专题一 函数
2013 年 2 月 (松江区 2013 届高三一模 理科)18.设 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,对任意 x ? R ,都 有 f ( x ? 2) ? f ( x ? 2), 且当 x ? [?2, 0] 时, f ( x) ? ( ) ?1 .若在区间 (?2, 6] 内关于 x 的
x
1 2
方程 f ( x) ? loga ( x ? 2) ? 0(a ? 1) 恰有 3 个不同的实数根,则实数 a 的取值范围是 A. (1, 2) 18.D (浦东新区 2013 届高三一模 理科) 16. 已知函数 f ( x ) ? 为奇函数,则实数 m 为 ( C ) B. (2, ??) C. (1, 3 4) D. ( 3 4, 2)
1 1 , 若函数 y ? f ( x ? m) ? 4 4 ?2
x
( A) ?
1 2
( B) 0
(C )
1 2
( D) 1
(黄浦区 2013 届高三一模 理科)17.若 f ( x ) 是 R 上的奇函数,且 f ( x) 在 [0, ??) 上单调
y ?| f ( x) | 递 增 , 则 下 列 结 论 : ① 是 偶函数;②对任意的 x ? R 都有 f (? x)? | f ( x) |? 0 ;③ y ? f (? x) 在 (??,0] 上单调递增; ④ y ? f ( x) f (? x) 在 (??,0] 上单调递增.其中正确结论的个数为
A.1 17.B (青浦区 2013 届高三一模)18.已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的单调增函数且为奇函数, 数列 ?an ? 是等差数列, a1007 ? 0 ,则 f (a1 ) ? f (a2 ) ? f (a3 ) ? ? ? f (a2012 ) ? f (a2013 ) 的 值????????????( A ) . A .恒为正数 B. 恒为负数 C .恒为 0 B.2 C.3 D. 4
D .可正可负
(浦东新区 2013 届高三一模 理科)18.定义域为 ? a, b? 的函数 y ? f ( x) 图象的两个端点 为 A, B , 向 量 ON ? ? OA , M ( x, y ) 是 f ( x ) 图 象 上 任 意 一 点 , 其 中 ? (1? ? ) OB
????
??? ?
??? ?
x ? ? a ? (1? ?) b, ? ??0,1? . 若不等式 MN ? k 恒成立,则称函数 f ( x) 在 ? a, b? 上满足
“ k 范围线性近似”, 其中最小的正实数 k 称为该函数的线性近似阀值. 下列定义在 ?1, 2? 上函 数中,线性近似阀值最小的是 ( D )
( A) y ? x 2
( B) y ?
2 x
(C ) y ? sin
?
3
x
( D) y ? x ?
1 x
(松江区 2013 届高三一模 理科) 11. 给出四个函数: ① f ( x) ? x ?
1 , ② g ( x) ? 3 x ? 3? x , x
③ u( x) ? x 3 , ④ v( x) ? sin x , 其 中 满 足 条 件 : 对 任 意 实 数 x 及 任 意 正 数 m , 都 有
f (? x) ? f ( x) ? 0 及 f ( x ? m) ? f ( x) 的函数为
号)11.③
▲
. (写出所有满足条件的函数的序
(松江区 2013 届高三一模 理科) 15. 过点 (1,0) 且与直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 平行的直线方程是 A. x ? 2 y ? 1 ? 0 C. 2 x ? y ? 2 ? 0 15.D ( 杨 浦 区 2013 届 高 三 一 模 理 科 ) 9. 下 列 函数 : ①
x f ( x) ? 3 , ② f ( x) ? x 3 , ③
B. x ? 2 y ? 1 ? 0 D. x ? 2 y ? 1 ? 0
f ( x) ? ln
1 ?x , ④ f ( x) ? cos 2 x
(写出
⑤ f ( x) ? ? x 2 ? 1 中,既是偶函数, 又是在区间 ?0, ? ?? 上单调递减函数为 符合要求的所有函数的序号). 9.③⑤;
( (虹口区 2013 届高三一模)17、定义域为 R 的函数 f ( x) ? ax ? b x ? c ( a ? 0) 有四
2
个单调区间,则实数 a, b, c 满足(
)
A. b 2 ? 4ac ? 0且a ? 0
17、C;
B. b 2 ? 4ac ? 0
C. ? b ? 0
2a
D. ? b ? 0
2a
(奉贤区 2013 届高三一模) 18、 定义域是一切实数的函数 y ? f ?x ? , 其图像是连续不断的, 且存在常数 ? ( ? ? R )使得 f ( x ? ? ) ? ? f ( x) ? 0 对任意实数 x 都成立,则称 f ( x) 是一个“ ? —伴随函数” . 有下
列关于“ ? —伴随函数”的结论:① f ( x) ? 0 是常数函数中唯一一个“ ? —伴随函数” ; ②“
1 2 —伴随函数”至少有一个零点. ;③ f ( x) ? x 是一个“ ? —伴随函数” ;其中正确 2
) B.2 个; C.3 个; D.0 个;
结论的个数是 ( A.1 个;
18. A
(奉贤区 2013 届高三一模)16、已知函数 y ? sin ax ? b (a ? 0) 的图像如左图所示,则函
数 y ? loga ( x ? b) 的图像可能是(
[来源:Z*xx*k.Com]
)
A.
