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2015-2016学年四川绵阳南山中学高二(下)期中考试数学(文)试题(解析版)

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2015-2016 学年四川绵阳南山中学高二(下)期中考试 数学(文)试题
一、选择题 1.命题“若 p 则 q ”的逆命题是( A.若 q 则 p B.若 ?p 则 ?q

) C.若 ?q 则 ?p D.若 p 则 ?q

【答案】A 【解析】试题分析:逆命题,即将原命题的条件与结论分别作为结论与条件构成新的命 题,即为逆命题

,所以“若 p 则 q ”的逆命题是若 q 则 p ,即本题正确选项为 A. 【考点】原命题与逆命题. 2.设命题 P : ?n ? N , n2 ? 2n , 则?P为 ( A. ?n ? N , n2 ? 2n C. ?n ? N , n2 ? 2n
2


n

B. ?n ? N , n ? 2
2

D. ?n ? N , n ? 2

n

【答案】C 【解析】 试题分析: 根据否命题的定义, 即既否定原命题的条件, 又否定原命题的结论, 存在的否定为任意,所以命题 P 的否命题应该为 ?n ? N , n2 ? 2n ,即本题的正确选项 为 C. 【考点】原命题与否命题. 3. 已知点 M 的极坐标为 ? 5, ? , 下列所给出的四个坐标中能表示点 M 的坐标是 (

? ?? ? 3?



?? ? A. ? 5, ? ? ? 3?
【答案】D

4? ? ? B. ? 5, ? ? 3?

2? ? ? C. ? 5, ? ? ? 3?

D. ? 5, ?

? ?

5? ? ? 3 ?

【解析】试题分析:极坐标 (5,

?

(5, 2 k? ? 可为

?
3

5 5 5 5 ) 的直角坐标为 ( , 3) ( , 3) ,而 的极坐标又 3 2 2 2 2

) ,观察选项可知 D 正确,此时 k ? ?1 .所以本题正确选项为 D.

【考点】极坐标与直角坐标. 4.设 x ? R ,则“ x ? A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 【答案】A
2

1 2 ”是“ 2 x ? x ? 1 ? 0 ”的( 2



B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

【 解 析 】 试 题 分 析 : 2 x ? x ?1 ? (2 x ?1)(x ? 1) , 当 x ?

1 时 , 恒 有 2

1 2 是 2x ? x ? 1 ? 0 的 充 分 条 件 , 当 2 1 1 2x 2 ? x ?1 ? (2x ?1)(x ? 1) ? 0 时,有 x ? 或x ? ?1 , x ? 是 2 x 2 ? x ? 1 ? 0 的不 2 2

2x 2 ? x ?1 ? (2x ?1)(x ? 1) ? 0 , 即 x ?

必要条件,综上所述本题正确选项为 A. 第 1 页 共 9 页

【考点】充分条件与必要条件. 5.已知 a1 , a2 ? (0,1) 记 M ? a1 ? a2 , N ? a1 ? a2 ?1 则 M 与N 的大小关系是( )

A. M ? N B. M ? N C. M ? N D.不确定 【答案】C 【 解 析 】 试 题 分 析 : 利 用 求 差 法 可 比 较 代 数 式 的 大 小 ,

M ? N ? a1a2 ? a1 ? a2 ? 1 ? (a1 ?1)(a2 ?1) , 因 为 a1 , a2 ? (0,1) , 所 以 (a1 ? 1)(a2 ? 1) ? 0 ,也即 M ? N ,所以本题正确选项为 C.
【考点】代数式大小比较. 6.曲线 y ? x 3 ? 3x 2 ? 1在点 (1, ?1) 处的切线方程为( A. y ? 3x ? 4 【答案】B 【解析】 试题分析: 函数的导函数为 y? ? 3x ? 6 x , 由导数的性质可知曲线在点 (1, ?1)
2

) D. y ? 4 x ? 5

B. y ? ?3x ? 2

C. y ? ?4 x ? 3

处 切 线 的 斜 率 为 k ? ?3 , 再 由 点 斜 式 可 求 得 切 线 方 程 为

y ? 1 ? ?3( x ? 1) ? y ? ?3x ? 2 ,故本题的正确选项为 B.
【考点】导数的运用. 7.函数 f ?x ? ? ?x ? 3?e 的单调递增区间是(
x

) D. ?2,???

