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河北省正定中学2017届高三上学期第三次月考(期中)数学文试题(图片版)


高三质检三文科数学参考答案及评分标准
一、选择题 1 D 二、填空题 13.3 三、解答题 17.解: ?1? 设数列 ?bn ? 的公差为 d , 14. 2 A 3 B 4 C 5 A 6 D 7 B 8 C 9 A 10 C 11 A 12 C

1 3

15. ?

2 5

/>16. 1 ? 6

?a3 ? S3 ? 27 2 ? ? ?q ? 3d ? 18 ?q ? 3 ? ?? ? ? S2 ? 2 q ? 6 ? d ? q ? ?d ? 3. ? ? a2 ?
? an ? 3n?1 , bn ? 3n ,

?????? 3 分

?????? 5 分 ?????? 6 分 ?????? 8 分 ?????? 10 分
?
6 ) ,????2 分

? 2 ? 由题意得: Sn ?
cn ?

n ? 3 ? 3n ? , 2

? 9 9 2? 1 1 1 ? ? ? ? 3( ? ) ? ? 2Sn 2 3 ? n n ?1 ? n ? n ? 1? ?

1 1 1 1 1 3n Tn ? 3[(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? 2 2 3 n n ?1 n ?1

18.解: (1)由题意可得: f ( x) ? 3 sin(?x ? ? ) ? cos( ?x ? ? ) ? 2 sin(?x ? ? ? 因为相邻两对称轴间的距离为 所以 ? ? 分 要使 x ? [ ?

?
2

,所以 T ? ? , ? ? 2 ,因为函数为奇函数,

?
6

? k? , ? ? k? ?

?
6

, 因为 0 ? ? ? ? , 所以 ? ?

?
6

, 函数为 f ( x) ? 2 sin 2 x . ???4

? ?

? ?? ? ?x?? , , ] 时 f ( x) 单调递减,需满足 ? ? ? 2 x ? ? , 2 2 4 2 4
?
, ? ] .????6 分 2 4

所以函数的减区间为 x ? [ ?

?

(2)由题意可得: g ( x) ? 2 sin( 4 x ? ∵ x ? [?

?
3

) ,????8 分

2? ? ? , ] ,∴ ? ? 4x ? ? , 12 6 3 3 3

? ?

∴ ? 1 ? sin(4 x ?

?
3

)?

3 , g ( x) ? [?2, 3 ] , 2

即函数 g ( x) 的值域为 [?2, 3] . ?????? 12 分 19.解: (1)方法一:如图,取 BC 的中点 N ,连接 MN 、 EN .

在 ?ABC 中, M 为 AB 的中点, N 为 BC 的中点,∴ MN / / AC ,

1 BC ? CN ,∴四边形 CDEN 为平行四边形,???? 2 分 2 ∴ EN / / DC ,又∵ MN ? EN ? N , AC ? CD ? C . ∴平面 EMN / / 平面 ACDF ,????4 分 又∵ EM ? 面 EMN ,∴ EM / / 面 ACDF .????6 分 方法二:如图,取 AC 的中点 P ,连接 PM , PD .
又因为 DE / / BC ,且 DE ?

在 ?ABC 中, P 为 AC 的中点, M 为 AB 的中点,∴ PM / / BC ,且 PM ? 又∵ DE / / BC , DE ?

1 BC , 2

1 BC ,∴ PM / /DE , 2 故四边形 DEMP 为平行四边形,∴ ME / / DP ,????4 分 又∵ DP ? 平面 ACDF , EM ? 平面 ACDF ,∴ EM / / 面 ACDF .????6 分 (2)∵平面 ACDF ? 平面 BCDE ,平面 ACDF ? 平面 BCDE ? DC , 又 AC ? DC ,∴ AC ? 平面 BCDE ,????9 分 ∴ AC ? BD , ????10 分 BD ? AD 又 , BD ? AD ? A ,∴ BD ? 平面 ACDF .????12 分
20.解: (1)设数列 {an } 的公差为 d ,则 d ? 0 . ∵ S3 ? 9 ,∴ a1 ? a2 ? a3 ? 3a2 ? 9 ,即 a2 ? 3 ,??2 分

又 2a1 , a3 ? 1, a4 ? 1 成等比数列, ∴ (2 ? d )2 ? 2(3 ? d )(4 ? 2d ) ,解得 d ? 2 , a1 ? 1 , ∴ an ? 1 ? 2(n ?1) ? 2n ?1 . (2)由 ????5 分

2n ? 1 1 an ? 2n ?1 ,得 bn ? n ?1 ? (2n ? 1) ? ( ) n ?1 ,????6 分 2 2 bn

则 Tn ? 1 ? ( ) ? 3 ? ( ) ? ? ? (2n ? 1) ? ( )
0 1

1 2

1 2

1 2

n ?1

所以 Tn ? 1? ( ) ? 3 ? ( ) ? ? ? (2n ? 3) ? ( )
1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

n ?1

1 ? (2n ? 1) ? ( ) n 2

????8 分

两式相减得:

