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必修2 2.3.1 直线与平面垂直的判定

时间:2017-09-10


2.3.1 直线与平面垂直的判定

复 习
1.空间中两条直线的位置关系有哪几种?

平行、相交、异面
2.空间直线与平面的位置关系有哪些?
直线a在平面?内
直线a与平面?相交
a

直线a与平面?平行

a
A

?

a

?

?

a??

a//? a∩?垂直是一种 =A
特殊的相交

感受线面垂直

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

AB所在直线 ⊥ 地面内任意一条直线
A

B B1 C1 C

A

C

?

m

B

新课讲授
1.线面垂直的定义 如果直线 l 与平面?内的任意一条直线都垂 直,我们说直线 l 与平面?互相垂直,记作l ⊥ ?.
垂足

平面?的垂线

l

直线 l 的垂面

?
直线与平面的 一条边垂直

P

任意 a ? ? , l ? a ? l ? ? l ? ? , 任意 a ? ? ? l ? a

(1) l为平面?的垂线 ?为直线l 的垂面 P为垂足即l ⊥ ?=P (2) 由定义:

除定义外,如何判断一条直线与平面垂直呢?
空间问题 平面问题

线面平行的判定: 线线平行

线面平行

能不能把线面垂直问题转化为线线垂直问题?

先试一条
l l

a a
? ?

图1

图2

再试两条平行直线
l l

a ? b ?

a b

图1

图2

那么两条相交直线呢?

探究

直线与平面垂直
A
C
D

A A B B
D D

如图,准备一块三角形的纸片,做一个试验:

l
C P C

?

?
C

A B

D

?

B

当且仅当折痕 AD 是 BC 边上的高时,AD所在直 过 ?ABC 的顶点 A翻折纸片,得到折痕AD,将翻 ? 线与桌面所在平面 垂直. 折后的纸片竖起放置在桌面上(BD,DC与桌面接触)

3. 直线与平面垂直的判定定理:

? 内的两条相交直线 如果直线 l 和平面 m,n都垂直,那么直线 l 垂直平面 ? 。
即:

? ? n ?? ? ? m ? n ? P? ? l ? ? ? l?m ? l?n ? ?

m ??

l

?

m

P

n

例1 . 如图,已知a // b, a ? ? ,求证 b ? ? . 证明:在平面 ? 内作 两条相交直线m,n. 因为直线 a ? ? , 根据直线与平面垂直的定义知
a ? m, a ? n.

a

b
n

A 又因为 b // a 所以 b ? m, b ? n. ? m 又 m ? ? , n ? ? , m, n 是两条相交直线, 所以 b ? ? .

例2:如图,点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点,O 是对角线AC与 BD的交点,且PA =PC PB =PD . 求证:PO⊥平面ABCD

P

A O B C

D

证明 Q PA ? PC,点O是AC的中点 \ PO ? AC
又Q PB ? PD,点O是BD的中点 \ PO ? BD 又Q AC I BD ? O \ PO ? 平面 ABCD

直线与平面所成的角:
一条直线PA和一个平面 相交,但不和这个平面垂直, 斜足 这条直线叫做这个平面的斜线, 垂足 A 斜线和平面的交点A叫做斜足. O ? 过斜线上斜足以外的一点向平 斜线在平面 面引垂线段PO,过垂足O和斜 上的射影 足A的直线AO叫做斜线在这个 平面上的射影. 一条直线垂直于平面,

P

我们说它们所成的角是直角; 平面的一条斜线和它在平 一条直线和平面平行, 面上的射影所成的锐角,叫做 或在平面内,我们说它们所 这条直线和这个平面所成的角. 成的角是00的角。

直线与平面所成的角的取值范围是 [0 ?, 90 ? ]

例2.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中, D (1)求直线A1B和平面ABCD所成的角。 A (2)求直线A1B和平面A1B1CD所成的角。
1 1

C1 B1

(1)∵在正方体中,AA1⊥平面ABCD ∴∠A1BA就是直线A1B与平面ABCD所成的角。 ∵在正方体中AA1B1B是正方形,即∠A1BA=45° ∴直线A1B与平面ABCD所成的角为45°
A

O
C B

D

(2)连接BC1交B1C于点O,连接A1O ∵在正方体中,A1B1⊥平面BC1 ∴A1B1⊥BC1 ∵B1BCC1为正方形,∴BC1⊥B1C 又∵A1B1∩B1C=B1,∴BC1⊥平面A1B1CD,即∠BA1O就是所求的角
2 设正方体的棱长为a,则A1B= 2a ,BO= a 2

∴sin∠OA1B=0.5,又∠OA1B∈(0°,90°) ∴∠OA1B=30°,即所求为30°。

【预习自测】
1、如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
D1 A1 B1

C1

(1)与平面B1C1CB垂直的直线有:

BB1,BC,CC1,B1C1

D A B

C

(2)与平面AA1垂直的平面有:

平面AC,平面A1C1

2、判断正误:(1)若直线 l⊥α ,直线m

?