B.
16.
C
C.
D.
(虹口区 2013 届高三一模)11、已 知正实数 x 、 y 满 足 x ? 2 y ? xy ,则 2 x ? y 的最小值 等于 .11、9;
?1
(奉贤区 2013 届高三一模)11、 (理)设函数 f ? x ? 的反函数是 f 点 ?1,2? ,则 y ? f ? x ?1? 经过点 .
? x ? ,且 f ?1 ?x ? 1? 过
x?2 (定义域 3
11.理 ?3,0?
(金山区 2013 届高三一模)1.函数 f(x)=3x–2 的反函数 f –1(x)=________.1. 不写不扣分)
?log2 x ( x ? 0) ( 黄 浦 区 2013 届 高 三 一 模 理 科 ) 9 . 已 知 函 数 f ( x) ? ? x ,且函数 ( x ? 0) ?3 F ( x) ? f ( x)? x? a 有且仅有两个零点,则实数 a 的取值范围是 .9. (??,1] ;
(浦东新区 2013 届高三一模 理科)3.函数 y ? log2 ( x ? 2) 的定义域为
[3,??)
.
( 嘉定区 2013 届高三一模 理科) 14 .设 m 、 n ? R ,定义在区间 [m , n] 上的函数
?1? f ( x) ? log2 (4? | x |) 的值域是 [0 , 2] ,若关于 t 的方程 ? ? ? m ? 1 ? 0 ( t ? R )有实数 ?2?
解,则 m ? n 的取值范围是___________. 14. [1 , 2)
|t |
( 青 浦 区 2013 届 高 三 一 模 ) 2 . 函 数 f ( x) ? 1 ? l o 2gx ( x ? 2) 的 反 函 数
f ?1 ( x) ? 2 x?1 ( x ? 2) .
(松江区 2013 届高三一模 理科)3.若函数 f ( x) ? 2 ? 3 的图像与 g ( x) 的图像关于直线
x
y ? x 对称,则 g (5) =
▲
.3. 1
(奉贤区 2013 届高三一模)11、 (文)若函数 f ( x) ? log 2 ( x ? ) ? a 在区间 ? ,2? 内有零 x 2 点,则实数 a 的取值范围是___.文 1, log2 2
1
?1 ? ? ?
? ? ?
5
? ? ?
(浦东新区 2013 届高三一模 理科) 5. 函数 y ? 1 ? x( x ? 0 ) 的反函数是 ( x ? 1) .
y ? ( x ? 12 )
(黄浦区 2013 届高三一模 理科)12.已知函数 f ( x) ? a x ( a ? 0 且 a ? 1 )满足 f (2) ? f (3) , 若 y ? f ?1 ( x) 是 y ? f ( x) 的反函数, 则关于 x 的不等式 f ?1 (1 ? ) ? 1 的解集是
1 x
.12. (1,
1 ); 1? a
(金山区 2013 届高三一模)13.若函数 y=f(x) (x∈R)满足:f(x+2)=f(x),且 x∈[–1, 1]时,f(x) = | x |,函数 y=g(x)是定义在 R 上的奇函数,且 x∈(0, +∞)时,g(x) = log 3 x,则函数 y=f(x) 的图像与函数 y=g(x)的图像的交点个数为_______. 13.4
( 奉 贤 区 2013 届 高 三 一 模 ) 7 、 设 函 数 f ?x ? ?
x 为奇函数,则 ?x ? 1??x ? sin a ?
a?
.7. 2k? ?
?
