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高二竞赛讲义 数列和与通项 1


高二数学竞赛班一试讲义 第1讲 一、知识要点:

递推数列求通项
班级 姓名

1.累加法,累乘法,待定系数法,取倒数法,取对数法,数学归纳法, an 与 Sn 转化法。 较难的求通项方法: 1.除 p 法: 由形如 an?1 ? p ? an ? q ? n ? ? k n ? p ? 0,1? 的递推式求通项,可两边同除以 p

n?1 转化为形 如 an?1 ? an ? q ? n ? 的递推式。 2.不动点法: 形如 an ?1 ?

Ax ? B Aan ? B 的分式递推式:记特征函数 f ? x ? ? 的不动点为 ? , ? ,当 Cx ? D Can ? D

? 1 ? ? an ? ? ? ? ? ? 时, ? ? 成等差数列;当 ? ? ? 时, ? ? 成等比数列。 a ? ? a ? ? ? n ? ? n ?
3.特征根法: 在 an?2 ? p ? an?1 ? q ? an ? 0 给出的递推式中,记特征方程 x2 ? px ? q ? 0 的两根为 ? , ? , 当 ? ? ? 时, an?2 ? ? an?1 ? ? (an?1 ? ? an ) , an ? ? An ? B ? ? ? n ; 当 ? ? ? 时, an?2 ? ? an?1 ? ? (an?1 ? ? an ) , an ? A ? ? n ? B ? ? n 。 4.换元法(根号换元,三角换元) 5.双数列递推、周期数列等。

二、例题精析
例 1. (1)已知数列 {an } 满足 a1 ? (2)已知 a1 ? 3 , an ?1 ?

3n ? 1 an ,求 an 。 3n ? 2 (3)已知数列 {an } 中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 3 ,求 an 。
3 (4)已知 a1 ? 1 , an?1 ? 10an ,求 an 。

1 1 , an ?1 ? an ? 2 ,求 an 。 2 n ?n

(5)已知 a1 ? 1 , an?1 ? 2Sn ,求 an 。

1

例 2. (1)已知数列 ?an ? 满足: a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? n ?1 ,求通项 an 。

(2)已知数列 ?an ? 满足: a1 ? 1 , an?1 ? 3an ? (2n ?1) ? 3n ,求通项 an 。

例 3. (1)已知数列 ?an ? 满足: a1 ? 4 , an ?1 ?

21an ? 24 ,求通项 an 。 4an ? 1 7a ? 2 (2)已知数列 ?an ? 满足: a1 ? 2 , an ?1 ? n ,求通项 an 。 2an ? 3

例 4. (1) 数列 ?an ? 中,a1 ? 6, a2 ? 27, an?2 ? 6an ?1 ? 9an ? 0 , 求数列 ?an ? 的通项公式 an 。 (2) 数列 ?an ? 中,a1 ? a, a2 ? b,3an?2 ? 5an?1 ? 2an ? 0 , 求数列 ?an ? 的通项公式 an 。

2

例 5. (1)数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an ?1 ? (2)设 a0 ? 1 , an ?

1 (1 ? 4an ? 1 ? 24an ) ,试求 an 16

2 1 ? an ? ?1 ? 1 (n ? 1, 2, ???) ,求 an 并证明 an ? n ? 2 。 an ?1 2

例 6.数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,数列 ?bn ? 中, b1 ? 0 。当 n ? 2 时, an ?

1 (2an ?1 ? bn ?1 ) , 3

1 bn ? (an ?1 ? 2bn ?1 ) ,求 an 和 bn 。 3

三、精选习题
1.已知数列 {an } 满足 a1 ? 0 , an ?1 ?

an ? 3 3an ? 1

(n ? N ? ) ,则 a20 ?
。 . .



2.数列 {an } 中, a1 ? 1 , an?1 ? 10an 2 ,则通项 an ? 3.已知数列满足 a1 ? 1 , an?1 ? an ?

an an?1 ,则 an =

4.已知数列 {an } 中, a1 ? 1 , an ? an?1 ? 2n ,你有多少种方法求 an ?

3

5.已知数列 {an } 满足: a1 ? 1 , an ?1 ?

3an ? 8 ,求通项 an 。 2an ? 3

6.数列 {an } 满足 a1 ? 2, a2 ? 5, an?2 ? 3an?1 ? 2an ,求数列 {an } 的通项公式 an 。

7.已知数列 {xn } 满足 x0 ? 0, xn ?1 ? xn ? a ? b ? 4axn , n ? 0,1, 2, ??? ,其中 a , b 是给定的
2

正实数,求此数列的通项。

8.已知数列 {a n } 满足:a1 ? 2t ? 3 (t ?R 且 t ? ?1) ,a n ?1 ?

(2t n ?1 ? 3)a n ? 2(t ? 1)t n ? 1 a n ? 2t n ? 1

(n ? N * ) .

