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江苏省数学竞赛提优教案:第69讲


第 69 讲 无限递降与逐次调整 无限递降法是一种常用的证明方法, 首先由费马(Fermat)使用, 数学竞赛也有较广泛的 应用.与之相似的逐次调整法也是证明很多问题的重要方法. 无限递降法的理论根据是最小数原理: 命题一 有限个实数中,必有一个最小数(也必有一个最大数). 根据这一原理,又可得出: 命题二 任意有限个两两不同的实数可以从小到大排列顺序.(排序原理) 对于自然数集

,有 最小数原理 若 M 是正整数数集 N*的任一非空子集(有限或无限均可),则 M 中必有最小 的数. 最小数原理常用于论证存在性命题. 在解题时, 也常用由最小数原理演化出的最优化原 则(极端原理). A 类例题 例 1 求方程 x +2y +4z =6xyz 的所有整数解(莫斯科中学生竞赛). 分析 要求此方程的所有整数解,但这个方程的解的情况我们并不清楚,但其解的情况 不外以下几种: 1? 方程没有整数解:对这种情况,我们必须证明一切整数都不是这个方程的解; 2? 方程只有有限组解:对这种情况,我们必须把所有的解都求出来,并证明方程没有 别的解; 3? 方程有无数组解:对这种情况,我们应给出如何找到这无数组解中的任一组解的方 法,并证明没有其他类型的解了. 情形 1?是很容易否定的,因为我们可以发现 x=y=z=0 就是方程的一组解.那么方程 还有没有其他的解呢?一时找不到其他的解, 那么, 是否只有这一组解呢?不妨设方程还有 一组解,试着推出这组解的特点.从而确定方程的所有的解. 解 显然 x=y=z=0 是方程的一组解. 如果方程有一组解(x,y,z),则必有一组解(-x,-y,-z),故只要考虑方程的正整 数解即可. 设(x0,y0,z0)是方程的一组解,其中 x0>0.则 3 3 3 x =6x0y0z0-2y -4z , 3 0 3 0 3 0 ⑴ 由于 x0,y0,z0 为整数,故 x0 为偶数,设 x0=2x1,其中 x1 为正整数,又得 3 +4z =12x1y0z0, 0 从而得 3 3 8x +2y 1 0 y =6x1y0z0-2z -4x , 故 y0 也为偶数,设 y0=2y1,其中 y1 为整数.于是又有 3 3 3 2z =12x1y1z0-4x -8y , 0 1 1 故又有 z0 为偶数,设 z0=2z1,其中 z1 为整数,代入即得 3 0 3 0 3 1 ⑵ x +y +z =6x1y1z1. 3 3 1 1 3 1 ⑶ 从而(x1,y1,z1)也满足此方程,由于 x1,y1,z1 均是整数,且 x1>0,故(x1,y1,z1)也 1 1 1 1 是方程的一组满足 x1>0 的解.即( x0, y0, z0)也是方程的满足 x0>0 的整数解.依此类 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 推,可知( x1, y1, z1)仍是方程的满足 x0>0 的整数解,由此( nx0, ny0, nz0)(n∈N*) 4 4 4 4 2 2 2 1 都是方程的满足 nx0>0 的整数解. 2 1 但对于任何确定的正整数 x0, nx0 不可能永远是正整数,从而方程没有使 x0>0 的整数 2 解,即原方程只有惟一组解(0,0,0). 说明 本例所用的方法就是无限递降法,又称无限下推法. 例 2 在 m?n(m,n∈N*)的方格表的每个格子中都填入一个数.以后可以每次改变表中 某一行或某一列的所有数的符号.证明:只要经过有限次的改变符号,就可以使每一行、每 一列的各数之和都非负. 分析 这是一类操

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