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2013高中数学空间向量试题


高二数学单元试题
(考试时间:120 分钟 满分:150 分)

一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.已知向量 a=(1,1,0) ,b=(-1,0,2) ,且 k a+b 与 2 a-b 互相垂直,则 k 的值是( 1 3 7 A. 1 B. C. D. 5 5 5
2.已知 a ? 3i ? 2 j ?

k , b ? i ? j ? 2k , 则5a与3b 的数量积等于 ( A.-15 B.-5 C.-3 D.-1 )



3. 已知 A、 C 三点不共线, B、 对平面 ABC 外的任一点 O, 下列条件中能确定点 M 与点 A、 C 一定共面 B、 ( A. OM ? OA ? OB ? OC C. OM ? OA ? B. OM ? 2OA ? OB ? OC



1 1 1 1 1 D. OM ? OA ? OB ? OC OB ? OC 2 3 3 3 3 4.已知向量 a=(0,2,1) b=(-1,1,-2) , ,则 a 与 b 的夹角为 (



A. 0° B. 45° C. 90° D.180° 5 . 已知△ ABC 的 三个顶 点为 A (3 ,3 , 2) (4 ,- 3, 7 ) ( 0, 5 ,1 ) 则 BC 边 上的 中线长为 ,B ,C , ( A.2 B.3 ) C.4 D.5

6.在下列命题中:①若 a、b 共线,则 a、b 所在的直线平行;②若 a、b 所在的直线是异面直线,则 a、b 一定不 共面;③若 a、b、c 三向量两两共面,则 a、b、c 三向量一定也共面;④已知三向量 a、b、c,则空间任意一个向 量 p 总可以唯一表示为 p=xa+yb+zc.其中正确命题的个数为( ) A. 0 B.1 C. 2 D.3
? ?? ? ? 1 ??? ??? 7. 已知空间四边形 ABCD, G 分别是 BC、 的中点, M、 CD 连结 AM、 AG、 MG, AB + ( BD ? BC ) 等于 则 ( 2
? ?? ? ?? ? ??



A. AG

C. BC D. 2 BC ???? ? ???? ??? ? ??? ? 8.直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,若 CA ? a , CB ? b , CC1 ? c , 则 A1 B ? ( C. ?a ? b ? c ???? ? ???? ? 9.在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,向量 D1 A 、 D1C 、 A1 C 1 A.有相同起点的向量 C.共面向量 B.等长向量 D.不共面向量 A. a ? b ? c B. a ? b ? c D. ?a ? b ? c 是 ( )

B. CG

1

? ??



???? ??? ? 10. 已知点 A (4, 3) B 1, ,(2, -5, , 为线段 AB 上一点, 3 | AC |?| AB | ,则点的坐标是 1) C 且

(

)

7 1 5 A. ( , ? , ) 2 2 2

B.

3 ( ,? 3 , 2 ) 8

10 7 C. ( , ?1, ) 3 3

5 7 3 D. ( , ? , ) 2 2 2

11.设 A、B、C、D 是空间不共面的四点,且满足 AB ? AC ? 0, AB ? AD ? 0, AC ? AD ? 0 ,则△BCD 是 ( A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不确定



12. (文科)在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M 和 N 分别为 A1B1 和 BB1 的中点,那么直线 AM 与 CN

高二数学

第 1 页

所成角的余弦值是( A. ?

) B.

2 5

2 5

C.

3 5

D.

10 10

(理科)已知正方形 ABCD 的边长为 4,E、F 分别是 AB、AD 的中点,GC⊥平面 ABCD,且 GC=2,则点 B 到平 面 EFG 的距离为( )

A.

10 10

B.

2 11 11

C.

3 5

D. 1

二.填空题(本大题 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)
13.已知向量 a=( ? +1,0,2 ? ),b=(6,2 ? -1,2),若 a∥b,则 ? 与 ? 的值分别是 14.已知 a,b,c 是空间两两垂直且长度相等的基底,m=a+b,n=b-c,则 m,n 的夹角为 15.已知向量 a 和 c 不共线,向量 b≠0,且 (a ? b) ? c ? (b ? c) ? a ,d=a+c,则 ?d , b? = 16. (如图)一个结晶体的形状为平行六面体,其中,以顶点 A 为端点的三条棱长都 等于 1,且它们彼此的夹角都是 60 ,那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长 为 。
?

. . .

三.解答题(本大题 6 小题,共 74 分)
17. (本小题满分 12 分) 如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, E 是 DC 的中点,取如图所示的空间直角坐标系. (1)写出 A、B1、E、D1 的坐标; (2)求 AB1 与 D1E 所成的角的余弦值.

z D1
18. (本小题满分 12 分) 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,如图E、F分别是 BB1 ,CD的中点, (1)求证: D1 F ? 平面 ADE; (2)cos EF ,CB1 .