(1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)若 t ? 0 ,试比较 an ?1 与 a n 的大小. (2011 年高中联赛)

4

高二数学竞赛讲义

数列和与通项

1 参考答案

一、例题分析 例 2. (1)设 an?1 ? ? ? n ? 1? ? ? ? p ?an ? ? ? n ? ? ? , ? , ? 为常数, 用待定系数法求得 ? ? 1, ? ? 0 ,
所以 an?1 ? (n ? 1) ? 2(an ? n) ,故 ?an ? n? 成等比数列, an ? n ? (a1 ? 1) ? 2n?1 所以 an ? 2n ? n 。

an ?1 an 2n ? 1 ? n ? ,累加得 an ? (n2 ? 2n ? 2) ? 3n?1 n ?1 3 3 3 21x ? 24 x? x ? 2,x2 ? 3 是 函 数 x? 24 ? 0 4 x ? 1 , 得 4 x2 ? 2 0 例 3. (1)解:令 ,则 1 21x ? 24 f ( x) ? 4 x ? 1 的两个不动点。因为 21an ? 24 ?2 an ?1 ? 2 4an ? 1 21an ? 24 ? 2(4an ? 1) 13an ? 26 13 an ? 2 ? ? ? ? 21 a ? 24 an ?1 ? 3 21 a ? 24 ? 3(4 a ? 1) 9 a ? 27 9 an ? 3 n n n n ?3 4an ? 1 。所以数列
(2)两边同除以 3
n ?1



? an ? 2 ? ? ? ? an ? 3 ?
an ?

an ? 2 a1 ? 2 4 ? 2 13 13 ? ?2 ? 2( )n?1 a ?3 4?3 a ?3 9 是以 1 为首项,以 9 为公比的等比数列,故 n ,

?3 13 n?1 2( ) ? 1 9 则 。 7x ? 2 3x ? 1 x? f ( x) ? 2 2 x ? 3 ,得 2 x ? 4 x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 是函数 4 x ? 7 的不动点。 (2)解:令 7a ? 2 5a ? 5 2 1 1 1 an?1 ? 1 ? n ?1 ? n an ? ( ) n ? ( ) n ? 2an ? 3 2an ? 3 ,所以 3 4 2 3。 因为
例 4. (1)解:由特征方程 x ? 6 x ? 9 ? 0 ,得 x1,2 ? 3
2

1

an?2 ? 3an?1 ? 3(an?1 ? 3an ) , 所以数列 {an?1 ? 3an } 成等比数列,首项为 a2 ? 3a1 ? 9 ,公比为 3 ,
则 an?1 ? 3an ? 9 ? 3n?1 ,

(2)简例应用(特征根法) :数列

an ?1 an ? ? 1, 3n ?1 3n an a } 成等差数列,首项为 1 ? 2 ,公比为 1 , 所以数列 { n 3 3 an 所以 n ? 2 ? (n ? 1) ?1 ? n ? 1 , an ? (n ? 1) ? 3n 。 3 ?an ? 3an?2 ? 5an?1 ? 2an ? 0(n ? 0, n ? N )
两边同除以 3
n ?1

,则





2 ? x1 ? 1, x 2 ? 2 a1 ? a, a2 ? b 的特征方程是: 3x ? 5x ? 2 ? 0 3,

5

? an ? Ax ? Bx ?a ? A ? B ? A ? 3b ? 2a ? 2 ?? ? 2 b ? A ? B ?B ? 3(a ? b) a n ? 3b ? 2a ? 3(a ? b)( ) n ?1 ? 3 3 于是 ? 故
2 例 5.设 1 ? 24an ? bn ,则 b1 ? 5 , bn ? 1 ? 24an ,
2 bn b2 ? 1 1 ?1 ? 1 ? (1 ? n ? bn ) ,则 (2bn?1 )2 ? (bn ? 3)2 ,因为 bn ? 0 24 16 6 1 3 1 2bn?1 ? bn ? 3 ,即 bn ?1 ? bn ? ,则 bn ?1 ? 3 ? (bn ? 3) ,得 bn ? 3 ? 22?n , 2 2 2 2 2 n ?1 n ?1 b ?1 2 ? 3 ? 2 ?1 ? 所以 an ? n 24 3 ? 22 n ?1

n?1 1

n?1 2

2 ? A ? B ? ( ) n ?1 3 。又由 a1 ? a, a2 ? b ,

所以

(2)由 a0 ? 1 , an ?

2 1 ? an ?1 ? 1 可知 an ? 0 an ?1

设 an ? tan ?n , ? n ? (0,
2 n ?1

?
2

) ,则 a0 ? tan ?0 ? 1, ? 0 ?

? , 4

1 ? a ?1 1 ? tan 2 ? n ?1 ? 1 1 ? cos ? n ?1 ? an ? ? ? ? tan n ?1 , an ?1 tan ? n ?1 sin ? n ?1 2 ? ? 1 2 ? 所以 tan ? n ? tan n ?1 ,则 ? n ? n ?1 , ? n ? ? 0 ? ( ) ? n ? 2 , 2 2 2 2
因为当 x ? (0,

?

2

) 时, sin x ? x ? tan x ,

所以 an ? tan ? n ? ? n ?

