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赏析几道美国AMC12数学竞赛题


?

课 外 园地 ?  

数学通讯 —— 2 O 1 Z年 第 1 O期 ( 上半月)  

5 9  

一 6 0 。 一 ,   ZAF  A XB = , AX :  , 则  E Y Z  


同理 分析 可知 : 昆虫 从 A 到 B 不 同的爬 行

路 
线 总数 为 : 2× ( 2 ×4 +1 ×2 ) ×( 4 ×4 +4 ×2 ) x  
( 2× 2+ 1   X  1 ): 2 4 0 0 . 选( E) .  

0 —3 o 。 , 由正弦定 理 得 

40  

一 五 ’  
EZ 

s i nl 2 0。  

s i n ( 0— 3 0 。 )  

s i n( 6 0 。 一 )  

问 题 4   De f i n e  t h e  f u n c t i o n ^

o n  t h e  

p o s i t i v e   i n t e g e r s   b y   s e t t i n g   f l ( 1 )= 1   a n d   i f   : 


+ - s i n( 6 0 。 -0 )’  

i   p  …p   i s   t h e   p r i me   f a c t o r i z a t i o n   o f   7 /> 1 " ,  

从 而 和差 化积 易得 t a n   =   2 0 故  一 


t h e n   f l (   )= ( p l+ 1 ) E 1 一   ( p 2+ 1 )   …( p ^ + 

= 

1 )   ~. F o r  e v e r y  m ≥

2 , l e t 厂 卅 (   ) = 

2 9   , 选( A) .  
E  Y  D 

^(   1 (  ) ) .Fo r   h o w  ma n y   N  i n   t h e   r a n g e   1≤ 

N≤ 4 0 0   i s   t h e   s e q u e n c e( , 1 ( N) , 厂 2 ( N) , 厂 3 ( N) ,  


)un bo un de d ?  

C 

( A) 1 5 .  
( C) 1 7 .   ( E) 1 9 .  

( B) 1 6 .  
( D) 1 8 .  

译 文  定 义 在 正 整 数 集 上 的 函数 
图 5  

满 足 

f   ( 1 )一 1 , 且 对大 于 1的正 整数 n , 若 其素 因数 分 
解 为  一 P I ' p  … p  , 则f 1 (   )一 (   1 +1 )   ( p 2  

+1 )   …( p   +1 )   ~, 对 每 个 正 整数 m ≥ 2 , 记 

( n )一 f   (  
无界?  
图 6  

(  ) ) , 则 区间 [ 1 , 4 0 0 ]内有 多 少 

个 整 数 N, 使得 序列 ( ^( N) , f z ( N) , f 3 ( N) , …)   解  由题 意 易见 : 当 n一 1 , 2 , 3 , …, 3 1时 , 序  列( ^( N) , 厂 z ( N) ,  ( N) , …)总是周 期数 列 , 如:  
f   ( 8 )一 3  ,   ( 8 )一 2  ,   ( 8 )= 3  , 厂 4 ( 8 )一 
1 , _ 厂 5 ( 8 )一 1, …;  

问题 3   A  b u g   t r a v e l s   f r o m  A  t o   B   a l o n g   t h e  
s e g me nt s   i n   t h e   he x a g o na l   l a t t i c e   pi c t ur e d   be l ow.   The  s e g me n t s  m a r k e d  wi t h  a n a r r o w c a n  b e   t r a ve l e d   on l y   i n   t he   d i r e c t i o n   of   t he   a r r o w ,a nd   t he  bug  ne v e r  t r a v e l s  t h e  s a me  s e g me nt  mo r e   t h a n   on c e .Ho w  ma ny   d i f f e r e n t   p a t hs   ar e   t he r e ?  

f 1 ( 2 7 )一 2   , f 2 ( 2 7 )= 3 。 , f 3 ( 2 7 )一 4   ,  

厂 4 ( 2 7 )一 3 。 , …; 等.   而序列 ^( 3 2 )一 3   ,  ( 3 2 )一 2   , 厂 3 ( 3 2 )一 3   ,  

( A) 2 1 1 2 .   ( C) 2 3 6 8 .  
( E) 2 4 0 0 .  

( B) 2 3 0 4 .   ( D) 2 3 8 4 .  