A. ?? ?,2? 【答案】D

B.(0,3)

C.(1,4)

【解析】 :试题分析:原函数的导函数为 f ?( x) ? ( x ? 3)e ? e ? ( x ? 2)e ,令导函数
x x x

为零,即 f ?( x) ? ( x ? 2)e ? 0 ? x ? 2 ,当 x ? 2时,f ?( x) ? ( x ? 2)e ? 0 ,此时函
x x

数为增函数,当 x ? 2时,f ?( x) ? ( x ? 2)e ? 0 ,此时函数为减函数,可知原函数的单
x

调区间为 ?2,??? ,故本题的正确选项为 D. 【考点】导数的运用. 8.函数 y ? A. e
2

ln x 的最大值为( x
B. e
?1

) D.

C. e

10 3

【答案】B

1 ? ln x 1 ? ln x ?0, ,令导函数为零 y ? ? 2 x x2 1 ? ln x ? 0 ,原函数为减函数,当 0 ? x ? e 时, 可求得极值点 x ? e ,当 x ? e 时, y? ? x2 1 ? ln x y? ? ? 0 ,原函数为增函数,所以 x ? e 为原函数的极大值点,同时也为最大值 x2
【解析】试题分析:原函数的导函数为 y ? ? 第 2 页 共 9 页

点,可求得最大值为 e ?1 ,故本题的正确选项为 B. 【考点】导函数的运用. 9.已知实数 x, y 满足 x 2 ? y 2 ? 1 ,则代数式 (1 ? xy )(1 ? xy) 有( A.最小值 C.最小值
1 和最大值 1 2 1 3 和最大值 2 4



B.最小值 1 D.最小值
3 和最大值 1 4

【答案】D 【 解 析 】 试 题 分 析 : 由 已 知 条 件 可 假 设 x ? c o ts ,y ?si n t , t ?[0,2? ) , 则

1 1 (1 ? xy)(1 ? xy) ? 1 ? ( xy)2 , 因 为 ( xy ) 2 ? (sin t cos t ) 2 ? ( sin 2t ) 2 ? sin 2 2t , 由 2 4 1 1 3 t ?[0,2? ) 可知 ( xy ) 2 ? sin 2 2t ? [0, ] ,所以有 (1 ? xy )(1 ? xy ) ? [0, ] .故本题的 4 4 4
正确选项为 D. 【考点】参数法的运用. 【思路点睛】 观察代数式 (1 ? xy)(1 ? xy) ? 1 ? ( xy) 2 ,只要求得 xy 的取值范围即可求得

(1 ? xy)(1 ? xy) 最值,因为 ( x, y ) 在圆上,所以可用参数法求得 xy 的取值范围,同样也
可令 xy ? k ? y ?

k k 2 2 即反比例函数 y ? 与圆 x ? y ? 1 有交点,并在存在交点时求 x x

得 k 的取值范围,便可求得 (1 ? xy )(1 ? xy) 的范围. 10.函数 f ( x ) 的定义域为开区间 ( a, b) ,导函数 f ?( x ) 在 ( a, b) 内的图象如图所示,则 函数 f ( x ) 在开区间 ( a, b) 内有极小值点( )

A. 1个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 【答案】A 【解析】试题分析:由导函数的性质可知,只有导函数的零点可能为函数的极值点,由 图可知函数有 4 个极值点,若极值点为极小值点,则导函数在该点附近左侧的函数值为 负,右侧的函数值为正,即导函数图象在极值点两的侧得图象,左侧附近在横轴下方, 右侧附近在横轴上方,由图可知仅有一个点符合条件,故本题的正确选项为 A. 【考点】函数的极值点.
3 2 11. 已知函数 f ( x) ? ? x ? ax ? bx ? c 的一个极值点是 x ? 1 , 则 9 a ? 3b 的最小值是 (