1 1 1 1 1 Tn ? 1 ? 2 ? ( )1 ? 2 ? ( ) 2 ? ? ? 2 ? ( ) n ?1 ? (2n ? 1) ? ( ) n 2 2 2 2 2 1 1 ? ( ) n ?1 2n ? 3 2n ? 1 1 2n ? 1 2 ? 1? ? n ? 3 ? n ?2 ? n ,故 Tn ? 6 ? n ?1 , 1 2 2 2 2 1? 2 2n ? 3 * 因为 n ? N ,所以 Tn ? 6 ? n ?1 ? 6 . ????12 分 2
21.解: (1)因为三棱柱 所以

ABC ? A1B1C1 是直三棱柱,

AE ? BB1 ,又 E 是正三角形 ABC 的边 BC 的中点,

B BCC1 ,??3 分 所以 AE ? BC ,因此 AE ? 平面 1
而 AE ? 平面 AEF ,

B BCC1 .????5 分 所以平面 AEF ? 平面 1
(2)设 AB 的中点为 D ,连接

A1D, CD ,

ABC ? A1B1C1 是直三棱柱, CD ? AA1 , 因为 ?ABC 是正三角形, 所以 CD ? AB , 又三棱柱 所以
因 此 CD ? 平 面

A1 AB1B , 于 是 ?CA1D 是 直 线 AC A ABB1 所 成 的 角 , 由 题 设 知 1 与平面 1

?CA1D ? 45? ,??7 分
所以

A1D ? CD ?

3 AB ? 2

3,

1 2 2 2 FC ? AA1 ? AA ? A D ? AD ? 3 ? 1 ? 2 Rt ? AA D 1 1 2 2 , 在 中, 1 ,所以 1 1 3 2 6 V ? S AEC ? FC ? ? ? ? 3 3 2 2 12 .????12 分 故三棱锥 F ? AEC 的体积
22.解: (1)因为 f ?( x) ? ? x ? 1? e x ?

a , x ? 0 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2 分 x

依题意得 f ?(1) ? 0 ,即 2e ? a ? 0 ,解得 a ? 2e . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3 分 所以 f ?( x) ? ? x ? 1? e x ?

2e ? ? ? 单调递增且 f ?(1) ? 0 , ,显然 f ?( x) 在 ? 0, x

故当 x ? ? 0,1? 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? ?1, ??? 时, f ? ? x ? ? 0 . 所以 f ? x ? 的递减区间为 ? 0,1? ,递增区间为 ?1, ?? ? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5 分 (2)①当 b≤0 时,由(1)知,当 x ? 1 时, f ? x ? 取得最小值 e . 又 b ? x2 ? 2x ? 2? 的最大值为 b ,故 f ? x ?≥b ? x2 ? 2x ? 2? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 ②当 0 ? b≤e 时,设 g ( x) ? xex ? 2eln x ? b ? x2 ? 2x ? 2? , 所以 g ?( x) ? ? x ? 1? e x ?

2e · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·7 分 ? 2b ? x ? 1? , · x

令 h( x) ? ? x ? 1? ex ? 当 x ? ? 0,1? 时,

2e 2e ? 2b ? x ? 1? , x ? 0 ,则 h?( x) ? ? x ? 2? ex ? 2 ? 2b , x x

2e ? 2b≥0 , ? x ? 2? ex ? 0 ,所以 h?( x) ? 0 , x2
2e ? 0 ,所以 h?( x) ? 0 , x2

当 x ? ?1, ??? 时, ? x ? 2? e x ? 2b ? 0 ,

所以当 x ? ? 0, ?? ? 时, h?( x) ? 0 ,故 h( x) 在 (0, ??) 上单调递增,……………….9 分 又 h ?1? ? 0 ,所以当 x ? ? 0,1? 时, g ? ? x ? ? 0 ; 当 x ? ?1, ??? 时, g ? ? x ? ? 0 . 所以 g ? x ? 在 (0,1) 上单调递减,在 (1, ??) 上单调递增, 所以当 x ? 1 时, g ? x ? 取得最小值 g (1) ? e ? b≥0 , 所以 g ? x ?≥0 ,即 f ? x ?≥b ? x2 ? 2x ? 2? . 综上 ,当 b≤e 时, f ? x ?≥b ? x2 ? 2x ? 2? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分

选择题解析: 1.D【解析】复数 z ?

1 ? 2i (1 ? 2i)(2 ? i) 5i ? ? ? i ,所以 z 的模为 1.故选 D. 2?i (2 ? i)(2 ? i) 5
,B ? {x |1 ? x ? 0} ? {x | x ? 1} ,

x |0 ? x ?2 } 2. A 【解析】 由 x( x ? 2) ? 0 , 得0 ? x ? 2, 即 A ?{

CR B ? {x | x ? 1} ,所以 A ? (CR B) ? {x |1 ? x ? 2} .故选 A.
3.B【解析】命题“ ?x ? 0 , x ? x ? 0 ”的否定是“ ?x ? 0, x2 ? x ? 0 ” ,故选 B.
2

| 1 , 1 - ?) |? 5 ,解得 ? =3 或-1,故选 C. ( 1, 1 - ?) 4. C【解析】 ?a ? b ? ,(
5. A【解析】由题意可知 A 中几何体具备题设要求:三视图分别为正方形,三角形,圆,故选 A. 6 . D 【 解 析 】 因 为

?