2
,k ? Z
(嘉定区 2013 届高三一模 理科)18.设函数 y ? f ( x) 是定义在 R 上以 1 为周期的函数, 若函数 g ( x) ? f ( x) ? 2 x 在区间 [2 , 3] 上的值域为 [?2 , 6] , 则 g ( x) 在区间 [?12 , 12] 上的 值域为????????( A. [?2 , 6] ) C. [?22 , 32] D. [?20 , 34]
B. [?24 , 28]
18.D (虹口区 2013 届高三一模)13、设定义在 R 上的函数 f ( x) 是最小正周期为 2? 的偶函数, 当 x ?[0,
? ] 时, 0 ? f ( x) ? 1,且在 [0,
?
] 上单调递减,在 [ , ? ] 上单调递增,则函 2 2
. 13、20;
?
数 y ? f ( x) ? sin x 在 [? 10? , 10? ] 上的零点个数为
( 杨 浦 区 2013 届 高 三 一 模 理 科 ) 1. 若 函 数 f ?x? ? 3 x 的 反 函 数 为 f
?1
?x ? , 则
f ?1 ?1? ?
.1. 0;
(奉贤区 2013 届高三一模)9、 (理)已知函数 f ( x) ? ? 为 .9.理 ?
? sin ?x, x ? 0, 5 那么 f ( ) 的值 6 ? f ( x ? 1), x ? 0,
1 2
(青浦区 2013 届高三一模)12.已知 f ( x) ? ?
?(2 ? a) x ? 1 , x ? 1
x ?a
, x ?1
满足对任意 x1 ? x 2 都有
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?3 ? ? 0 成立,那么 a 的取值范围是_____ ? ,2 ? x1 ? x2 ?2 ?
(奉贤区 2013 届高三一模)9、 (文)已知函数 f ( x ) ? ?
.
?log 2 x, x ? 0, ?2 ,
x
x ? 0.
若 f (a) ?
1 ,则 2
a ? _________. 文 a ? ?1 或 2
(崇明县 2013 届高三一模) 5、已知 y ? f ?1 ( x) 是函数 f ( x) ? x2 ? 2 ( x ≤ 0) 的反函数,则
f ?1 (3) ?
.
5、 ? 1
(宝山区 2013 届期末) 7.将函数 f ( x) =
? 3 sin x 的图像按向量 n ? (?a,0)( a > 0 ) 平移, 1 cos x
.
所得图像对应的函数为偶函数,则 a 的最小值为
5 ? 6
(崇明县 2013 届高三一模)14、已知 f ( x) ? m( x ? 2m)( x ? m ? 3) , g ( x) ? 2x ? 2 ,若同时满足 条件:①对于任意 x ? R , f ( x) ? 0 或 g ( x) ? 0 成立; ②存在 x ? (??, ?4) ,使得 f ( x) ? g ( x) ? 0 成立.则 m 的取值范围是 . 14、 (-4,-2)
2
( 奉贤区 2013 届高三一模) 1 、关于 x 的方程 x ? mx ? n ? 0?m, n ? R? 的一个根是
? 3 ? 2i ,则 m ? _________.1. m ? 6;
( 长宁区 2013 届高三一 模) 2 、 记函 数 y ? f ( x ) 的反 函数 为 y ? f ?1 ( x ). 如 果函 数
y ? f ( x ) 的图像过点 (1,2) ,那么函数 y ? f ?1 ( x) ? 1 的图像过点 __________ . 2、 (2,2)
(奉贤区 2013 届高三一模)5、已知 x ? 0, y ? 0, 且 数 m 的取值范围是_________.5. m ? 4 (宝山区 2013 届期末)8.设函数 f ( x) 是定义在 R 上周期为 3 的奇函数,且 f (?1) ? 2 ,则
1 1 ? ? 1, 若 x ? y ? m 恒成立,则实 x y
f (2011 ) ? (2012) f
? _.0
( 长 宁 区 2013 届 高 三 一 模 ) 5 、 设 f ( x) 为 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 当 x ? 0 时 ,
x , f ( x) ? 2 ? 2x ? b( b 为常数)
则 f (?1) ?
5、 ? 4
(宝山区 2013 届期末)14.设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 是平面直角坐标系上的两点,定义点 A 到点 B 的曼哈顿距离 L( A, B) ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 . 若点 A(-1,1),B 在 y 2 ? x 上, 则 L( A, B) 的最小值为 .
