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浙江省湖州中学2015-2016学年高一下学期期中考试数学试题


浙江省湖州中学
2015 学年第二学期高一期中考试


考生须知:



1. 全卷分试卷和答卷.试卷 2 页,答卷 2 页.考试时间 120 分钟,满分 150 分. 2. 本卷的答案必须做在答卷的相应位置上,做在试卷上无效. 3. 请用钢笔或圆珠笔将班级、准考证号、姓名、座位号分别填写在答卷的

相应位置上.

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.在 ?ABC 中, a ? 3, b ? 5, sin A ? 1 ,则 sin B =

3

A. 1

5

B. 5

9

C.

5 3

D. 1

2. 若 a ? b ? 0 ,则下列不等式成立的是 A. ac ? bc B. b ? 1

a

C. a ? b

D. 1

?2? ? ?
a

? 1 2

b

3.在等比数列 {an } 中, a5 a14 ? 5 , 则 a8a9 a10a11 = A. 10 B. 25 C. 50 D. 75 y) 所在的区域为 4. 如图所示,表示满足不等式 ( x ? y)( x ? 2 y ? 2) ? 0 的点 ( x,

b c , 且 b2 ? c2 ? bc ? a2 ? 0 , 则 B,C 的 对 边 分 别 为 a,, 5 . 在 ?ABC 中 , 内 角 A,

a sin ? 30? ? C ? 的值为 b?c 3 A. 1 B. 2 2

C. ? 1

2

D. ?

3 2

6.若正数 x, y 满足 x ? 3 y ? 5xy, 则 3x ? 4 y 的最小值是 A. 24

5

B. 28

5

C. 5

D. 6

7. 已 知数列 {an } 是等差数列,若 a9 ? 3a11 ? 0 , a10 ? a11 ? 0 ,且数列 {an } 的前 n 项和 Sn 有 最大值,那么 Sn 取得最小正值时 n 等于 A. 20 B. 17 C. 19 D. 21

? x? y ?6 ? 0 ? 8. 设 x, y 满足不等式组 ? 2 x ? y ? 1 ? 0 ,若 z ? ax ? y 的最大值为 2a ? 4 ,最小值为 a ? 1 , ? ?3x ? y ? 2 ? 0

则实数 a 的取值范围为 A.

2? ? ?1,

B.

1? ??2,

C.

? 2? ??3,

D.

1? ??3,

二、填空题:本大题共 7 小题,其中 9-12 题每小题 6 分,13-15 题每小题 4 分,共 36 分. 9. 已知数列 ?a n ? 的前 n 项和 Sn ? n2 ? 3 ,则首项 a1 ? ___▲___,当 n ? 2 时,an ? ___▲____

? x ? 3 y ? 3 ? 0, ? y 满足 ? x ? y ? 1 ? 0,则点 P ? x, 10.已知实数 x , y ? 构成的区域的面积为 ▲ ? ? y ? ?1,
的最大值为 ▲ ▲

, 2x ? y

11. 设正实数 a, b 满足 a ? 2b ? 2 ,则 ab 的最大值为

, a ? b 的最小值为 ▲
2 2

? 12. 在 ?ABC 中,若 A ? 120 , AB ? 1, BC ? 13, BD ? 1 DC ,则 AC ?

??? ?

????

2





AD ?



[来源:学,科,网]

b c ,若 a ? 2 , 13.设 ?ABC 内角 A, B, C 的对边分别为 a,, b ? 2, sin B ? cos B ? 2 ,
则角 A 的大小为 ▲

14.已知数列 {an } 满足 a1 ? 1,

nan ? 2an?1 ? n, n ? N * ,则数列 {an } 的通项公式是 an ?1



b c d 为常数,若不等式 15 已知 a,,,


b ? x ? d ? 0 的解集为 ?1, ? 1 ? 1, 1 ,则不等 x?a x?c 3 2


?

? ? ?

bx ? dx ? 1 ? 0 的解集为 ax ? 1 cx ? 1

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

b c .已知 a sin B ? 3b cos A . B, C 的对边分别为 a,, 16. 在 ?ABC 中,角 A,
(1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 7 , b ? 2 ,求 ?ABC 的面积.

17.已知函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? 3 . (1) 当 x ? R 时, f ( x) ? a 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2) 当 x ?[?2, 2] 时, f ( x) ? a 恒成立,求实数 a 的取值范围.

b, c 分别为 ?ABC 三个内角 A, 18.已知 a, B, C 的对边, b cos A ? 3b sin A ? c ? a ? 0 .
(1)求角 B 的大小; (2)若 b ? 3 ,求 a ? c 的最大值.