?

?? ? f ? x ? ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2sin ? 2 x ? ? 3? ?

,





y?
选 D.

?f ? ? x ??2

? ?? ? x ? 0 对称 , 函数为偶函数 ,? ? ? , 故 s? i ?n ? ? x2 ? 的图象关于直线 2 12 3? ?

a ? 1 ? 0, b ? a ? 0 , 7. B 【解析】 由题意得, 因为 loga b ? 1 , 则 b ? a ? 1 或 0 ? b ? a ? 1, 当 b ? a ? 1 时,

所以 (a ? 1)(b ? a) ? 0 ; 当 0 ? b ? a ? 1 时,a ? 1 ? 0, b ? a ? 0 , 所以 (a ? 1)(b ? a) ? 0 , 故选 B. 8.C【解析】由三视图可知该零件为半球挖去一个同底的圆锥,所以该零件的体积为

1 4 1 V = ? ? ? 23 - ? ? 22 ?1=4? .故选 C. 2 3 3
9 . A 【 解 析 】 因 为 当 x1 ? x2 时 ,

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0,? f ? x ? 是 R 上 的 单 调 减 函 数 , x1 ? x2

? ?0 ? 1 ? 2 a ? 1 ? 1 ? ?0 ? a ? 1 ,? 0 ? a ? ,故选 A. 3 ? 1 ?1 ? 2a ? 3 ?
10.C【解析】 a ? 2b ? 3c ? a ? c ? 2 ? b ? c ? ? 2 2(a ? c)(b ? c) ? 4 .故选 C.

n n 2 ? n ? 1? 2n ? 1 1 1 ? ? ? 11.A【解析】当 n ? 1 时, ? ,? a1 ? 2. 当 n ? 2 时,Tn ? Tn ?1 ? , an 2 2 2 a1 2
2

所以 an ?

2n 2n 1 ? 1? ? n ? 2 ? ,综上有 an ? ? n ? N ? ? ,所以 a1 ? a2 ? a3 ? ?,即数列 ?an ? 是 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1

单调递减的.(或用 an ?1 ? an ?

?2 ? 0 ).故选 A. ? 2n ? 1?? 2n ? 1?

12.C【解析】构造函数 h( x) ? xf ( x) ,∴ h?( x) ? f ( x) ? x ? f ?( x) , ∵ y ? f ( x) 是定义在实数集 R 上的奇函数,∴ h( x) 是定义在实数集 R 上的偶函数, 当 x>0 时, h?( x) ? f ( x) ? x ? f ?( x) ? 0 ,∴此时函数 h( x) 单调递增.∵ a ?

1 1 1 f ( ) ? h( ) , 2 2 2

1 1 1 b ? ?2 f (?2) ? 2 f (2) ? h(2) , c ? (ln ) f (ln ) ? h(ln ) ? h(? ln 2) ? h(ln 2) , 2 2 2 1 又 ? ln 2 ? 2 ,? a ? c ? b. 故选 C. 2

填空题解析: 13.3【解析】作出可行域,如图 ?ABC 内部(含边界) ,作出直线 l : 3x ? 4 y ? 0 ,平移直线 l ,当 它过点 C (1, 0) 时, z ? 3x ? 4 y 取得最大值 3.

1 2 【解析】由题意 4S2 ? S1 ? 3S3 ,即 4(a1 ? a1q) ? a1 ? 3(a1 ? a1q ? a1 q ) ,∵ a1 ? 0, q ? 0 , 3 1 ∴q ? . 3
14. 15. ?

2 【解析】因为 f ? x ? 2? ? f ? x ? ? T ? 2. 所以 5

1 1 ? 5? ?9? f ? ? ? ? f ? ? ? f (? ) ? f ( ) 2 2 ? 2? ?2?

3 2 f ? 5m ? ? f (?3) ? f (?1) ? ?1 ? ? ? . 1 2 1 3 5 5 ?| ? |? ? ? m ? m ? ? ,因此 2 5 2 5
16. 因为 2cos 2 1 ? 6【解析】 以A?

A 3 3 ? 3 所以 1 ? cos A ? 化简得 sin( A ? ) ? . 所 ? sin A , sin A , 2 3 3 3 2

2? . 又因为 sin( B ? C ) ? 4cos B sin C , 所以 sin B cos C ? cos B sin C ? 6 cos B sin C , 3
6 cB os C s, i n即 a ? 6c ?

A? 所以 sin

c 2 ? a 2? b2 2 2 2 , 整 理 得 2a ? 3c ? 3b ? 0 .又 2ca

1 2 2 2 a 2 ? b2 ? c2 ? 2 bc (? ? ) ? 2 b ?2 c ?, bc 所 以 b ? 2bc ? 5c ? 0 , 两 边 除 以 c 得 2 b 2b b ( )2 ? ? 5 ? 0 ,解得 ? 1 ? 6 . c c c


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