7 4
2
(长宁区 2013 届高三一模)13、 (理)已知函数 f ( x) ? ? x ? ax ? b(a, b ? R) 的值域为
(??,0] , 若 关 于 x 的 不 等 式 f ( x) ? c ? 1 的 解 集 为 (m ? 4, m ? 1) , 则 实 数 c 的 值 为
_ _ _ _ _ _ _._ 13 _、 (理) ?
21 , 4
( 宝 山 区 2013 届 期 末 ) 18. 已 知 f ( x) ? ? 是????????( D )
? x ? 1, x ? [? 1, 0),
2 ? x ? 1, x ? [0,1],
则下列函数的图像错误的
(A) f ( x ? 1) 的图像 (B) f (? x) 的图像 (C) f (| x |) 的图像 (D) | f ( x) | 的图像
( 崇 明 县 2013 届 高 三 一 模 ) 15 、 设 函 数 f ( x) ? s i nx ,x ? R , 则 下 列 结 论 错 误 的 是???????????????( A. f ( x) 的值域为 [0,1] C. f ( x) 不是周期函数 15、 C ) B. f ( x) 是偶函数 D. f ( x) 不是单调函数
y?
(长宁区 2013 届高三一模)18、 (理)函数 下列图象中的 ( )
x sin x , x ? (?? ,0) ? (0, ? ) 的图象可能是
18、 C
(黄浦区 2013 届高三一模 理科)23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满 分 3 分,第 2 小题满分 7 分,第 3 小题满分 8 分. 对于函数 y ? f ( x) 与常数 a , b ,若 f (2 x) ? af (x) ?b 恒成立,则称 ( a, b) 为函数 f ( x) 的
f (x) b ? 恒成立, 一个 “P 数对” ;若 f (2 x) ?a 则称 ( a, b) 为函数 f ( x) 的一个 “类 P 数对” . 设
函数 f ( x) 的定义域为 R ? ,且 f (1) ? 3 . (1)若 (1,1) 是 f ( x) 的一个“P 数对” ,求 f (2n )(n ? N*) ; (2)若 (?2,0) 是 f ( x) 的一个“P 数对” ,且当 x ?[1,2) 时 f ( x) ? k ? 2 x ? 3 ,求 f ( x) 在 区间 [1, 2n ) (n ? N*) 上的最大值与最小值; (3)若 f ( x) 是增函数,且 (2, ?2) 是 f ( x) 的一个“类 P 数对” ,试比较下列各组中两个 式子的大小,并说明理由.
① f (2? n ) 与 2 ? n +2 (n ? N*) ;② f ( x) 与 2 x ? 2 ( x ? (0,1]) .
[来源:Zxxk.Com]
23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 7 分,第 3 小题满分 8 分. 解: (1)由题意知 f (2 x) ? f ( x) ? 1 恒成立,令 x ? 2k (k ? N*) , 可得 f (2k ?1 ) ? f (2k ) ? 1 ,∴ { f (2k )} 是公差为 1 的等差数列, 故 f (2n ) ? f (20 ) ? n ,又 f (20 ) ? 3 ,故 f (2n ) ? n ? 3 . ????????????3 分 (2)当 x ?[1,2) 时, f ( x) ? k ? | 2 x ? 3 | ,令 x ? 1 ,可得 f (1) ? k ? 1 ? 3 , 解得 k ? 4 ,即 x ?[1,2) 时, f ( x) ? 4? | 2 x ? 3 | , ?????????4 分 故 f ( x) 在 [1, 2) 上的取值范围是 [3, 4] . 又 (?2,0) 是 f ( x) 的一个“P 数对” ,故 f (2 x) ? ?2 f ( x) 恒成立, 当 x ?[2k ?1 ,2k ) (k ? N*) 时,
x 2
k ?1
?[1,2) ,
???????6 分
x x x f ( x) ? ?2 f ( ) ? 4 f ( ) ? ? ? (?2)k ?1 f ( k ?1 ) , 2 4 2
故 k 为奇数时, f ( x) 在 [2k ?1 ,2k ) 上的取值范围是 [3 ? 2k ?1 ,2k ?1 ] ;
当 k 为偶数时, f ( x) 在 [2k ?1 ,2k ) 上的取值范围是 [?2k ?1 , ?3 ? 2k ?1 ] . ???????8 分 所以当 n ? 1 时, f ( x) 在 [1, 2n ) 上的最大值为 4 ,最小值为 3; 当 n 为不小于 3 的奇数时, f ( x) 在 [1, 2n ) 上的最大值为 2 n ?1 ,最小值为 ? 2 n ; 当 n 为不小于 2 的偶数时, f ( x) 在 [1, 2n ) 上的最大值为 2n ,最小值为 ?2 n ?1 .???10 分 (3)由 (2, ?2) 是 f ( x) 的一个“类 P 数对” ,可知 f (2 x) ? 2 f ( x) ? 2 恒成立,
1 1 1 1 1 f (2 x) ? 1 恒成立,令 x ? k (k ? N*) ,可得 f ( k ) ? f ( k ?1 ) ? 1 , 2 2 2 2 2 1 1 1 即 f ( k ) ? 2 ? [ f ( k ?1 ) ? 2] 对一切 k ? N * 恒成立, 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 所以 f ( n ) ? 2 ? [ f ( n?1 ) ? 2] ? [ f ( n?2 ) ? 2] ? ? ? n [ f (1) ? 2] ? n , 2 2 2 4 2 2 2
即 f ( x) ?