C1 B1 E

A1

D F x A B

C

y

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第 2 页

19. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD ? 底面 ABCD, PD ? DC ,E 是 PC 的中点,作 EF ? PB 交 PB 于点 F. (1)证明 PA ∥平面 EDB ; (2)证明 PB ? 平面 EFD.

20. (本小题满分 12 分) 如图,四边形 ABCD 是直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°, SA⊥平面 ABCD, SA=AB=BC=1,AD= (1)求 SC 与平面 ASD 所成的角余弦; (2)求平面 SAB 和平面 SCD 所成角的余弦.

z S y

1 . 2

B

C

A

D

x

高二数学

第 3 页

21. (本小题满分 12 分) 如图,在底面是菱形的四棱锥 P—ABCD中,∠ABC=600,PA=AC=a,PB=PD= 2 a ,点 E 在 PD 上,且 PE:ED=2:1. (1)证明 PA⊥平面 ABCD; (2)求以 AC 为棱,EAC 与 DAC 为面的二面角 ? 的大小 P

E A B C

D

22. (本小题满分 14 分) P 是平面 ABCD 外的点,四边形 ABCD 是平行四边形, AB ? ? 2, ?1, ?4 ? , AD ? ? 4, 2, 0 ? ,

??? ?

????

??? ? AP ? ? ?1, 2, ?1? .
(1)求证:PA ? 平面 ABCD. (2)对于向量 a ? ( x1 , y1 , z1 ), b ? ( x2 , y2 , z2 ) ,定义一种运算:

?

?

? ? ? (a ? b) ? c ? x1 y2 z3 ? x2 y3 z1 ? x3 y1 z2 ? x1 y3 z2 ? x2 y1z3 ? x3 y2 z1 ,
试计算 ( AB ? AD) ? AP 的绝对值;说明其与几何体 P-ABCD 的体积关系,并由此猜想向量这种运算 ( AB ? AD) ? AP 的绝对值的几何意义(几何体 P-ABCD 叫四棱锥,锥体体积公式:V= ? 底面积 ? 高 ).

??? ???? ??? ? ?

??? ???? ??? ? ?

1 3

高二数学

第 4 页

空间向量答案 一.选择题

题号 答案

1 D

2 A

3 D

4 C

5 B

6 A

7 A

8 D

9 C

10 C

11 C

12 B

二.填空题 1 1 13. 、 . 14.60° 15. 90° 5 2 三.解答题(本大题 6 小题,共 74 分)

16.

6

17. (本小题满分 12 分) 如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是 DC 的中点,取如图所示的空间直角坐标系. (1)写出 A、B1、E、D1 的坐标; (2)求 AB1 与 D1E 所成的角的余弦值.
解:(1) A(2, 2, 0),B1(2, 0, 2),E(0, 1, 0),D1(0, 2, 2) → → → → → → (2)∵ AB1 =(0, -2, 2), 1 =(0, 1, 2) ∴ |AB1 |=2 2 ,|ED1 |= 5 , 1 · 1 ED AB ED =0-2+4=2, → → → → AB1 ·ED1 2 10 ∴ cos ?AB1 , 1 ? = ED = = .∴ AB1 与 ED1 所成的角的 10 → → 2 2× 5 |AB1 |·|ED1 | 余弦值为 10 . 10

18. (本小题满分 12 分) 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,如图E、F分别是 BB1 ,CD的中点, (1)求证: D1 F ? 平面 ADE; (2)cos EF ,CB1 .
解:建立如图所示的直角坐标系, (1)不妨设正方体的棱长为 1, 则 D(0,0,0) ,A(1,0,0) D1 (0,0,1) , ,

z D1 B1 E D F x A B C y C1

A1

1 1 E(1,1, ) ,F(0, ,0) , 2 2 1 则 D1 F =(0, ,-1) D A =(1,0,0) , , 2 1 AE =(0,1, ) 则 D1 F ? DA =0, , 2 D1 F ? AE =0, ? D1 F ? DA , D1 F ? AE . ? D1 F ? 平面 ADE.
(2) B1 (1,1,1) ,C(0,1,0) ,故 CB1 =(1,0,1) EF =(-1,- ,

1 1 ,- ) , 2 2

? EF ? CB1 =-1+0-
EF ? CB1 EF ? CB1

1 3 =- , 2 2
? ? 3 2 ??

EF ? 1 ?

1 1 ? ? 4 4

3, 2

CB1 ? 2 ,

则 cos EF , CB ? 1

3 ? 2 2

3. 2

EF , CB1 ? 150 ?

