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浙江省台州中学2012届高三上学期第三次统练测试题(数学理)

时间:2013-06-19


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台州中学 2011-2012 学年高三第一学期第三次统练 数学(理科)试题
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。 1、已知复数 Z 的实部为-1,虚部为 2,则 A、2-i B、2+I C、-2-i

5i 的值是( z
D、-2+i



2、将正方形 ABCD 沿对角线 AC 折成一个直二面角,则异面直线 AB 和 CD 所成的角是( A、30° B、45° C、60° D、90° )



2 2 3、已知 tan ? ? 2 ,则 sin ? ? sin ? cos ? ? 2cos ? ? (

A、 ?

4 3

B、

5 4

C、 ?

3 4

D、

4 5


4、椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的焦点是 F1,F2,如果椭圆上一点 P 满足 PF1⊥PF2 下面结论正确的是( 25 16
B、P 点有四个 D、P 点一定不存在

A、P 点有两个 C、P 点不一定存在

5、已知某个几何体的三视图如图,根据图中标出的尺寸(单位:cm) ,可将这个几 何体的体积是( A、 ) B、

4000 3 cm 3
3

8000 3 cm 3
3

C、 2000cm

D、4000 cm

6、设 a, b, c 是单位向量,且 a ? b ? 0 ,则 (a ? c) ? (b ? c) 的最小值为( A、-2 B、 2 ? 2 C、-1 D、 1 ? 2 )

? ? ?

? ?

? ?

? ?



7、设等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn,若

s6 s ? 3 ,则 9 ? ( s3 s6
D、3

A、2

B、

7 3

C、

8 3

8、若定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足:对任意 x1 , x2 ? R 有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1 ,则下列说法一定 正确的是( )

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A、 f ( x ) 是奇函数 C、 f ( x ) +1 是奇函数 9、有四个关于三角函数的命题:

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B、 f ( x ) 是偶函数 D、 f ( x ) +1 是偶函数

P : ?x ? R,sin 2 1

x x 1 ? cos 2 ? 2 2 2

P2 : ? x, y? R s i n x y ? , (? )
P4 : s i n ? x

s ix n ?

s yn i

P3 : ?x ?[0, ? ],

1 ? cos 2 x ? sin x 2
) B、P2,P4

c oys? x? y ? 2

?

其中的假命题是( A、P1,P4

C、P1,P3

D、P2,P3

10、已知 ? 、 ? 是三次函数 f ( x) ?

b? R) ,则

b?2 的取值范围是( a ?1 1 1 A、 ( ,1) B、 ( ,1) 4 2

1 3 1 2 x ? ax ? 2bx 的两个极值点,且 ? ?(0、1) ? ?(1、2)( a 、 , , 3 2
) C、 ( ?

1 1 , ) 2 4

D、 ( ?

1 1 , ) 2 2

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分 11、若 ( x ? 2)5 ? a5 x5 ? a4 x 4 ? a3x 3 ? a2x 2 ? a1x ? a0 ,则 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? _______。 12、在平行四边形 ABCD 中,E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点,若 AC ? ? AE ? ? AF ,其中

??? ?

??? ?

??? ?

?, ? ? R, 则? ? ? ? __________.
13、下图的程序框图表示的算法的运行结果是________. 14、已知 ? C : x ? y ? 2x ? ay ? 3 ? 0(a 为实数)上任意
2 2

一点关于直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的对称点都在 ? C 上, 则 a ? _______. 15、在锐角△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,若 值是 .

b a tan C tan C ? ? 6 cos C ,则 ? 的 a b tan A tan B

? x 2 ? 4 x, x ? 0 ? 2 16、已知函数 f ( x ) ? ? 若 f (2 ? a ) ? f (a) 2 ?4 x ? x , x ? 0 ?
则实数 a 的取值范围是_______. 17、在正方体 ABCD—A1B1C1D1 的各个顶点与各棱的中点共 20 个点中,任取 2 点连成直线,在这些直线 中任取一条,它与对角线 BD1 垂直的概率为_________。
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三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 18、在 ?ABC 中, a , b, c 分别是角 A,B,C 对边,且 4 cos C ? sin (I)若 tan A ? 2 tan B, 求 sin( A ? B) 的值 (II)若 3ab ? 25 ? c ,求 ?ABC 面积的最大值
2

2

C ? cos 2C ? 0 . 2

18、 由条件: 4 cos C ? 故 sin C ?