A.10 【答案】C

B. 2 3

C. 6 3

D. 4 6

第 3 页 共 9 页

【解析】试题分析:函数的导函数为 f ?( x) ? ?3x 2 ? 2ax ? b ,函数存在极值点 x ? 1 , 由 导 函 数 性 质 可 知 该 点 为 导 函 数 的 零 点 , 所 以 有 2a ? b ? 3 , 则

9a ? 3b ? 32a ? 3b ? 32a ? 33?2a ? 6 3 ,当且仅当 a ?

3 3 , b ? 时,不等式可取等号, 4 2

所以本题的正确选项为 C. 【考点】函数的极值点,重要不等式. 【思路点睛】根据导函数的性质,函数的极值点,为导函数的零点,所以可先求得导函 数 , 由 导 函 数 的 零 点 便 可 确 定 a , b 的 关 系 2a ? b ? 3 , 因 为

9a ? 3b ? 32a ? 3b ? 32a?b ? 27 ,所以考虑利用重要不等式来求得 9 a ? 3b 的最小值,再利
用重要不等式求最值时,一定要注意,不等式能否取到等号.
' 12 . 设 函 数 f ( x) 是 奇 函 数 f ( x)( x ? R) 的 导 函 数 , f (?1) ? 0, 当 x ? 0 时 ,

f ( x) ? 0 成立的 x 的取值范围是( x f' ( x )? f( x ? ) ,则使得 0
A. (?1, 0) ? (1, ??) C. (??, ?1) ? (?1, 0) 【答案】B 【解析】试题分析:根据已知条件可构造函数 g ( x ) ? B. (??, ?1) ? (0,1) D. (0,1) ? (1, ??)



f ( x) ,则 g ( x) 为偶函数,由 x xf ?( x ) ? f ( x) , 因为当 x ? 0 时, f (?1) ? 0, 可知 g (-1) ? g (1) ? 0 可求得导函数 g ?( x) ? x2

xf ' ( x) ? f ( x) ? 0 ,所以 g ?( x) ? 0 ,则当 x ? 0 时,g ?( x) ? 0 ,所以在区间 (?1,0) ? (0,1)

( 1, ? ?) 上 有 g ( x) ? 0 , 在 区 间 (??,-1) ? 上 有 g ( x) ? 0 , 又 f ( x) ? xg( x) , 可 知
f ( x ) ? 0的解集应该为 (??, ?1) ? (0,1) ,所以本题的正确选项为 B.
【考点】导函数的运用,函数的奇偶性. 【思路点睛】若直接解不等式 f ( x) ? 0 ,因不知道 f ( x) 的单调性,所以较难求解,根 据条件 xf ( x) ? f ( x) ? 0 可构造一个新函数 g ( x ) ?
'

f ( x) ,这样结合 f ( x) 为奇函数便 x

可得到 g ( x) 的单调区间及零点,从而得到 g ( x) 函数值分别为正数与负数的区间,进而 便可求得 f ( x) ? 0 的取值范围.

二、填空题

?x ? 1 ? 0 y ? 13.若 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,则 的最大值为 x ?x ? y ? 4 ? 0 ?
第 4 页 共 9 页



【答案】 3

?x ? 1 ? 0 ? 【解析】 试题分析: 不等式组 ? x ? y ? 0 所表示的可行域的顶点为 (1,1), (1,3), (2,2) , ?x ? y ? 4 ? 0 ?
因为目标函数 y ? kx 为过原点的直线,且目标函数总是在可行域的顶点处取得最值, 将可行域的三个顶点为分别代入目标函数可求得 k 的值为 1或3 ,所以最大值为 3 . 【考点】线性约束. 14.已知 f ? x ? ? 【答案】 ? 5 【 解 析 】 试 题 分 析 : 由 已 知 得 f ?( x) ? x 2 ? 3 f ?(2) , 令 x ? 2 ,