[来源:Z+xx+k.Com]
故 f (2? n ) ? 2? n ? 2 (n ? N*) . 若 x ? (0,1] ,则必存在 n ? N * ,使得 x ? ( 由 f ( x) 是增函数,故 f ( x) ? f (
?????????????14 分
1 1 , ], 2n 2n?1
1 1 ) ? n?1 ? 2 , n ?1 2 2
又 2x ? 2 ? 2 ?
1 1 ? 2 ? n?1 ? 2 ,故有 f ( x) ? 2 x ? 2 .?????????????18 分 n 2 2
(金山区 2013 届高三一模)21. (本题满分 14 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分)
x 2 ? 2x ? a , x ? (0,2] ,其中常数 a > 0. 已知函数 f ( x) ? x
(1) 当 a = 4 时,证明函数 f(x)在 (0,2] 上是减函数; (2) 求函数 f(x)的最小值. 21.解:(1) 当 a ? 4 时, f ( x) ? x ? 任取 0<x1<x2≤2,则 f(x1)–f(x2)= x1 ?
4 ? 2 ,????????????????1 分 x
4 4 ( x ? x2 )(x1 x2 ? 4) ??????3 分 ? x2 ? ? 1 x1 x2 x1 x2
因为 0<x1<x2≤2,所以 f(x1)–f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2)???????????????5 分 所以函数 f(x)在 (0,2] 上是减函数;?????????????????????6 分 (2) f ( x) ? x ? 当且仅当 x ? 当0 ?
a ? 2 ? 2 a ? 2 ,????????????????????7 分 x
a 时等号成立,??????????????????????8 分
a ? 2 ,即 0 ? a ? 4 时, f ( x) 的最小值为 2 a ? 2 ,?????????10 分
当 a ? 2 ,即 a ? 4 时, f ( x) 在 (0,2] 上单调递减,?????????????11 分 所以当 x ? 2 时, f ( x) 取得最小值为
a ,??????????????????13 分 2
综上所述: f ( x) min
?2 a ? 2 ? ? ?a ? ?2
0 ? a ? 4, a ? 4.
???????????????14 分
(浦东新区 2013 届高三一模 理科)23. (本题满分 18 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题 满分 4 分,第 3 小题满分 10 分)
1 ? 2x , 0? x? ? ? 2 设函数 T ( x) ? ? ?2(1 ? x), 1 ? x ? 1 ? ? 2
(1)求函数 y ? T ? sin(
? ?
?
? ?? ? x) ? 和 y ? sin? T ( x) ? 的解析式; 2 ? ?2 ?
(2)是否存在非负实数 a ,使得 aT ( x) ? T (a x) 恒成立,若存在,求出 a 的值;若不存在, 请说明理由; (3)定义 Tn?1 ( x) ? Tn (T ( x)) ,且 T1 ( x) ? T ( x) ① 当 x ? ? 0,
?n ? N ?
?
? ?
1 ? 时,求 y ? Tn ( x) 的解析式; 2n ? ?
已 知 下 面 正 确 的 命 题 : 当 x??
? i ?1 i ? 1 ? 1 ? i ? 2n ?1) 时 , 都 有 , n ? ( i ? N ?, n 2 2 ? ?
Tn ( x) ? Tn (
i 2n -1
? x) 恒成立.
m
② 对于给定的正整数 m ,若方程 Tm ( x) ? k x 恰有 2 个不同的实数根,确定 k 的取值范围;
m 若将这些根从小到大排列组成数列 ?xn ? 1 ? n ? 2 ,求数列 ?xn ? 所有 2 项的和.