19. 已知等比数列 {an } 的首项 a1 ? 1 , 公比 q 满足 q ? 0 且 q ? 1 , 又已知 a1 , 5a3 , 9a5 成等差

3

数列; (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)令 bn ? log3 1 ,记 Tn ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ?

an

b1b2

b2b3

b3b4

1 ,是否存在最大的整数 m ,使 bnbn?1

得对任意 n ? N ,均有 Tn ?

?

m 成立?若存在,求出 m ,若不存在,请说明理由. 16

[来源:学科网]

20.已知数列 {an } 满足: a1 ? 1 , a2 ? 3 , 2an ? an?1 ? an?1 (n ? 2, n ? N * ) ,数列 {bn } 满足:

4 4 b1 ? 0 , 3bn ? bn?1 ? n(n ? 2, n ? N * ) ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Sn .

(1)求证:数列 {bn ? a n }为等比数列; (2)求证:数列 {bn } 为递增数列; (3)若当且仅当 n ? 3 时, Sn 取得最小值,求 b1 的取值范围.

数学答案
一、选择题:本大题共有 8 小题,每小题 5 分,共 40 分 题号
源:学&科&网] [来

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

B

C

B

B

A

C

C

B

二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分 9.___ ?2 ______, _____ 2n ? 1 ___ __ 10. _____ 8 ______, ______ 11 _______

1 1. ____

1 _____, 2

_______

4 5

_____

12. ____ 3 _

____,

__

7 ____ ____ 3

13. __

? _____ 6

14. ____ an ?

2 __ 15. _____ ?2 ? x ? ?1或1 ? x ? 3 _____ n ? n ? 1?

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c .已知 a sin B ? 3b cos A . (1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 7, b ? 2 ,求 ?ABC 的面积. 16 解:(1)? a sin B ? 3b cos A ,由正弦 定理得 sin Asin B ? 3sin B cos A .……………3 分 又 sin B ? 0 ,从而 tan A ? 3 .………………5 分 由于 0 ? A ? π ,所以 A ?

?
3

. ………………7 分

(2) 解法一:由余弦定理 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ,而 a ? 得 7 ? 4 ? c 2 ? 2c =13,即 c ? 2c ? 3 ? 0 .
2

7, b ? 2, A ?

?
3

,……………9 分

因为 c ? 0 ,所以 c ? 3 .……………11 分 故 ?ABC 的面积为

1 3 3 .……………14 分 bc sin A ? 2 2
7 sin

解法二:由正弦定理,得

?
3

?

2 , sin ?

从而 sin B ?

21 ,……………9 分 7

又由 a ? b 知 A ? B ,所以 cos B ?

2 7 . 7

故 sin C ? sin ? A ? B ? ? sin ? B ?
科&网 Z&X&X&K]

? ?

??

? ? 3 21 .……………12 分 ? ? sin B cos ? cos B sin ? 3? 3 3 14

[来源:学&

所以 ??? C 的面积为

1 3 3 .……………14 分 bcsinA = 2 2

17.已知函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? 3 . (1) 当 x ? R 时, f ( x) ? a 恒 成立,求实数 a 的取值范围; (2) 当 x ? [?2, 2] 时, f ( x) ? a 恒成立,求实数 a 的取值范围. 17. 解:(1)? f ( x) ? a ,当 x ? R 时恒成立,

? x2 ? ax ? 3 ? a ? 0 当 x ? R 时恒成立,……………2 分
?? ? 0 即 a2 ? 4 ?3 ? a ? ? 0 化简得 a 2 ? 4a ? 12 ? 0 ,……………5 分
解得 ?6 ? a ? 2 .……………7 分 (2)? x ? ax ? 3 ? a ? 0 当 x ?? ?2, 2? 时恒成立
2

? a ?? ? ?2 (i) ? 2 无解.……………9 分 ? ? 4 ? 2a ? 3 ? a ? 0

a ? ? 2 ? ? ?2 ? 2 ? (ii) ? 解得 ?4 ? a ? 2 .……………11 分 2 4 3 ? a ? a ? ? ? ?0 ? ? 4
? a ?? ? 2 (iii) ? 2 解得 ?7 ? a ? ?4 ……………13 分 ? ? 4 ? 2a ? 3 ? a ? 0
所以 ?7 ? a ? 2 ……………15 分

18.已知 a, b, c 分别为 ?ABC 三个内角内角 A, B, C 的对边, b cos A ? 3b sin A ? c ? a ? 0 . (1)求角 B 的大小; (2)若 b ? 3 ,求 a ? c 的最大值.

18.解: (1)?b cos A ? 3b sin A ? c ? a ? 0

?sin B cos A ? 3 sin B sin A ? sin C ? sin A ? 0

?sin B cos A ? 3 sin B sin A ? sin ? A ? B ? ? sin A ? 0
?sin B cos A ? 3 sin B sin A ? sin A cos B ? cos Asin B ? sin A ? 0 ? 3 sin B sin A ? sin A cos B ? sin A ? 0
sin A ? 0 ? 3 sin B ? cos B ? 1 ……………4 分

?? 1 ? sin ? B ? ? ? ,由于 B ? ? 0, ? ? 6? 2 ?
?B ?

