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高一数学立体几何期末练习题


高一数学立体几何期末复习练习题
班级: 学号 姓名

一、填空题; (每题 7 分,共 70 分)
1. 已知八个命题: (1)因为直线向两方无限延伸,所以直线不可能在平面内; (2)如果线段的中点在平面内,那么线段在平面内; (3)如果线段上有一个点不在平面内,那么线段就不在平面内; (4)当平面经过直线时,直线上可以有不在平面内的点;

(5)一条直线在平面内的射影是一条直线; (6)在平面内射影是直线的图形一定是直线; (7)在同一平面内的射影长相等,则斜线长相等; (8)两斜线与平面所成的角相等,则这两斜线互相平行。则上述八个命题中正确的有 2. 球的面积膨胀为原来的 3 倍,膨胀后的球的体积为原来的 倍。 3. 已知空间两个动点 A ( m ,1 ? m , 2 ? m ) , B (1 ? m , 3 ? 2 m , 3 m ) ,则 | A B | 的最小值是 。 4. 光线从点 A ( ? 1,1) 射出经 x 轴反射到圆 C: ( x ? 5) ? ( y ? 7 ) ? 4 的最短路程 是 。 5. 长方体一个顶点上三条棱的长分别是 3、4、5,且它的八个顶点都在同一个球 面上,这个球的表面积是 。 6. 如下图,已知底面半径为 r 的圆柱被一个平面所截,剩下部分母线长的最大值 为 a ,最小值为 b ,那么圆柱被截后剩下部分的体积是 。 y 0 7. 以 (3, 4 ) 为 圆 心 , 且 与 直 线 4 x ? 3 ? 7 ?4 相 切 的 圆 的 方 程 是 。
2 2



b 2r

a

8. 若 a ? b ? c , 则 直 线 a x ? b y ? c ? 0 被 圆 x ? y ? 2 所 截 得 的 弦 长 为 。
2 2 2

2

2

9. 已 知 集 合 P= { ( x , y ) | y ? 9 ? x } , Q= { ( x , y ) | y ? x ? b } , 且 P ? Q ? ? , 则 b 的 取 值 范 围 是 。 10. 若 p,q 满足条件 p ? 2 q ? 1 ,则直线 p x ? 3 y ? q ? 0 必经过定点 。
2

二、解答题: (每题 15 分,共 30 分)
11. 已知直线 l1 : ( a ? 1) x ? y ?
a ?1 a ?1
2

? 0 , l2 : x ? y ?

a ?3
2

a ?1
2

? 0。

(1)当 a 为何值时 l1 ? l 2 ? l1 ? l 2 ?(2)若 l1 与 l 2 的交点在第一象限,求 a 的取值范围。

12. 设圆上的点 A ( 2 , 3) 关于直线 x ? 2 y ? 0 的对称点仍在圆上,且圆与直线 x ? y ? 1 ? 0 相交的弦长为
2 2 ,求圆的方程。

13.如图以正方体的三条棱所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系 O—xyz,点 Q 在正方体的对角线 AB 上,点 Q 在正方体的棱 CD 上。 (1)当点 P 为对角线 AB 的中点,点 Q 在棱 CD 上运动时,探究|PQ|的最小值; (2)当点 Q 为棱 CD 的中点,点 P 在对角线 AB 上运动时,探究|PQ|的最小值; (3)当点 P 在对角线 AB 上运动,点 Q 在棱 CD 上运动时,探究|PQ|的最小值;
z

B D

Q P O

C

y

A x

参考解答
一、填空题; (每题 7 分,共 70 分)
1. 5. 8. (3)
5 0?

; ; ; 6.

2.

3 3
2

; ; ;

3.

3 17 17


2

4.

8 ;

? r (a ? b)
2

7. ( x ? 3) ? ( y ? 4 ) ? 1 0 0 ;
2

2

9.

[ ? 3, 3 2 ]

10.

(

1 2

,?

1 6

)

二、解答题: (每题 15 分,共 30 分)
) ( ? ) ? 11.解: 当 ( a ?1 ? 1 1? 0 (1)

且?

a ?3
2

a ?1
2

?

a ?1 a ?1
2

? 0 时, 1 // l 2 ; l 上式无解, 即不存在 a ? R , l1 // l 2 ; 使

当 ( a ? 1) ? 1 ? 1 ? 0 即 a ? 0 时 l1 ? l 2 .
? a ?1 ? 0 ? a2 ?1 a ?1 ?a ? a ? 2 ? , ) ,则 ? (2)由两直线方程联立求得交点坐标为 ( 2 ,解得 1 ? a ? 2 . 2 2 a ?1 a ?1 ? ?a ? a ? 2 ? 0 2 ? a ?1 ?
2

? ? ( 2 ? a ) 2 ? (3 ? b ) 2 ? r 2 ? ? 2 2 2 12.解:设圆的方程为 ( x ? a ) ? ( y ? b ) ? r ,由题意,得: ? a ? 2 b ? 0 ? |a ? b ?1| 2 2 2 ?r ? ( ) ? ( 2) ? 2 ?

解得 a ? 6, b ? ? 3, r ? 2 1 3 或 a ? 1 4, b ? ? 7 , r ? 2 6 1 故所求圆的方程为 ( x ? 6 ) ? ( y ? 3) ? 5 2 或 ( x ? 1 4 ) ? ( y ? 7 ) ? 2 4 4 .
2 2 2 2

13 解:由图可知:O (0, 0, 0 ) , A ( a , a , 0 ) , B (0, 0, a ) , C (0, a , 0 ) ,
D (0 , a , a ) 。

z

(1) P 为 AB 中点, P ( 则 (0 ? z ? a )
| P Q |?
a 2

a a a , , ) 。 Q 点坐标为 (0 , a , z ) 设 2 2 2
2

B D

Q
2

(

a 2

? 0) ? (

a 2

? 0) ? (
2

a 2

? z)

2

?

(z ?

a 2

) ?
2

a

P O

2

C

y

当z ?

,即 Q 为 CD 中点时, | P Q | m in ?

2a 2

.
x

A

(2) 因为 Q 为棱 CD 的中点,点 P 在对角线 AB 上运动,即 | 当 P Q ? C D 时, P Q | 取最小值; 而当 P 为 AB 中点时,

P C ? P D ,即 ? P D C 是等腰三角形,又 Q 为 CD 中点,所以 P Q ? C D ;因此当 P 为 AB 中点

时, | P Q | 取最小值,由(1)得 | P Q | m in ?

2a 2

.


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