( 3 2 )一 2   , , 5 ( 3 2 )= 3   , … 显然是无界序列 !   同理易见 : 在区间1 ≤/ 2 ≤4 0 0 内, n一 2  ? 5   ,  
竹= 2  ? k ( 忌一 1 , 3, 5 , …, 1 1 ), , z :2  ? k ( 忌= 1 , 3 ,  

译 文  一 只小虫沿 着如 图 6 所示 的 由六边 形  构 成 的格子从 点 A 爬 行 到 点 B, 标 记 有 箭 头 的边  只 能按 箭头 方 向爬 行 , 且 小虫 爬 行 同 一 条 边 不 超 

5 ) , n 一2   ? k ( k一 1 , 3 ) ,  一 2  时对 应 的序 列是 无  界 序歹 0 ;  一 3 ‘ ? k ( k= 1 , 2 , 4 ) ,  一 3   , 7 z =7 。 时  对 应 的序列 也都 是无界 序列 , 且没 有其它 .  

过一次, 则共 有 多少种 不 同的爬 行路径 ?   解  由题 意结 合 乘 法与 加 法原 理 易知 : 如 图 
6 , 昆虫 从 A可 以先 到 C( 也可 以先 到 G ) , 然后 有三  种 不 同方 法走完 第- - -N六边 形 :  

所以 , 满足条 件 的序列 总共有 1 +6 +3 +2 + 
1 +3 +1 + 1= 1 8个 , 选( D) .  
问 题 5   Co n s i d e r  a l l  p o l y n o mi a l s  o f  a  

c o mp l e x   v a r i a b l e ,P (  )= 4 z  + a z 。 +b z  +  + 

( 1 )可 以直 接到 D, 或 经过 F与 G 到 达 H , 这  两种 走 法 接 下 来 走 完 第 三 列 六 边 形 均 有 四 种 
选择 ;  

d,wh e r e   a, b , c .a n d   d   a r e   i n t e g e r s ,0≤ d≤ C ≤ 
b≤ 口≤ 4 ,a n d   t h e   p o l y n o mi a l   h a s   a   z e r o   Z o   v A t h  

I  0   I 一 1 .Wh a t   i s   t h e   s u m   o f   a l l   v a l u e s   P( 1 )  
o v e r   a l l   t h e   p o l y n o mi a l s   wi t h   t h e s e   p r o p e r t i e s ?  
( A) 8 4.   ( B) 9 2 .  

( 2 ) 经过 D, E, F与 G 到 达 H ,而这种 走法 接  下来 走 完第 三列 仅有两 种选 择 ;  

6 0  

数 学通 讯 — — 2 O 1 2年 第 1 O期 ( 上半月)  

? 课 外 园地 ?  

( C) I O 0 .  
( E)1 2 0.  

( D) 1 0 8 .  



8 n x≥ 4 n , 5 C < 0 , 易得 8  ≤ 4 枇 ≤ 4 n ( 2 x十  1 ) z, 若  一 0 , 由 4≥ 4 m一8 z≥ 4 —2 m x≥ 4 m≥ 

译 文  考虑所 有 复变 量多项 式 P( z ) =4 z   + 

0 , 得眦 >0 ,  > 0 , 则 z> 0 , 矛盾; 若0 <, z ≤1 ,  

口 z 。 +次。 +  +d , 其 中系数 口 , b , C , d是整数 , 满 足  0≤ d≤ c ≤b ≤a ≤4 , 且多项 式有模 为 1 的零 点 ,   求所 有满 足条件 的多项 式对应 P( 1 ) 值 的总和 .  
解  由题意 , 先考 虑模 为 1 的实 根  , 显 然  ≠ l , 当z 。 =一 1 时满足 4 +6 +d= 口 +c , 由条件  易知 当且仅 当 d一 0时 , C— b= i ( i= 0 , 1 , 2 , 3 ,   4 ) , a一 4 满 足条 件 , 对 应 的 P( 1 )= 4 +a +b +C   + d分 别为 8 , 1 O , 1 2 , 1 4 , 1 6 ;   再 考 虑模 为 1 的虚根  一 +y i ( x , y∈ R, z 。   十Y  = 1 ) , 则一 Z o= z—y i 也 是实 系数多项 式 P(   )   的虚根 , 从而可设 P( z )一 4 ( z 。 一2 x z+1 )? ( z 2 + 
z+ ) ( 仇,  ∈ R ) , 展 开 易 得 
P(  ) 一 4 z  + ( 4 m 一 8 x)   + ( 4 n + 4 — 
2 m x) z  + ( 4 m一 8 n s c ) z+ 4 n .  

则有 2 ≤( 2 z +1 ) z , 进而 ≤二 
二 


立 或z ≥ 

显然 均不符 合 !  

