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2012年高中精品教案集:1.4.2(2)正弦、余弦函数的性质(二)


4-1.4.2(2)正弦、余弦函数的性质(二)
教学目的: 知识目标:要求学生能理解三角函数的奇、偶性和单调性; 能力目标:掌握正、余弦函数的奇、偶性的判断,并能求出正、余弦函数的单调区间。 德育目标:激发学生学习数学的兴趣和积极性,陶冶学生的情操,培养学生坚忍不拔的 意志, 实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。 教学重点:正、余弦函数的奇、偶性和单调性; 教学难点

:正、余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应用 授课类型:新授课 教学模式:启发、诱导发现教学. 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 二、讲解新课: 1. 奇偶性 请同学们观察正、余弦函数的图形,说出函数图象有怎样的对称性?其特点是什么? (1)余弦函数的图形 当自变量取一对相反数时,函数 y 取同一值。 例如: f(-

? 1 ? 1 ? ? )= ,f( )= ,即 f(- )=f( );…… 3 2 3 2 3 3
∴f(-x)= f(x).

由于 cos(-x)=cosx

以上情况反映在图象上就是:如果点(x,y)是函数 y=cosx 的图象上的任一点,那么, 与它关于 y 轴的对称点(-x,y)也在函数 y=cosx 的图象上, 这时, 我们说函数 y=cosx 是偶函 数。 定义:一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)= f(x),那么函 数 f(x)就叫做偶函数。 例如:函数 f(x)=x +1, f(x)=x -2 等都是偶函数。
2 4

(2)正弦函数的图形 观察函数 y=sinx 的图象,当自变量取一对相反数时,它们对应的函数值有什么关系? 这个事实反映在图象上,说明函数的图象有怎样的对称性呢?函数的图象关于原点对 称。 也就是说,如果点(x,y)是函数 y=sinx 的图象上任一点,那么与它关于原点对称的点 (-x,-y)也在函数 y=sinx 的图象上,这时,我们说函数 y=sinx 是奇函数。 定义:一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=-f(x) ,那么 函数 f(x)就叫做奇函数。

例如:函数 y=x,

y=

1 x

都是奇函数。

如果函数 f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函数 f(x)具有奇偶性。 注意:从函数奇偶性的定义可以看出,具有奇偶性的函数: (1)其定义域关于原点对称; (2)f(-x)= f(x)或 f(-x)=- f(x)必有一成立。因此,判断某一函数的奇偶性时。 首先看其定义域是否关于原点对称,若对称,再计算 f(-x),看是等于 f(x)还是等于- f(x), 然后下结论;若定义域关于原点不对称,则函数没有奇偶性。 2.单调性 从 y=sinx,x∈[- 当 x∈[-

? 3?
2 , 2

]的图象上可看出:

? ? , ]时,曲线逐渐上升,sinx 的值由-1 增大到 1. 2 2 ? 3? 当 x∈[ , ]时,曲线逐渐下降,sinx 的值由 1 减小到-1. 2 2
结合上述周期性可知:

? ? +2kπ , +2kπ ](k∈Z)上都是增函数,其值从-1 2 2 ? 3? 增大到 1;在每一个闭区间[ +2kπ , +2kπ ](k∈Z)上都是减函数,其值从 1 减小 2 2
正弦函数在每一个闭区间[- 到-1. 余弦函数在每一个闭区间[(2k-1)π ,2kπ ](k∈Z)上都是增函数,其值从-1 增 加到 1;在每一个闭区间[2kπ ,(2k+1)π ](k∈Z)上都是减函数,其值从 1 减小到-1. 3.有关对称轴 观察正、余弦函数的图形,可知 y=sinx 的对称轴为 x= k? ? y=cosx 的对称轴为 x= k?

?
2
k∈Z

k∈Z

(1)写出函数 y ? 3 sin 2 x 的对称轴; (2) y ? sin( x ? (A) x 轴,

?
4

) 的一条对称轴是( C )

(B) y 轴, (C) 直线 x ?

?
4



(D) 直线 x ? ?