1 ? cos C 1 ? 2 cos 2 C ? 1 ? 0, cos C ? 。 2 2

3 3 . 则 sin( A ? B) ? . 2 2

? 3 sin A 2 sin B , ?sin A cos B ? cos A sin B ? ? (1)由 tan A ? 2 tan B ,得 ,所以 ? 2 cos A cos B ?sin A cos B ? 2 cos A sin B ? 0, ?
得 cos A sin B ?

3 3 3 , sin A cos B ? , 所以 sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ? . 6 3 6
2 2 2

(2)由余弦定理 c ? a ? b ? 2abcosC,

?25 ? 3ab ? a 2 ? b2 ? ab.?(a ? b)2 ? 25, a ? b ? 5.
? S? ABC ? 1 3 3 a ? b 2 25 3 absin C ? ab ? ?( ) ? , 2 4 4 2 16
5 时取得最大值. 2

当且仅当 a ? b ?

19、已知函数 f ( x ) ? (I)求证:数列 ?

3x ,数列 ?a n ?满足 a1 ? 1, an ?1 ? f (an ), n ? N*, 2x ? 3

?1? ? 是等差数列; ? an ?
m ? 2002 对一切 n ? N * 成立,求 2

(II)令 bn ? an?1 ? an (n ? 2), b1 ? 3, sn ? b1 ? b2 ? ?? bn ,若 S n ? 最小正整数 m .

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20、如图,在多面体 ABCD 中,DB⊥平面 ABC,AE∥BD,且 AB=BC=CA=BD=2AE=2 D (I)求证:平面 ECD⊥平面 BCD (II)求二面角 D-EC-B 的正切值 (III)求三棱锥 A-ECD 的体积 A B E

C C、 C 20、证明: (I)分别取 CD,CB 的中点 F,G,连结 EF、FG,AG,易证 AG⊥面 CBD,AG∥EF,

? EF ? 平面CBD, 又EF ? 平面ECD

∴平面 ECD⊥平面 BCD

(II)解:连结 BF,则 BF⊥CD,由(I)知,BF⊥面 ECD,过 F 作 FM⊥EC,垂足为 M,连 结 MB,则∠BMF 为二面角 D—EC—B 的平面角,由题意知, EC ? ED ? 5 ,

CD ? 2 2 ,? MF ?

EF ? FC 30 15 ? 又BF ? 2 ? tan ?BMF ? CE 5 3

(III) VA? ECD ? VC ? AED ?

1 3 S? ADE ? 3 ? 3 3

21、 如图, 线段 AB 的两个端点 A、 分别在 x 轴, 轴上滑动,AB ? 3 , M 是线段 AB 上一点, AM ? 1 B y 点 且 点 M 随线段 AB 的滑动而运动。 (I)求动点 M 的轨迹 E 的方程 (II)过定点 N ( 3,0) 的直线 l 交曲线 E 于 C、D 两点,交 y 轴于点 P,若
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y
B M O A

x

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世纪金榜 圆您梦想 ??? ? ??? ??? ? ? ???? PC ? ?1CN , PD ? ?2 DN , 求?1 ? ?2 的值

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22、已知二次函数 f ( x ) 满足:①当 x ? 1 时有极值,②图象与 y 轴交点的纵坐标为 ?3 ,且在该点处的切 线与直线 x ? 2 y ? 4 垂直 (I)求 f(1)的值 (II)求函数 g ( x) ? f ( x ln x), x ?[1, 2] 的值域 (III)若曲线 y ? f (ln x), x ? (1, ??) 上任意一点处的切线的斜率恒大于 a ? a ? 2 ,求 a 的取值范围
3

22、解: (I)设 f ( x) ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) f (o) ? ?3,?c ? ?3

? f '( x) ? 2ax ? b ?在x ? 1 处有极值 ? f ' ( 1 ) 即 a 2 b ? ? 0, ?