综 上 可知 : 所 有满 足条件 的 P( 1 )值 的总 和为 
8 +1 O +1 2 +1 4 +1 6 +2 O +1 2— 9 2 , 选( B) .  

点评  该题谨 慎 细致 地 分 类讨论 , 保证 了不 
多 不漏 ! 这 是 解决此 问题 的关键 .  
问题 6   Le t   S= { ( z,  ): z∈ { 0, 1 , 2 , 3 , 4 ) ,   Y∈ { 0, 1 , 2, 3 , 4 , 5 ) , a n d( 工,  )≠ ( O, O ) ) .L e t   T 
b e   t he   s e t   o f   a l l   r i gh t   t r i a n gl e s   who s e   ve r t i c e s   a r e  

i n   S . Fo r   e v e r y   r i g h t   t r i a n g l e   t 一 △ AB C  wi t h  
v e r t i c e s   A, B, a nd   C  i n   c o un t e r — c l o c kwi s e  o r de r  

a n d   r i g h t   a n g l e   a t   A ,l e t   f ( t )= t a n z / C BA .W h a t  

由 4 m一 8 x= 口≥ C 一4 m一8 n x得 (  一 1 ) x  
≥ 0   1 以下分 三种 情况讨 论 :  

i s Ⅱ/ (   ) ?  
( A)1 .   ( B )面 6 2 5
.  

( 1 ) 若  > 0 , 则" ≥1 , d= 4 n ≥4 , 又0 ≤d  
≤ 4 , 故 只可能 d一 4 ,  一 1 , 从而 口 =b =C = d一  4 , P(   ) :4 ( z 4 +  +  + + 1 ) :  二  , 故 

( c  百 1 2 5
.  

( D) 6 .  

( E)  

.  

译 文  设 S= ( ( z,  )l   z∈ ( 0 , 1 , 2 , 3 , 4 } , 3 ,   ∈ { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ) ,( z,  )≠ ( 0 , O ) ) , 记所有以 S  

存 在五次单 位根 满足 条件 , 且 P( 1 ): 2 0 ;   ( 2 ) 若 z: 0 , 则  一土 i , 此时 P( z )一 4   + 
4 膨。 +( 4 n +4 )   +4 r n z +4 n , 由口 ≥6 ≥c ≥ d≥ 

中的点 为顶点 构 成 的直 角 三 角 形 组 成 集 合 T, 对  每 个顶 点 A, B, C逆 时针排 列 且 点 A 为 直角 顶 点 

0得 4 m≥ 4 n +4 ≥4 m≥ 4 n ≥0 , 所以4  一4 —4  

的 t— R t △A B C,定 义 厂 ( £ )= t a n  C B A,求 

≥0 , 故 优≥ 1 , 又f :4 m≤ 4 , 所 以m: 1 ,  一 0 ,  
即 口一 b— c一 4 , d— O ( 与前面重复 , 不计 ) ;  
( 3 ) 若 一 1< z< 0 , 则由 4 ≥ 4 m一 8 s c ≥4 n  
+ 4— 2 ex ≥ 4 r m 一8 n x≥ 4 n≥ 0得 2 x+ 1≥ m 

l - l s ( t  ̄ 的 值 .  
解  如 图 7 , 由题 意 , 如  果 直角 三角形 △A BC的三 个  顶 点 均不在 直线 y一 5 上, 则 


≥ n ( 2 x+ 1 ) , 对 该式 也分 以下三 种情况讨 论 :  

定存 在 关 于直线 Y—  对 

①若2 x +1— 0 , z一一妻 , 代入上式得 4 ≥ 
4 m+ 4 ≥ 4 "+ 4 +m≥ 4 m+ 4 n≥ 4 n≥ 0 , 易 见  当且 仅 当 m —   一0 时成 立 , 此时 a: b: 4 , C—  
d 一 0, P( z )一 4 z  + 4 z 。 +4 z  = 4 z 。 ( z 。 +z + 1 )  


称 的 另 一 个 直 角 三 角 形  △A  B   C   在集合 S中, 且 有 
t a n  C BA ?t a n  C   B, A 一 
图 7  

1 ; 如果 三个 顶 点均 不 在 直 线  y一 0 上, 也一 定存在 关于直 线 y— z 十1 对 称的另 


生  三  , 故 存 在 三 次 单 位 根   一 一  ± 雩 i  
②若2 x+ 1 <0 , 则  一 1 , 进 而 m一2 x一 1 ,  

个三 角形 △A   B   C   在 集合 s中, 且有 t a n  C B A  
[ 

满 足条 件 , 此 时 P( 1 )一 1 2 ;  

? t a n  C   B   A  = 1 ; 如果三 个顶 点均 不在直 线 3 2 = 

0 上, 也一定存在关于直线 z =姜 对称的另一个三 
厶 



一 2 , 故 z一 二 

, 舍去 ;  

角 形 △A   B   C  在 集 合 S 中 , 此时有 t a n  C B A ?  
t a n/C  B  A ’= 1
.  