1 3 x ? 3xf ? ? 2 ? ,则 f ? ?1? ? 3



f ?(2) ? 4 ? 3 f ?(2) ? f ?(2) ? -2 ,所以有 f ?( x) ? x 2 ? 6 ,则 f ?(1) ? ?5 .
【考点】导函数的运用. 15.函数 f ? x ? ? ax ? 3x ? x ?1 在 R 上是减函数,则 a 的取值范围是
3 2



【答案】 a ? ?3 【解析】试题分析:函数的导函数为 f ?( x) ? 3ax2 ? 6 x ?1 ,原函数在实数范围内减函 数,则必有 f ?( x) ? 3ax2 ? 6 x ?1 ? 0 恒成立,显然 a ? 0 ,对于二次函数只有当 a ? 0 , 且 ? ? 36 ? 12 a ? 0 时不等式才有可能恒成立,可求得 a ? ?3 . 【考点】导函数的运用. 【方法点睛】本题主要考察导函数与函数的单调性,以及不等式恒成立证明。首先当导 函数在区间上恒为非负时函数为增函数,相反则为减函数,原函数恒为减函数,即导函 数恒为非负数,在解不等式恒成立问题时,要对不等式中的参数进行分情况讨论,然后 再结合不等式与方程解的关系求得参数的范围. 16.在下面等号右侧两个分数的分母处,各填上一个自然数,并且使这两个自然数的和 最小, 1 ?

1 [ ]

?

9 [ ]

则这两个自然数分别为





12 【答案】 4,
【解析】试题分析:令 1 ?

1 9 9x ? ?y? ,因为 x , y 都为自然数,所以可对 x 进行 x y x ?1

取 值 , 且 x ? 1 必 须 能 够 被 9 整 除 , 即 x 只 能 取 2,4,10 然 后 求 y :

x ? 2, y ? 18 ? x ? y ? 20;

x ? 4, y ? 12 ? x ? y ? 16;

x ? 10, y ? 90 ? x ? y ? 100; 显然两自然数最小为 16 ,此时两自然数分别为 4,12 .
【考点】函数的运用. 【思路点睛】本题解题关键在于所需填的两个数字都为自然数,所以可先根据关系式

第 5 页 共 9 页

1?

1 9 9x ,由 x , y 都为自然数,所以可对 x 进行取值, ? ,得到 y 关于 x 的函数 y ? x ?1 x y

其中要注意 x, x ? 1 互为质数,所以 9 必须要能够整除 x ? 1 ,即 x 的取值为 2,4,10 ,分 别求得 y ,再求得 x ? y 的最小值,便可确定这两个自然数. 三、解答题 17.已知函数 f ( x) ? x ? a . (1)若不等式 f ( x) ? 6 的解集为 x ? 4 ? x ? 8 ,求实数 a 的值; (2)在(1)的条件下,对任意实数 x 都有 f ( x) ? m ? f (? x) 恒成立,求实数 m 的取 值范围. 【答案】 (1)2; (2) ? ??, 4? . 【解析】试题分析: (1)先将函数转化为绝对值不等式 x ? a ? 6 ,再分情况取绝对值, 求出不等式的解,再结合已知不等式解集列等式求解即可; (2)可令

?

?

? ( x) ? f ? x ? ? f ? ?x ? ,分情况去绝对值求得 ? ( x) 的最小值,从而求得 m 的取值范围.
试题解析: (1)由 f ( x) ? 6 得, x ? a ? 6

??6 ? x ? a ? 6 ,即 a ? 6 ? x ? a ? 6 。
? a ? 6 ? ?4, 且a ? 6 ? 8? a ? 2
(2)由(1)知 f ? x ? ? x ? 2 ,令 ? ( x) ? f ? x ? ? f ? ? x ? , 则

??2 x, x ? ?1 ?? ? x ? 的最小值为 4, ? ? ? x ? ? x ? 2 ? x ? 2 ? ?4, ?1 ? x ? 1 ? 2 x, x ? 1 ?