?
?
m
? ?? ? ?2sin ? 2 x ? ? ? ? ? ? ? 解: (1) 函数 y ? T ?sin( x) ? ? ? 2 ? ? ? ?? 2 ? 2sin ? ? ?2 ?
1? ? 5 ? ? x ? ? 4k , 4k + ? ? ? 4k + , 4k +2 ? k ? Z 3? ? 3 ? ? 1 5? ? ? x ? x ? ? 4k + , 4k + ? k ? Z 3 3? ? ?
? ? ? 1? x ? ?0, ? ?sin 2 ? 2x ? ? 2? ?? ? ? 函数 y ? sin ? T ( x) ? ? ? = sin ?? x ? x ? ?0,1? ??4 分 ?2 ? ? ? ?1 ? sin ? 2-2x ? x ? ? ,1? ? ?2 ? ? 2
1 ? 1 ? 2ax, 0? x? 2 ax , 0 ? ax ? ? ? ? 2 ? 2 (2) y ? aT ( x ) ? ? , y ? T (ax) ? ? ??6 分 1 1 ?2a(1 ? x), ? x ? 1 ?2(1 ? ax), ? ax ? 1 ? ? ? 2 ? 2
当 a ? 0 时,则有 a(T ( x)) ? T (ax) ? 0 恒成立. 当 a ? 0 时,当且仅当 a ? 1 时有 a(T ( x)) ? T (ax) ? T ( x) 恒成立. 综上可知当 a ? 0 或 a ? 1 时, a(T ( x)) ? T (ax) 恒成立;?????????8 分 (3)① 当 x ? ? 0,
? ?
1 1 ? 时,对于任意的正整数 j ? N ?, 1 ? i ? n ?1 ,都有 0 ? 2 j x ? n ? 2 2 ?
2 j n?1
故有 y ? Tn ( x) ? Tn?1 (2x) ? Tn?2 (2 x) ? ? ? Tn? j (2 x) ? ? ? T (2 ② 由①可知当 x ? ? 0,
x) ? 2n x ?13 分
? ?
1 ? 时,有 Tn ( x) ? 2n x ,根据命题的结论可得, n ? 2 ?
时,有
当 x??
? 1 2 ? ? 0 2 ? , n ?? n, n ? n ?2 2 ? ? ?2 2 ?
1 ? 0 1 ? ? 0 2 ? ? x?? n , n ? ? ? n , n ? , n ?1 2 ?2 2 ? ?2 2 ?
故有 Tn ( x) ? Tn (
1 1 ? x)=2n ( n ?1 ? x) ? ?2n x ? 2 . n ?1 2 2
因此同理归纳得到,当 x ? ?
? i i ?1 ? 0 ? i ? 2n ?1) 时, , n ? ( i ? N, n ?2 2 ?
n 1 1 ? ?2 x ? i, i 是偶数 ????????15 分 Tn ( x) ? (?1)i (2n x ? i ? ) ? = ? n 2 2 ? ? 2 x ? i ? 1 , i 是奇数 ?
对于给定的正整数 m , x ? ?
? i i ?1 ? 0 ? i ? 2m ?1) 时, , m ? ( i ? N, m 2 2 ? ?
解方程 Tm ( x) ? kx 得, x ?
? 2i ? 1? ? (?1)i ,
2m?1 ? (?1)i 2k
m
要使方程 Tm ( x) ? kx 在 x ?? 0,1 ? 上恰有 2 个不同的实数根,
2i ? 1? ? (?1)i i ? 1 ? i 对于任意 i ? N, 恒成立, 0 ? i ? 2 ?1,必须 m ? m?1 ? 2 2 ? (?1)i 2k 2m
m
解得 k ? ( 0 ,
2m ) , 若将这些根从小到大排列组成数列 ?xn ? , 2m ? 1
由此可得 xn
2n ? 1? ? (?1)n ? ? 2m?1 ? (?1)n 2k
m
1 ? i ? 2 ? .????????17 分 ?n ? N ,
? m
故数列 ?xn ? 所有 2 项的和为:
S ? x1 ? x2 ?? x2m ?1 ? x2m
?