19. (本小题满分 12 分)
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如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD ? 底面 ABCD, PD ? DC ,E 是 PC 的中点,作 EF ? PB 交 PB 于点 F. (1)证明 PA ∥平面 EDB ; (2)证明 PB ? 平面 EFD. 解:
解:如图所示建立空间直角坐标系,D 为坐标原点.设 DC (1)证明:连结 AC,AC 交 BD 于 G.连结 EG. 依题意得

? a.

a a A(a, 0, 0), P(0, 0, a), E (0, , ) 2 2 ?底面 ABCD 是正方形, ?G 是此正方形的中心, a a ??? ? ??? ? 故点 G 的坐标为 ( , , 0) 且 PA ? (a, 0, ?a), EG ? ( a , 0, ? a ). 2 2 ??? ? ??? ? 2 2 ? PA ? 2EG . 这表明 PA∥EG . 而 EG ? 平面 EDB 且 PA ? 平面 EDB,? PA 平面 EDB。 ∥ ??? ? ???? a a a2 a2 (2)证明:依题意得 B(a, a, 0), PB ? (a, a, ?a) 。又 DE ? (0, , ), 故 PB ? DE ? 0 ? ? ?0 2 2 2 2

? PB ? DE ,

由已知 EF

? PB ,且 EF ? DE ? E, 所以 PB ? 平面 EFD.

20. (本小题满分 12 分) 如图,四边形 ABCD 是直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,
S

z

1 SA⊥平面 ABCD, SA=AB=BC=1,AD= . 2
(1)求 SC 与平面 ASD 所成的角余弦; (2)求平面 SAB 和平面 SCD 所成角的余弦. 解:
(1)
B

y

C

6 3

(2)

6 3

A

D

x

21. (本小题满分 12 分) 如图,在底面是菱形的四棱锥 P—ABCD中,∠ABC=600,PA=AC=a,PB=PD= 2 a ,点 E 在 PD 上,且 PE:ED=2:1. (1)证明 PA⊥平面 ABCD; P (2)求以 AC 为棱,EAC 与 DAC 为面的二面角 ? 的大小

(1)证明 因为底面 ABCD 是菱形,∠ABC=60°, 所以 AB=AD=AC=a, 在△PAB 中, 由 PA2+AB2=2a2=PB2 知 PA⊥AB. 同理,PA⊥AD,所以 PA⊥平面 ABCD. (2)解 作 EG//PA 交 AD 于 G, 由 PA⊥平面 ABCD. 知 EG⊥平面 ABCD.作 GH⊥AC 于 H,连结 EH, 则 EH⊥AC,∠EHG 即为二面角 ? 的平面角. 又 PE : ED=2 : 1,所以 EG ?

E A B C

D

1 2 3 a, AG ? a, GH ? AG sin 60? ? a. 3 3 3

从而

tan ? ?

EG 3 ? , GH 3

? ? 30?.

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22. (本小题满分 14 分) P 是平面 ABCD 外的点,四边形 ABCD 是平行四边形, AB ? ? 2, ?1, ?4 ? , AD ? ? 4, 2, 0 ? ,

??? ?

????

??? ? AP ? ? ?1, 2, ?1? .
(1)求证:PA ? 平面 ABCD. (2)对于向量 a ? ( x1 , y1 , z1 ), b ? ( x2 , y2 , z2 ) ,定义一种运算:

?

?

? ? ? (a ? b) ? c ? x1 y2 z3 ? x2 y3 z1 ? x3 y1 z2 ? x1 y3 z2 ? x2 y1z3 ? x3 y2 z1 ,
试计算 ( AB ? AD) ? AP 的绝对值;说明其与几何体 P-ABCD 的体积关系,并由此猜想向量这种运算 ( AB ? AD) ? AP 的绝对值的几何意义(几何体 P-ABCD 叫四棱锥,锥体体积公式:V= ? 底面积 ? 高 ).

??? ???? ??? ? ?

??? ???? ??? ? ?

1 3

解: (1) AP ? AB ? (2, ?1, ?4) ? (?1, 2, ?1) ? ?2 ? (?2) ? 4 ? 0

??? ??? ? ?

??? ??? ? ? ? AP ? AB即AP ? AB
??? ???? ? AP ? AD ? (?1, 2, ?1) ? (4, 2, 0) ? ?4 ? 4 ? 0 ? 0

??? ???? ? ? AP ? AD即PA ? AD ? AD ? 面ABCD
(2) AB ? AD ? AP ? 48, 又cos AB ? AD ?

?

??? ???? ??? ? ?

?

??? ???? ?

3 105

? ??? ???? ??? ? ? 1 ??? ???? AB ? AD ? sin AB ? AD ? AP ? 16 3 ??? ???? ??? ? ? 猜测: AB ? AD ? AP 在几何上可表示以 AB,AD,AP 为棱的平等六面体的体积(或以 AB,AD,AP 为棱的四棱柱的
V=

?

?

体积)

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