?

2n ? 2 1 1 (2an?1 ? bn?1 ) ? (a n ?1 ? 2bn?1 ) a ? b ? ? an?1 ? bn?1 3 3 n 例 6.解:因 n an ? bn ? an?1 ? bn?1 ? an?2 ? bn?2 ? ? ? ? ? a2 ? b2 ? a1 ? b1 ? 1
所以 即

,证毕。

an ? bn ? 1 …………………………………………(1) 1 1 1 (2a n ?1 ? bn ?1 ) ? (a n ?1 ? 2bn?1 ) ? (a n ?1 ? bn ?1 ) a ? b ? 3 3 3 n 又因为 n 1 1 1 (a n ?1 ? bn ?1 ) ? ( ) 2 a n ? 2 ? bn ? 2 ) ? ? ( ) n ?1 ( a1 ? b1 ) a ? bn ? 3 3 3 所以 n …… 1 1 ? ( ) n ?1 ? ( ) n ?1 a ? b ? 3 3 n .即 n ………………………(2) 1 1 1 1 a n ? [1 ? ( ) n ?1 ] bn ? [1 ? ( ) n ?1 ] 2 3 2 3 由(1) 、 (2)得: , 三、巩固练习
2.

an ? 102

n?1

?1

提 示 : 在 an?1 ? 10an 2 的 两 边 取 常 用 对 数 , 则 lg an?1 ? 1 ? 2lg an ,

lg an?1 ? 1 ? 2(lg an ? 1) ,所以数列 {lg an ? 1} 成等比数列,首项为 lg a1 ? 1 ? 1,公比为 2 ,
所以 lg an ? 1 ? 2n?1 ,所以 an

? 102

n?1

?1

6

3.在 an?1 ? an ? 所以数列 ?

an an?1 的两边同除以 an an?1 ,则

1 1 ? ?1, an an?1

1 1 ? 1 1 ? ? 1 ,公差为 1 ,所以 ? n , an ? 2 ? 成等差数列,首项为 n a1 an ? ? ? an ? 4.法 1: an ? an?1 ? 2n ①, an?1 ? an?2 ? 2(n ? 1) ②
②-①得, an?2 ? an ? 2 ,所以数列 {an } 的奇数项成等差数列,偶数项也成等差数列, 所以 a2n?1 ? a1 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1,

? ?

a2n ? a2 ? 2(n ?1) ? 2n ?1 ,

?n, n ? 2k ? 1, k ? N * an ? ? * ?n ? 1, n ? 2k , k ? N 法 2:设 an?1 ? a(n ?1) ? b ? ?( an ? an ? b) , an?1 ? ?an ? 2an ? a ? 2b , 1 则 ?2an ? a ? 2b ? 2n ,所以 a ? ?1, b ? 。 2 1 1 故 an ?1 ? (n ? 1) ? ? ?( an ? n ? ) , 2 2 1 1 1? ? 所以 ?an ? n ? ? 成等比数列,首项 a1 ? 1 ? ? ,公比是 ?1 , 2 2 2? ? 1 1 1 1 an ? n ? ? ? (?1) n ?1 ,所以 an ? ? (?1) n ?1 ? n ? 2 2 2 2 a 1 a ? n n ? 2n ? (?1) n ?1 法 3:由 an ? an?1 ? 2n 得 an?1 ? (?1)an ? 2n ,两边同除以 n ?n ?1 (?1) (?1) 1 1 n ?1 累加(右边是错位相减法)求得 an ? ? (?1) ? n ? 。 2 2 2 6. x ? 3x ? 2 ? 0, x ? 1 或 x ? 2 ,则 an?2 ? an?1 ? 2(an?1 ? an ) , 所以数列 {an?1 ? an } 是等比数列,公比为 2 ,首项为 a2 ? a1 ? 3 ,
an?1 ? an ? 3 ? 2n?1 , an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ????? (an ? an?1 ) ? 3? 2n?1 ?1
特征根法: an?2 ? 3an?1 ? 2an ? 0 , x ? 3x ? 2 ? 0, x ? 1 或 x ? 2 ,
2

设 an ? A ? 2n ? B ?1n ,由 a1 ? 2, a2 ? 5 待定系数, ? 所以 an ? 3 ? 2n?1 ?1 7.令 b ? 4axn ? yn ,易求 xn ? an2 ? bn
2

?2 A ? B ? 2 3 ,得 A ? , B ? ?1 , 2 ?4 A ? B ? 5

7

8.

8.设 a1 ? 1, a2 ? 3 ,且对所有正整数 n ,有 an?2 ? (n ? 3)an?1 ? (n ? 2)an ,求能使 an 被 11 整除的一切 n 的值。 8. an?2 ? an?2 ? (n ? 2)(an?1 ? an ) , 所以 an ? an?1 ? n(n ?1)(n ? 2) ??? 3(a2 ? a1 ) ? n! ,累加得 an ? 1 ? 2!? 3!???? ? n! 当 n ? 4,8 或 n ? 10, n ? N 时,能使 an 被 11 整除

8


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