③ 若 2 x+1> 0 , 则由 4 ≥ 4  十 4 —2 眦 , 4 m  

?

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数学通讯 ——2 O 1 2年 第 1 O期 ( 上 半 月)  

6 1  

因此 , 只需 考 虑 以点 ( 0 , 5 )为 其 中一 个 顶 点 ,  
且 直线 Y一 5 与  一 0 上各 至少 一个 顶点 的组 成直  角 三角 形 AAB C 的两 种情 形 :   ① 以点 ( 0 , 5 ) 为一 个 顶点 , 另一 个顶 点在 直线  Y一 0 上, 第 三 个顶 点 在直 线 Y: 5 上 除点 ( O , 5 ) 外 
的其 它情况 , 显 然 只有 ( O , 5 )分别 与 (   , 0 ) 、 (   , 5 ) (  

{ ( 0 , 5 ) , ( 1 , 0 ) , ( 3 , 2 ) ) , ( ( 0 , 5 ) , ( 1 , 0 ) , ( 3 , 3 ) } ,   { ( O , 5 ) , ( 3 , o ) , ( 4 , 1 ) ) , { ( 0 , 5 ) , ( 3 , 0 ) , ( 4 , 4 ) ) , 且 

易见 t a n  C B A分别为÷, l , ÷, 1 .  

从 而 有 Ⅱ厂 t E T   (   ) 一 { ‘  _ ? 导  V ? 导  ‘ ? 丢  V ? 号   ?   ? ÷  
?

一1 , 2 , 3 , 4 )组成 直 角 三 角形 的四种 情 形 , 且 易见 
亡  [  亡  [ 

1一 面 6 2 5选 ( B) .  


t a n LC B A 分别为旱 , 普, 昔, ÷;  
上  厶  0 

点 评  该 题利 用对称 轴 巧妙地 找 到了集合 S   中乘积 为 1的对应 直角 三角形 , 从 而将 问题 简化 !  
( 收稿 日期 : 2 0 1 2 一O 5 一O 6 )  

② 以点 ( 0 , 5 ) 为一个 顶 点 , 另 一个 顶点 在直线  y— o 上, 第 三个 顶 点 在除直 线 y一 0和 y一 5外  的其 它 点 组 成 直 角 三 角 形 三 点 组 的 四 种 情 形 :  



道 上 海市 数 学竞 赛试 题 的 另解 
黄春亮   指导 教师   彭   成  
( 江苏省上冈中学高二 1 6 班 ,2 2 4 7 3 1 )  

由   MON = = =9 0 。  ̄M - - O? Nl D=0 .  

2 0 1 1年 上 海 市 高 中 数 学 竞 赛 ( 新 知 杯 )第 
1 O题 :  

如图 1 , 在 AAB C中, 点 0  

为B C 的 中点 , 点 M、 N 分 别 在 
边 AB、 AC 上 , 且 A M 一 6 ,  


故 ( 丢  一   ) . ( 丢  一   ) = o ,   即 未  ?  一   2 一 去  2 : 0 ,   得 砉 × 1 0 × 7   X   c o s A 一 1   X   1 0 。 一 去 × 7  
一 0.  

一 9 0 。 . 求  A 的大小 .  

4, AN 一 4, NC 一 3,   M 0N  

B  

O  
图 1  

C  

文E l i给 出 了 , 这 道 试 题 的 

所 以 c 。  一 詈 , 即 L A = = = a r c c o s 詈 。  
参考 文献 :  

四种 方法 , 这 里借 助 于 向量 的线 性 表 示 , 给 出一 个  无需 添加 辅助 线 的解答 , 算 是对 文 E l i四种 方法 的 


个 补充 .  

E l i   缪 雪松 . 一 道 数 学竞 赛 题 的几 种 解题 思路 .  

解 
:  

一 商 +蔚  
+  (   一  )  

中学 数学月 刊 , 2 0 1 1 ( 1 0 ) .  
( 收 稿 日期 : 2 0 1 2 一O 4— 1 8 )  

吉  一 击  .   同 理 可 得  = 丢  一  A - C .  



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