0 ? 2 ? 4 ? ? ? (2m ? 2) 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2m 2m ?1 (4m ? 2k ) ? ? .??18 分 2m ? k 2m ? k 4m ? k 2
2013 届 高 三 一 模 ) 19 、 ( 本 题 满 分 12 分 ) 已 知
( 长 宁 区
?? ? ?? ? m ? (2 cos x ? 2 3 sin x ,1),n ? (cosx , ?y ) m ,满足 ? n ? 0 .
(1)将 y 表示为 x 的函数 f ( x) ,并求 f ( x) 的最小正周期; (2) (理) 已知 a, b, c 分别为 ?ABC 的三个内角 A, B, C 对应的边长, 若 f( 求 b ? c 的取值范围.
A ) ? 3, 且a ? 2, 2
19、解(1)由 m ? n ? 0 得 2 cos x ? 2 3 sin x cos x ? y ? 0 ????3 分
2
?? ?
2
即 y ? 2 cos x ? 2 3 sin x cos x ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 1 ? 2sin(2 x ? 所以 f ( x) ? 2sin(2 x ?
?
6
) ?1
?
6
) ? 1 ,其最小正周期为 ? .
????6分
(2) (理)因为 f ( ) ? 3 ,则
A?
?
6
A 2
? 2 k? ?
?
2
, k ? Z .因为 A 为三角形内角,所以 A ? 4 4 3 sin B , c ? 3 sin C , 3 3
?
3
????9分
法一:由正弦定理得 b ?
b?c ?
4 3 4 3 4 3 4 3 2? ? sin B ? sin C ? sin B ? sin( ? B) ? 4 sin( B ? ) 3 3 3 3 3 6
,? sin( B ?
?
1 ) ? ( ,1] ,? b ? c ? (2,4] , 6 2
????12分
所以 b ? c 的取值范围为 (2, 4] 法二: a ? b ? c ? 2bc cos
2 2 2
?
3
,因此 4 ? (b ? c) ? 3bc ,
2
因为 bc ?
(b ? c) 2 (b ? c) 2 2 ,所以 4 ? (b ? c) ? , (b ? c) 2 ? 16 , 4 4
????12分
? b ? c ? 4 .又 b ? c ? 2 ,所以 b ? c 的取值范围为 (2, 4]
(文) (2)? 0 ? x ? 分 由 a ? f ( x) 恒成立,得 a ? [ f ( x)]min ? 2 , 所以实数 a 的取值范围是 (??,2) .
?
3
,?
?
6
? 2x ?
?
6
?
1 5? ? ,因此 sin( 2 x ? ) 的最小值为 ,????9 2 6 6
???12分
(宝山区 2013 届期末)21.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知函数 f ( x) ? log 2 (4x ? b ? 2x ? 4) , g ( x) ? x . (1)当 b ? ?5 时,求 f ( x) 的定义域; (2)若 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求 b 的取值范围. 解: (1)由 4 x ? 5 ? 2 x ? 4 ? 0 ??????????????????3 分 解得 f ( x) 的定义域为 (??,0) ? (2, ??) .?????????6 分
4 ? ? (2)由 f ( x) ? g ( x) 得 4 x ? b ? 2 x ? 4 ? 2 x ,即 b ? 1 ? ? 2 x ? x ? ????????9 分 2 ? ? 4 ? 令 h( x ) ? 1 ? ? 2 x ? x 2 ? ? ? ,则 h( x) ? ?3 ,??????????????????12 分 ?
? 当 b ? ?3 时, f ( x) ? g ( x) 恒成立.??????????????????14 分
( 长 宁 区 2013 届 高 三 一 模 ) 22 . ( 本 小 题 满 分 18 分 ) ( 理 ) 已 知 函 数
f ( x) ? 1 ? x ? 1 ? x 。
(1)求函数 f ( x ) 的定义域和值域; (2)设 F ( x) ?
a ? ? f 2 ( x) ? 2 ? ,求 F ( x) 在 a ? 0 时的最大值 g (a ) ; ? ? f ( x) ( a 为实数) 2 ?