故实数 m 的取值范围是 ? ??, 4? 【考点】解不等式,函数的最值.
2 2 18 . 设 p : 实 数 x 满 足 x ? 4ax ? 3a ? 0 , 其 中 a ? 0 , 命 题 q : 实 数 x
2 ? ?x ? x ? 6 ? 0 , ? 2 ? ? x ? 2 x ? 8? 0 .

满足

(1)若 a ? 1 且 p ? q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若 q 是 p 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. 【答案】 (1) 2 ? x ? 3 ; (2) 1 ? a ? 2 .
2 2 【 解 析 】 试 题 分 析 : p : 解 不 等 式 x ? 4ax ? 3a ? 0 便 可 求 得

x 的取值范围

第 6 页 共 9 页

A ? ?x a ? x ? 3a? , q : 解 不 等 式 组 ?

2 ? ? x ? x ? 6 ? 0, 可求得 x 的取值范围 2 x ? 2 x ? 8 ? 0. ? ?

(1) p ? q 为真,则直接求 A ? B 即可求得实数 x 的取值范围; (2) B ? ?x 2 ? x ? 3?,

q 是 p 的充分不必要条件,即 CR A 是 CR B 的真子集,根据集合的关系便可求得实数 a
的取值范围.
2 2 试题解析:由 x ? 4ax ? 3a ? 0 得 ( x ? 3a)( x ? a) ? 0 ,又 a ? 0 ,所以 a ? x ? 3a

由?

2 ? ?x ? x ? 6 ? 0 ,得 2 ? x ? 3 ,即 q 为真时实数 x 的取值范围是 2 ? x ? 3 2 x ? 2 x ? 8 ? 0 ? ?

(1)当 a ? 1 时,1< x ? 3 ,即 p 为真时实数 x 的取值范围是 1< x ? 3 .若 p ? q 为真, 则 p 真且 q 真,所以实数 x 的取值范围是 2 ? x ? 3 (2) q 是 p 的充分不必要条件,? q ? p ,且 p 设 A ? x 2 ? x ? 3 , B ? x a ? x ? 3a ,则 A

? ? q,
B,

?

?

?

?

则 0< a ? 2 ,且 3a ? 3 所以实数 a 的取值范围是 1 ? a ? 2 【考点】命题的关系,集合的关系. 19.已知曲线 C :

?x ? 2 ? t x2 y2 ? ? 1 ,直线 l : ? ( t 为参数) . 4 9 ? y ? 2 ? 2t
o

(I)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (II)过曲线 C 上任一点 P 作与 l 夹角为 30 的直线,交 l 于点 A ,求 | PA | 的最大值与 最小值. 【答案】 (I) 2 x ? y ? 6 ? 0 ; (II)

22 5 2 5 , . 5 5

2 2 【解析】试题分析: ( I )利用 co s ? ? sin ? ? 1 ,所以可以得到曲线的参数方程

? x ? 2 cos? , ? ? (0,2? ] ,将直线的参数方程中的 t 消掉便可得到直线的普通方程; ? ? y ? 3 sin?
(II) 因为 PA 与直线 l 夹角为 30 , 可先求得点 P 到直线的距离, 再由三角函数求得 PA 的长度,从而确定最小值与最大值. 试题解析: (I)曲线 C 的参数方程为: ? 直线 l 的普通方程为: 2 x ? y ? 6 ? 0 (II)在曲线 C 上任意取一点 P (2cos ? ,3sin ? )到 l 的距离为
o

? x ? 2cos ? ? y ? 3sin ?

( ? 为参数) ,

第 7 页 共 9 页

d?

d 2 5 5 ? 5sin ?? ? ? ? ? 6 , 4cos ? ? 3sin ? ? 6 ,则 | PA |? 0 sin 30 5 5
4 .当 sin ?? ? ? ? ? ?1 时, | PA | 取得最大值, 3

其中 ? 为锐角.且 tan ? ?