0

∵在点 (0, ?3) 处的切线与直线 x ? 2 y ? 4 垂直,? f '(0) ? ?2,即b ? ?2 故 a ? 1 ? f ( x) ? x2 ? 2x ? 3, f (1) ? ?4 (II)? f ( x) ? x ? 2x ? 3 ? ( x ?1) ? 4 ? g ( x) ? ( x ln x ?1) ? 4
2 2 2

令 t ? x ln x,?当x ?[1, 2]时, t ' ? 1 ? ln x ? 1 ? 0

?t ? x ln x在x ?[1, 2] 上单调递增 ? 0 ?t ? 2 l n 2

?当t ? 1时 [ g ( x)]min ? ?4 当t ? 0时 [ g ( x)]max ? ?3
? g ( x) 的值域为 [?4, ?3]
(III) f (ln x) ? (ln x) ? 2ln x ? 3 令t ? ln x ? x ? (1, ??)
2

?t ? 0 ? f (t ) ? t 2 ? 2t ? 3 ? f '(t ) ? 2t ? 2
? t ? 0,? f '(t ) ? ?2
由题意得 a ? a ? 2 ? f '(t ) 恒成立
3

? a3 ? a ? 2 ? ?2 ? a(a ? 1)(a ? 1) ? 0

? a 的取值范围为 a ? ?1或0 ? a ? 1

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台州中学 2011-2012 学年高三第一学期第三次统练答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。 1 A 2 C 3 D 4 D 5 B 6 D 7 B 8 C 9 A 10 A

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分 11、31 15、4 18、 由条件: 4 cos C ? 故 sin C ? 12、

4 3

13、 ?5 17、

14、 ?2

16、 ?2 ? a ? 1

27 166

1 ? cos C 1 ? 2 cos 2 C ? 1 ? 0, cos C ? 。 2 2

3 3 . 则 sin( A ? B) ? . 2 2

? 3 sin A 2 sin B , ?sin A cos B ? cos A sin B ? ? (1)由 tan A ? 2 tan B ,得 ,所以 ? 2 cos A cos B ?sin A cos B ? 2 cos A sin B ? 0, ?
得 cos A sin B ?

3 3 3 , sin A cos B ? , 所以 sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ? . 6 3 6

(2)由余弦定理 c 2 ? a 2 ? b2 ? 2abcosC,

?25 ? 3ab ? a 2 ? b2 ? ab.?(a ? b)2 ? 25, a ? b ? 5.
? S? ABC ? 1 3 3 a ? b 2 25 3 absin C ? ab ? ?( ) ? , 2 4 4 2 16
5 时取得最大值. 2

当且仅当 a ? b ?

19、 (1)证明:由题意可得 an ?1 ?

3an 2a ? 3 2 1 1 1 1 2 ,? ? n ? ? .? ? ? . 2an ? 3 an?1 3an 3 an an?1 an 3

又? a1 ? 1,?数列 ?

?1? 2 1 ? 是以 ? 1 为首项,以 为公差的等差数列. 3 a1 ? an ?

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(2)由(1)可得

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1 2 2 1 1 ? 1 ? (n ? 1) ? n ? ? (2n ? 1). an 3 3 3 3
当 n ? 2 时, bn ? an ?1an ?

? an ?

3 2n ? 1

9 1 1 ( ? ). 2 2n ? 1 2n ? 1

当 n ? 1 时,上式同样成立。

9 1 1 1 1 1 9 1 (1 ? ? ? ? ? ? ? ) ? (1 ? ). 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1 m ? 2002 9 1 m ? 2002 * ? Sn ? , 即 (1 ? )? 对一切 n ? N 成立, 2 2 2n ? 1 2 9 1 9 1 9 ) 随 n 递增,且 (1 ? )? , 又 (1 ? 2 2n ? 1 2 2n ? 1 2 9 m?2002 ? ? ,? m ? 2 0 1,1 m最小 ? 2 0 1 .1 ? 2 2 ? S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?
20、证明: (I)分别取 CD,CB 的中点 F,G,连结 EF、FG,AG,易证 AG⊥面 CBD,AG∥EF,

