 1 N ? ? NC CC 1
A

P M D N C

B

PM PN ? ? ? AC // MN MA NC

CC 1 ? AA1

MN ? 面ABCD AC ? 面ABCD

? MN // 面ABCD

证明2:
连结AC、A1C1 长方体中A1 A//C1C ? A1C1 // AC AC ? 面A1C1 A1C1 ? 面A1C1
? AC // 面A1C1 B AC ? 面ACP
A A1

D1

C1

B1 P M D N C

B

A1 B ? PA ? M ? ? ? 面ACP ? 面A1C1 B ? MN PC ? BC 1 ? N ?

? AC // MN

MN ? 面ABCD AC ? 面ABCD

? MN // 面ABCD


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