α,则 l⊥m( √ )

(2)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边 ( √ )
3、以下命题中,正确命题的序号为______________. ①若一条直线垂直于平面内的两条直线,则这条直线垂直于这 个平面;②若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,则这 条直线垂直于这个平面;③若一条直线平行于一个平面,则垂 直于这个平面的直线必定垂直于这条直线;④若一条直线垂直 于一个平面,则垂直于这条直线的另一直线必垂直于这个平面.

4、在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,PA=AB ,D为PB的中点,求证:AD⊥PC. 证明: PA⊥平面ABC ? PA⊥BC ?
? ? BC⊥平面PAB ? AB⊥BC ? ? AD ? 平面PAB ?

AD ⊥平面PBC ? AD⊥PC ? ? ? ? ? AD⊥PB ? D为PB的中点 ? PA=AB

? BC⊥ AD ?

证明异面直线垂直, 通常转化为证明线面垂直。
Page ?26

3.如图,圆O所在一平面为 ? , AB是圆O 的直径,C 是圆周上一点, 且PA ? AC, PA ?AB, 求证:(1)PA ? BC (2)BC ? 平面PAC
解:(1) ? AB ? ? , AC ? ? , 且AB ? AC ? A PA ? AC , PA ? AB \ PA ? ? 又 ? BC ? ? \ PA ? BC
A
C

P

O

B

(2) Q C为圆O上一点,AB 为直径 \ BC ? AC

?1?得BC ? PA, 又Q PA I AC ? A 由 \ BC ? 面PAC

【典例探究】 展示与点评 例1.在三棱柱V-ABC中,VA=VC,AB=BC,O是AC的中点。 求证:(1)AC⊥平面VOB (2)VB⊥AC
[来源:Zxxk.Com]

V
O

D1

C1 B1

A

C B

a
n

b
m

A1

D A B

C

?

,求证:b ? ?. 变式. 如图,已知 a // b, a ? ? 例2.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中, (1)求直线A1B和平面ABCD所成的角。 (2)求直线A1B和平面A1B1CD所成的角。

例1.在三棱柱V-ABC中,VA=VC,AB=BC,O是AC的中点。 V 求证:(1)AC⊥平面VOB (2)VB⊥AC
[来源:Zxxk.Com]

证明:

(1)∵VA=VC,O是AC的中点 ∴VO⊥AC 同理可证:VO⊥AC
A
O

C

∵VO∩BO=O,且VO、BO在平面VOB内 ∴AC⊥平面VOB (2)∵AC⊥平面VOB,VB在平面VOB内 ∴VB⊥AC

B

,求证:b ? ?. 变式. 如图,已知 a // b, a ? ? 证明:在平面α内作两条相交的直线m,n ∵a⊥α,m,n在平面α内 ∴a⊥m,a⊥n ∵a//b,∴b⊥m,b⊥n 又 ∵m,n是两条相交直线 ∴b⊥α 语言叙述:若两平行线中的一条垂直于一平面, 则另一条也垂直于此平面。

a

b
n m

?

【课堂小结】

1.线面垂直的定义 2.线面垂直的判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直, 则该直线与此平面垂直.
[来 源:学_科_网]

线线垂直

判定

线面垂直

定义

【反馈检测】

平行、相交或异面

1、若两直线a、b与面所成的角相等,则a与b的位置关系 是 。 2、过所在的平面α外的一点P,做PO⊥α,垂足为O, 中点 连接PA,PB,PC. 外心 (1)若PA=PB=PC,∠C=90° ,则点 O是AB边的 ; 垂心 (2)若PA=PB=PC,则点O是的 心; (3)若PA ⊥PB, PB⊥PC,PC⊥PA,则点O是的 心。 3、如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,且 PA⊥平面ABCD, PA=5,AB=4,AD=3.求直线 PC与平面 ∠ PCA=45 ° P ABCD所成的角.

A O

C

B

备用练习:

1.如图,AB是⊙O的直径,C是圆周上的一 点,PA垂直于⊙O所在的平面,AF⊥PC 求证:AF⊥平面PBC.


F C A B

O

三.随堂练习:
1.如图,直四棱柱A?B?C?D? ? ABCD (侧棱与底面垂直 的棱柱称为直棱柱)中,底面四边形 ABCD 满足什么 条件时A?C ? B ?D ? ?
A? D?

底面四边形 ABCD 对角 线相互垂直.

B?

C?

A D B
C

2. 在空间四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,
求证:对角线AC ? BD。
A

证明

:取BD的中点 E , 连接AE , CE
Q AB ? AD ,\ AE ? BD ,

,

D E B C

Q BC ? DC ,\ CE ? BD ,
CE ? E , 又 Q AE ?? \ BD ? 平面ACE , Q AC ? 平面 ACE ,\ BD ? AC

四.知识小结:
(1)
判定定理 如果一条直 线垂直于一个 平面内的两条 相交直线,那 么此直线垂直 于这个平面。 如果一条直线垂于一个 平面内的任何一条直线

直接法

直线与平面 垂直的判定

间接法
如果两条 平行直线中的 一条垂直于一 个平面,那么 另一条也垂直 于同一个平面。

定义法

此直线垂直于这个平面

(2)数学思想方法:转化的思想

空间问题

平面问题


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