?
4

4.例题讲解 例 1 判断下列函数的奇偶性 (1) f ( x) ?

1 ? sin x ? cos x ; 1 ? sin x ? cos x
4 4

(2)f(x)=sin x-cos x+cos2x;
2 (3) f ( x) ? lg(sin x ? 1 ? sin x );

lg(1 ? x 2 ) | x ? 2 | ?2 ? 2 ?x ? x (5) f ( x) ? ? ?? x 2 ? x ?
(4) f ( x) ?

( x ? 0) ( x ? 0)

; ;对称中心是 . ;对称中心是 .

例 2 (1)函数 f(x)=sinx 图象的对称轴是

(2)函数 f ( x) ? 3sin x ? cos x 图象的对称轴是 例3

已知 f(x)=ax+bsin3x+1(a、b 为常数),且 f(5)=7,求 f(-5).

例 4 已知已知f ( x) ? log 1

1 ? sin x . 2 1 ? sin x

(1) 求 f(x)的定义域和值域; (2) 判断它的奇偶性、周期性; (3) 判断 f(x)的单调性. 例 5 (1)θ 是三角形的一个内角,且关于 x 的函数 f(x)=sain(x+θ)+cos(x-θ)是偶函数,求 θ 的值. (2)若函数 f(x)=sin2x+bcos2x 的图象关于直线 x ? ? 例 6 已知 f ( x) ? log a (sin 1. 有关奇偶性 (1) f ( x) ? sin | x | ? | sin x | (2) ( x ) ?
2

?
8

对称,求 b 的值.

x x ? sin 4 )(a ? 0, a ? 1) ,试确定函数的奇偶性、单调性. 2 2

1 ? sin x ? cos x 1 ? sin x ? cos x

有关单调性 (1)利用公式 sin ? ? sin ? ? 2 cos

???
2

sin

???
2

,求证 f ( x) ? sin x 在 [ ?

? ?

, ] 上是 2 2

增函数; (2)不通过求值,指出下列各式大于 0 还是小于 0; ① sin( ?

); 18 10 23 17 ② cos( ? ? ) ? cos( ? ? ) 5 4
(3)比较 sin 1, sin 2, sin 3 大小; sin(? ? 3) ? sin 1 ? sin(? ? 2) (4)求函数 y ? 2 sin( 3 x ? 二、巩固与练习 练习讲评 (1)化简: 2 ? sin 2 2 ? cos4

?

) ? sin( ?

?

?
4

) 的单调递增区间;

a sin
(2)已知非零常数 a, b 满足

5 ? tan 8? ,求 b 的值; ? ? a 15 a cos ? b sin 5 5 5

?

? b cos

?

(3)已知 8 sin ? ? 10cos ? ? 5,8 cos? ? 10sin ? ? 5 3 求值: (1) sin(? ? ? ) ; (2) sin( 解: (1) 2 ? sin 2 2 ? cos4

?
3

??)

? 2 ? sin 2 2 ? 1 ? 2 sin 2 2 ? 3(1 ? sin 2 2) ? 3 cos 2 2 ? 3 | cos 2 |? ? 3 cos 2
(2)

a ? ? 8? sin ? cos sin b 5 5 ? 15 a ? ? 8? cos ? sin cos b 5 5 15 8? ? 8? ? 8? ? sin cos ? cos sin sin( ? ) a 15 5 15 5 ? 15 5 ? tan ? ? 3 ? ? 8? ? 8? ? 8? ? b 3 cos cos ? sin sin cos( ? ) 15 5 15 5 15 5 2 (3)两式平方相加得 164 ? 160sin(? ? ? ) ? 100 ? sin(? ? ? ) ? ; 5

10cos ? ? 5 ? 8 sin ? 10sin ? ? 5 3 ? 8 cos?
两式平方相加得 100 ? 164? 80sin ? ? 80 3 cos?



1 3 2 ? 2 sin ? ? cos? ? ,? sin( ? ? ) ? 2 2 5 3 5

四、小

结:本节课学习了以下内容: 1. 2. 3. 五、课后作业:见教材 六、板书设计:


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