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2008北京市中学生数学竞赛高一初赛

时间:2013-03-03


2008 年北京市中学生数学竞赛 高一年级初赛试题
一. 选择题 (满分 36 分, 每小题只有一个正确答案, 请将正确答案的英文字母代号 第 1 页 制定的地方, 答对得 6 分, 答错或不答均计 0 分)
? 2008? 1. 设函数 f(x) 对 x?0 的一切实数均有 f ?x ? ? 2 f ? ? ? 3x , 则 f(2)等于 ? x ?

/>
(A) 2006

(B) 2008

(C) 2010

(D) 2012

2. cos 31?, tan 46?, sin 81?, sin 113? 的大小关系是 (A) cos 31? < tan 46? < sin 81? < sin 113? (B) sin 81? < cos 31? < sin 113? < tan 46? (C) cos 31? < sin 113? < sin 81? < tan 46? (D) tan 46? < sin 81? < cos 31? < sin 113? 3. 已知 abc < 0, 则在下列四个选项中, 表示 y = ax2 + bx + c 的图像只可能是
y y y y

O

x

O

x

O

x

O

x

(A)

(B)

(C)

(D)

4. 对非 0 实数 a, 存在实数??使得 cos? ?
3 2

?? a2 ?1 ? 成立, 则 cos?? ? ? 的值是 6? 2a ?
(C) ?
3 2

(A)

(B)

1 2

(D) ?

1 2

5. 已知?, ?分别满足? ? lg ? = 1004, ? ? 10? = 1004, 则 ???等于 (A) 2 1004 6. cos 0 ? cos (A) 4 (B) 1004 (C) 2 2008 (D) 2008

?
7

? cos

2? 3? 4? 5? 6? 等于 ? cos ? cos ? cos ? cos 7 7 7 7 7
(B) 3 (C) 2 (D) 1

二. 填空题 (满分 64 分, 每小题 8 分, 请将答案填入第 1 页指定地方) 1. 求 log2

1 1 1 ? log3 ? log5 的值 125 32 3

2. 如果 sin ? + cos ?=

?? ? 2 , 试确定 tan? ? ? ? 的值 3? ?

3. 在右图的圆中, 弦 AB, CD 垂直相交于 E, 若线段 AE, EB 和 ED 的长分别是 2 厘米, 6 厘米和 3 厘米, 试求这个圆的面积.
C

A

E D

B

4. 以[x] 表示不超过 x 的最大整数 确定 [sin 1] + [sin 2] +[sin 3] + [sin 4] + [sin 5]的值 5. 已知直角三角形 ABC 斜边 AB 长等于 29 , 计算 AB ? AC ? BC ? BA ? CA ? CB 6. 已知集合 A = {x | x2 ? 6x + 8 < 0}, B = {x | x2 ? ax + 7 = 0}. 若 A∩B ? ?, 确定实数 a 的 取值范围 7. 分别以锐角三角形 ABC 的边 AB, BC, CA 为直径画圆, 如图所示. 已知在三角形外的阴 影曲边三角形面积为 w 平方厘米, 在三角形内的阴影曲边三角形面积为 u 平方厘米, 试确定 三角形 ABC 的面积.

8. 已知正整数 n 与 k 使得 5n + 2500 = k2 成立. 试确定不小于

lg k 的最小整数的值 lg n

2008 年北京市数学竞赛高一初赛答案 一、 选择题 ACB ABD 二、 填空题 1.-15 2. ?2 ? 3 5.29 3.
65? 4 1 (w ? u) 2

4.-2 8. 3

6. [2 7, 5.75) 7.


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