最大值为

22 5 ;当 sin ?? ? ? ? ? 1 时, | PA | 取得最小值, 5 2 5 5

最小值为

【考点】参数方程与普通方程的转化,点到直线的距离,三角函数的运用. 【方法点睛】由普通方程转化为参数方程,要根据方程的情形适当选择合适的参数及其 关系式,对于圆锥曲线经常选择三角函数来作为参数,所以利用 cos2 ? ? sin 2 ? ? 1得 到椭圆的参数方程 ?

? x ? a cos? ,而对于参数方程转化为普通方程,关键在于通过适当 ? y ? b sin ?
o

的运算将其中的参数消掉.对于求 | PA | 得最值,因为 PA 与直线 l 夹角为 30 ,所以可 先利用三角函数由点到直线的距离求得 | PA | 关于 ? 的函数,从而确定其最值. 20.已知函数 f ( x) ? ax4 ln x ? bx4 ? c ( x ? 0 )在 x ? 1 处取得极值 ?3 ? c ,其中 a ,

b , c 为常数.
(I)试确定 a , b 的值; (II)讨论函数 f ? x ? 的单调区间; (III)若对任意 x ? 0 ,不等式 f ? x ? ? ?2c 恒成立,求 c 的取值范围.
2

1) ,单调递增区间为 【答案】 (I) a ? 12 , b ? ?3 ; (II) f ( x) 的单调递减区间为 (0,

?3 ? (III) (??, (1,∞ ? ); ? 1] ? ? , ? ??. ?2 ?
3 4 【解析】 试题分析: 函数的导函数为 f ?( x) ? 4ax ln x ? ax ?

1 ? 4bx 3 , (I) 函数在 x ? 1 x

处的极值 ? 3 ? c ,即 f ?(1) ? 0, f (1) ? ?3 ? c ,解方程组即可求得 a , b ; (II)将 a , b 代 入 f ?( x ) 中,并令 f ?( x) ? 0, f ?( x) ? 0 ,便可求得单调区间; (III)由前面所求的函数 的 单 调 区 间 , 从 而 求 得 函 数 的 最 小 值 f min ( x) 这 样 便 能 将 不 等 式 恒 成 立 转 化 为

f min ( x) ? ?2c 2 ,解不等式即可求得 c 的取值范围.
试题解析: (I)由题意知 f (1) ? ?3 ? c ,因此 b ? c ? ?3 ? c ,从而 b ? ?3 .

第 8 页 共 9 页

3 4 又对 f ( x) 求导得 f ?( x) ? 4ax ln x ? ax ?

1 ? 4bx 3 ? x3 (4a ln x ? a ? 4b) . x

由题意 f ?(1) ? 0 ,因此 a ? 4b ? 0 ,解得 a ? 12 . (II)由(I)知 f ?( x) ? 48x3 ln x ( x ? 0 ) ,令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 1 . 当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 为减函数; 当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 为增函数. 因此 f ( x) 的单调递减区间为 (0, 1) ,单调递增区间为 (1,∞ ? ). (III)由(II)知, f ( x) 在 x ? 1 处取得极小值 f (1) ? ?3 ? c ,此极小值也 是最小值,要使 f ( x) ≥ ?2c ( x ? 0 )恒成立,只需 ?3 ? c ≥ ?2c .
2
2
2 即 2c ? c ? 3 ≥ 0 ,从而 (2c ? 3)(c ? 1) ≥ 0 ,解得 c ≥

3 或 c ≤ ?1 . 2

所以 c 的取值范围为 (??, ? 1] ? ? , ? ??. 【考点】导函数的运用与函数的最值. 【方法点睛】函数的极值点满足条件:导函数在极值点处的函数值必须为零,因此可先 令导函数为零,求得可能极值点,再由导函数的函数值的正负确定函数的单调区间,从 而确定极值点;而对于不等式的恒成立问题,可将其转化为函数的最值问题,即首先将 不等式转化为函数, 再由函数的单调性求得最值, 有最值的取值范围确定不等式恒成立.

?3 ?2

? ?

第 9 页 共 9 页


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