? EF ? 平面CBD, 又EF ? 平面ECD

∴平面 ECD⊥平面 BCD

(II)解:连结 BF,则 BF⊥CD,由(I)知,BF⊥面 ECD,过 F 作 FM⊥EC,垂足为 M,连 结 MB,则∠BMF 为二面角 D—EC—B 的平面角,由题意知, EC ? ED ? 5 ,

CD ? 2 2 ,? MF ?

EF ? FC 30 15 ? 又BF ? 2 ? tan ?BMF ? CE 5 3

(III) VA? ECD ? VC ? AED ?

1 3 S? ADE ? 3 ? 3 3

21、解: (I)设 A( x0 ,0), B(0, y0 ), M ( x, y) 由AB ? 3AM ,得

??? ?

???? ?

3x ? ??? 2 ? 9 2 ? x0 ? 2 2 2 2 由 AB ? x0 ? y0 ? 9 ? x ? 9 y ? 9 ? 4 ? y0 ? 3 y ?
∴动点 M 的轨迹 E 的方程为

x2 ? y2 ? 1 4

(II)显然,直线 L 的斜率存在,设其方程为 y ? k ( x ? 3), 即

? y ? k ( x ? 3) ? 令 p(o, ? 3K )  c( x1 , y1 ), D( x2 , y2 ) 联立 ? 2 2 ?x ? 4 y ? 4 ? 0 ?



x2 ? 4k 2 ( x ? 3)2 ? 4 ? 0 即(4k 2 ?1) x2 ? 8 3k 2 x ?12k 2 ? 4 ? 0
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即 x1 ? x2 ?

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? ??? ? 8 3k 2 4(3k 2 ? 1) ??? , x1 ? x2 ? 又PC ? ?1 CN 4k 2 ? 1 4k 2 ? 1

? x1 ? ?1 ( 3 ? x1 ) ? ?1 ?

x1 x2 同理?2 ? 3 ? x1 3 ? x2

? ?1 ? ?2 ?

x1 x2 3( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 ? ? 3 ? x1 3 ? x2 3 ? 3( x1 ? x2 ) ? x1 x2

?

24k 2 ? 24k 2 ? 8 ? ?8 12k 2 ? 3 ? 24k 2 ? 12k 2 ? 4

22、解: (I)设 f ( x) ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) f (o) ? ?3,?c ? ?3

? f '( x) ? 2ax ? b ?在x ? 1 处有极值 ? f ' ( 1 ) 即 a 2 b ? ? 0, ?

0

∵在点 (0, ?3) 处的切线与直线 x ? 2 y ? 4 垂直,? f '(0) ? ?2,即b ? ?2 故 a ? 1 ? f ( x) ? x2 ? 2x ? 3, f (1) ? ?4 (II)? f ( x) ? x2 ? 2x ? 3 ? ( x ?1)2 ? 4 ? g ( x) ? ( x ln x ?1)2 ? 4 令 t ? x ln x,?当x ?[1, 2]时, t ' ? 1 ? ln x ? 1 ? 0

?t ? x ln x在x ?[1, 2] 上单调递增 ? 0 ?t ? 2 l n 2

?当t ? 1时 [ g ( x)]min ? ?4 当t ? 0时 [ g ( x)]max ? ?3
? g ( x) 的值域为 [?4, ?3]
(III) f (ln x) ? (ln x) ? 2ln x ? 3 令t ? ln x ? x ? (1, ??)
2

?t ? 0 ? f (t ) ? t 2 ? 2t ? 3 ? f '(t ) ? 2t ? 2
? t ? 0,? f '(t ) ? ?2
由题意得 a ? a ? 2 ? f '(t ) 恒成立
3

? a3 ? a ? 2 ? ?2 ? a(a ? 1)(a ? 1) ? 0

? a 的取值范围为 a ? ?1或0 ? a ? 1

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