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【名师一号】(新课标)2015-2016学年高中数学 第一章 算法初步 1-3-2进位制课件 新人教A版必修3


第一章

算法初步

§1.3 算法案例

1.3.2 进位制

课前预习目标

课堂互动探究

课前预习目标
梳理知识 夯实基础

课前热身 1.进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系 统.“满k进一”就是_____

_,k进制的基数是______. 2.将k进制的数化为十进制数的方法是:先把k进制数写 成用各位上的数字与k的幂的________的形式,再按照十进制 数的________计算出结果.

3.将十进制数化为k进制数的方法是:除k取余法,即用k 连续去除该十进制数及所得的商,一直到________为止,然后 把每次所得的余数倒着排成________,就是相应的k进制数.

自 1.k进制 k 我 2.乘积之和 运算规则 校 对 3.商为0 一个数

名师讲解 1.进位制的基本原理 一个十进位制正整数N总可以写成N=an×10n+an-1×10n-
1

+?+a1×101+a0×100的形式,其中an,an-1,?,a1,a0都

只能取0至9中的数,且an≠0,例如:365=3×102+6×101+ 5×100.

一般来说,如果采用k进制,就在右下角处标注k,例如: 270(k)表示270是k进制中的数,在k进制中,一定有: (1)它有k个不同的数字符号,即0,1,2,?,k-1. (2)它是“逢k进一”即每位数计满k后,向高位进1.例如: 230451(k)=2×k5+3×k4+0×k3+4×k2+5×k1+1×k0. 一个k进制的正整数就是各位数码与k的幂的乘积的和,其 中幂指数等于相应数码所在位数(从右往左数)减1.

如果k=8,那么在八进制中,一定有: (1)基数是8,一共有0,1,2,3,4,5,6,7八个不同的数字. (2)它是“逢八进一”,如:7+1=10. 八进制的数转化为十进制的数由下面的算式给出: 327(8)=3×82+2×81+7×80=215(10). 如果k=16,那么一定有0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C, D,E,F这十六个不同的数码,它是“逢十六进一”,如:F +1=10.

十六进制转化为十进制可由下列算式给出: 327(16)=3×162+2×161+7×160=807(10). 总之将k进制数转化为十进制数的方法是:先将这个k进制 数写成各位上的数字与k的幂的乘积之和的形式,再按照十进 制数的运算规则计算出结果.如: anan-1?a1a0(k)=an×kn+an-1×kn 1+?+a1×k1+a0×k0.


其中要注意的是,k的幂的最高次数是该k进制数的位数减 去1,然后逐个减少1,最后是零次幂,我们称这种方法为方幂 法.

2.将十进制数转化为k进制数的方法——除k取余法 用k连续去除该十进制各位数所得的商,直到商为零为 止,然后把每次所得的余数倒看成一个数就是相应的k进制 数. 将一个十进制数a化为k进制数b的步骤如下: 第一步,将给定的十进制整数,除以基数k,余数便是等 值的k进制的最低位.

第二步,将上一步的商再除以基数k,余数便是等值的k进 制数的次低位. 第三步,重复第二步,直到最后所得商为0,各次除得的 余数,便是k进制各位的数,最后一次的余数是最高位.

3.二进制的运算方法 加法:0+0=0,0+1=1,1+0=1,1+1=10; 乘法:0×0=0,0×1=0,1×0=0,1×1=1.

课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通



k进制化为十进制
将下列各数化为十进制数.

【例1】

(1)1234(5); (2)11001(2); (3)2010(8); (4)315(7).

【解】

(1)1234(5)=1×53+2×52+3×51+4×50=125+

50+15+4=194. (2)11001(2)=1×24+1×23+0×22+0×2+1×20=16+8 +1=25. (3)2010(8)=2×83+0×82+1×8+0×80 =1024+8=1032. (4)315(7)=3×72+1×7+5×70 =147+7+5=159.

规律技巧

k进制数化为十进制数的方法:先把k进制数写

成不同位上的数字与k的幂的乘积之和的形式,再按十进制数 的运算规则计算出结果.



十进制化为k进制
(1)将194化为八进制数;

【例2】

(2)将48化为二进制数.

【解】 (1)

∴194化为八进制数为302(8).

(2)

∴48化为二进制数为110000(2).

规律技巧

将十进制化为 k 进制的方法是:除 k 取余法,

即用 k 连续去除十进制数及所得的商,直到商为零为止,然后 把各步得到的余数倒着写出就是相应的 k 进制数.



进位制之间的互化

【例 3】

(1)将 85(8)转化为二进制的数;

(2)将七进制数 235(7)转化为八进制的数. 【分析】 先将非十进制数转化为十进制数,再向其他 k

进制数转化,注意十进制数的中间作用.

【解】 (1)85(8)=8×81+5×80=69(10).

∴69=1000101(2), 即 85(8)=1000101(2).

(2)235(7)=2×72+3×7+5×70=124(10),

∴124=174(8),即 235(7)=174(8).

规律技巧 化为k进制.

k进制之间的转化,首先转化成十进制,再转



k进制数的综合问题
【例4】 电子计算机使用二进制,它与十进制的换算关

系如下表: 十进制 二进制 1 1 2 3 4 5 6 ?

10 11 100 101 110 ?

观察二进制1位数,2位数,3位数时,对应的十进制的 数,二进制的6位数能表示十进制中最大的数是________.

【解析】

最大的6位二进制数是111111,它表示的十进

制数最大.由换算关系知,111111=1×25+1×24+1×23+ 1×22+1×21+1×20=32+16+8+4+2+1=63.

【答案】

63

随堂训练 1.把“二进制”数1011001(2)化为“五进制”数是( A.224(5) C.324(5) B.234(5) D.423(5) )

解析 先转化为“十进制数”. 1011001=1×26+0×25+1×24+1×23+0×22+0×21+ 1×20=64+16+8+1=89, 再把89化为五进制数,

∴89=324(5). ∴1011001(2)=324(5).

答案

C

2.三位七进制数表示的最大的十进制的数是( A.322 C.342 B.402 D.365

)

解析 七进制的最大三位数是666,把它化为十进制数为 6×72+6×7+6×70=342.
答案 C

3.下列各数85(9)、210(6)、1000(4)、111111(2)中最小的数是 ________.

解析 把各个数都化为10进制数,然后比较大小. 85(9)=8×9+5×90=77, 210(6)=2×62+1×6+0×60=72+6=78, 1000(4)=1×43=64, 111111(2)=1×25+1×24+1×23+1×22+1×2+1×20= 32+16+8+4+2+1=63. ∴最小的数是63,即1111111(2)最小.

答案

111111(2)

4.已知k进制的数132与十进制数30相等,那么k等于 ( ) A.-7 C.-7或4 B.4 D.7

解析 由题意知132(k)=30,∴1×k2+3×k1+2×k0=30, 即k2+3k-28=0, ∴k=4,或k=-7(舍去).

答案 B

5.(1)将101111011(2)转化为十进制的数;(2)将235(7)转化 为十进制的数; (3)将137化为六进制的数; (4)将53(8)转化为三进制的数.

解 (1)101111011(2) =1×28+0×27+1×26+1×25+1×24+1×23+0×22+ 1×21+1×20 =379(10). (2)235(7)=2×72+3×71+5×70 =124(10).

(3)

∴137=345(6). (4)53(8)=5×81+3×80=43.

∴53(8)=1121(3).


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