?
3

……………7 分
2 2 2

(2)? b ? a ? c ? 2ac cos B ……………9 分

? a 2 ? c 2 ? ac ? 3 ……………11 分

?? a ? c ?

2

? a?c? ? 3 ? 3ac ? 3 ? 3 ? ? 当且仅当 a ? c 取等号… …………14 分 ? 2 ?

2

所以当 a ? c ? 3 时, a ? c 的最大值为 2 3 .……………15 分

19.已知等比数列 {an } 的首项 a1 ? 数列; (2)求数列 {an } 的通项; (2)令 bn ? log3

1 ,公比 q 满足 q ? 0 且 q ? 1 ,又已知 a1 ,5a3 ,9a5 成等差 3

1 1 1 1 1 ? ? ??? ,记 Tn ? ,是否存在最大的整数 m ,使 an b1b2 b2b3 b3b4 bnbn?1
m 成立?若存在,求出 m ,若不存在,请说明理由. 16

? 得对任意 n ? N ,均有 Tn ?

19.解: (1)? a1 ,5a3 ,9a5 成等差数列,?10a3 ? a1 ? 9a5 ……………2 分

1 得 9q4 ?10q2 ? 1 ? 0 3 1 1 2 解得 q2 ? 1 或 q ? ,又由 q ? 0 且 q ? 1 得 q ? ……………5 分 9 3
所以 10a1q2 ? a1 ? 9a1q4 ,又由 a1 ?

?1? ? an ? ? ? ……………7 分 ? 3?
(2)? bn ? log 3

n

1 ? n ……………9 分 an

?Tn ?

1 1 1 1 ? ? ??? 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 n ? n ? 1?
[来源:Z&xx&k.Com]

1 1 1 1 1 1 1 ? 1? ? ? ? ? ?? ? ? 2 2 3 3 4 n n ?1 1 ? 1? ……………11 分 n ?1 1 m ? 由 Tn 为关于 n 的增函数,故 ?Tn ? min ? T1 ? ,于是欲使 Tn ? 对任意 n ? N 恒成立 2 16 m 1 ? 则 m ? 8 ∴存在最大的整数 m ? 7 满足题 意…………………………15 分 则 16 2

20 .已知数列 {an } 满足: a1 ?

1 3 , a2 ? , 2an ? an ?1 ? an ?1 (n ? 2, n ? N * ) ,数列 {bn } 满足: 4 4 * b1 ? 0 , 3bn ? bn?1 ? n(n ? 2, n ? N ) ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Sn .

(1)求证:数列 {bn ? a n }为等比数列; (2)求证:数列 {bn } 为递增数列; (3)若当且仅当 n ? 3 时, Sn 取得最小值,求 b1 的取值范围. 20.解: 解: (Ⅰ)? 2an ? an?1 ? an?1 (n ? 2, n ? N * ) .

?{an } 是等差数列.
? an ?

又? a1 ?

1 1 2n ? 1 ? (n ? 1) ? ? ………………3 分 4 2 4 1 n ? bn ? bn ?1 ? (n ? 2, n ? N * ) 3 3 1 n ? 1 2n ? 1 1 2n ? 1 1 2n ? 1 ? bn ?1 ? a n ?1 ? bn ? ? ? bn ? ? (bn ? ) 3 3 4 3 12 3 4 1 1 ? (bn ? a n ) . 又? b1 ? a1 ? b1 ? ? 0 3 4

1 3 , a2 ? 4 4

1 1 为首项,以 为公比的等比数列.………………6 分 3 4 1 1 n ?1 2n ? 1 (Ⅱ)? bn ? a n ? (b1 ? ) ? ( ) , a n ? . 4 3 4 1 1 2n ? 1 1 2 1 1 n?2 ? bn ? (b1 ? ) ? ( ) n ?1 ? . 当 n ? 2时, bn ? bn ?1 ? ? (b1 ? )( ) . 4 3 4 2 3 4 3 又 b1 ? 0 , ? bn ? bn?1 ? 0 . ?{bn } 是单调递增数列. ………………10

? {bn ? a n }是b1 ?

(Ⅲ )?当且仅当n ? 3 时, S n 取最小值.

?b3 ? 0 ?? ?b4 ? 0





1 1 ?5 ? (b1 ? )( ) 2 ? 0 ? ?4 4 3 ? ? 7 ? (b ? 1 )( 1 )3 ? 0 1 ? 4 3 ?4



? b1 ? (?47,?11) .………………15 分


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