(3)对(2)中 g (a ) ,若 ?m2 ? 2tm ? 2 ? g (a) 对 a ? 0 所有的实数 a 及 t ? [?1,1] 恒成 立,求实数 m 的取值范围。
(文)已知二次函数 f ? x ? ? ax2 ? ? a ? 1? x ? a 。 (1)函数 f ? x ? 在 ? ?? , ? 1? 上单调递增,求实数 a 的取值范围;
? 2 在 x ??1, 2? 上恒成立,求实数 a 的取值范围; x 1 ? ? a ? 1? x 2 (3)函数 g ? x ? ? f ? x ? ? 在 ? 2 , 3? 上是增函数,求实数 a 的取值范围。 x
(2)关于 x 的不等式 22、 (理)解: (1) 由 1+x≥0 且 1-x≥0,得-1≤x≤1,所以定义域为 [?1,1] ????2 分 又 f ( x)2 ? 2 ? 2 1 ? x2 ?[2, 4], 由 f ( x ) ≥0 得值域为 [ 2, 2] ????4 分
f ? x?
a ?? f 2 ( x) ? 2 ? ? f ( x) ? a 1 ? x 2 ? 1 ? x ? 1 ? x ? ? 2 1 2 2 令 t ? f ( x) ? 1 ? x ? 1 ? x ,则 1 ? x ? t ? 1 , 2 1 2 1 2 ∴ F ( x) ? m(t ) ? a ( t ? 1 )+t= at ? t ? a, t ? [ 2, 2] ????6 分 2 2 1 2 由题意知 g(a)即为函数 m(t ) ? at ? t ? a, t ? [ 2, 2] 的最大值。 2 1 1 2 注意到直线 t ? ? 是抛物线 m(t ) ? at ? t ? a 的对称轴。????7 分 a 2
(2)因为 F ( x) ? 因为 a<0 时,函数 y=m(t), t ?[ 2, 2] 的图象是开口向下的抛物线的一段, ①若 t ? ?
1 2 ? (0, 2] ,即 a ? ? 则 g (a) ? m( 2) ? 2 ????8 分 a 2 1 1 1 2 1 ? ( 2, 2] ,即 ? ????10 分 ? a ? ? 则 g ( a ) ? m( ? ) ? ? a ? a a 2a 2 2 1 1 ? (2, ??) ,即 ? ? a ? 0 则 g (a) ? m(2) ? a ? 2 a 2
????11 分
②若 t ? ? ③若 t ? ?
? a ? 2, ? 1 2 1 ? , ? ?a?? , 综上有 g ( a ) ? ? ? a ? 2a 2 2 ? ? 2 ? 2, a?? 2
a??
1 2
????12 分
(3)易得 gmin (a) ? 2 , 由 ?m2 ? 2tm ? 2 ? g (a) 对 a ? 0 恒成立,
????14 分
即要使 ?m2 ? 2tm ? 2 ? gmin (a) ? 2 恒成立,????15 分
? m2 ? 2tm ? 0 ,令 h ?t ? ? ?2mt ? m2 ,对所有的 t ???1,1? , h ?t ? ? 0 成立,
?h(?1) ? 2m ? m 2 ? 0 只需 ? , 2 ? h(1) ? ?2m ? m ? 0
????17 分
求出 m 的取值范围是 m ? ?2, 或m=0,或m ? 2 . ????18 分 (文)解: (1)当 a ? 0 时, f ( x) ? ? x ,不合题意;?????1 分
当 a ? 0 时, f ? x ? 在 ? ?? , ? 1? 上不可能单调递增;?????2 分
当 a ? 0 时,图像对称轴为 x ? ? 由条件得 ?
a ?1 , 2a
?????4 分
a ?1 ? ?1 ,得 a ? ?1. 2a f ( x) 1 ? a( x ? ) ? a ? 1 , x x 1 5 ? [2, ] , x 2
(2)设 h( x) ?
?????5 分
当 x ? [1,2] 时, x ?
?????7 分
因为不等式 所以, ?
f ? x? x
? 2 在 x ??1, 2? 上恒成立, 所以 h( x) 在 x ? [1,2] 时的最小值大于或等于 2,
? a?0 ? a?0 ? ? , ?????9 分 或? 5 a ? a ? 1 ? 2 2 a ? a ? 1 ? 2 ? ? ?2 ?
?????10 分
2
解得 a ? 1 。 (3) g ( x) ? ax ?
1 ? a 在 ? 2 , 3? 上是增函数,设 2 ? x1 ? x2 ? 3 ,则 g ( x1 ) ? g ( x2 ) , x
ax1 ?
2
x ? x2 1 1 2 ,?????12 分 ? a ? ax2 ? ? a , a( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ? 1 x1 x2 x1 x2
1 , x1 x 2 ( x1 ? x 2 )
?????14 分
因为 2 ? x1 ? x2 ? 3 ,所以 a ?
而
1 1 1 ?( , ), x1 x2 ( x1 ? x2 ) 54 16
1 . 16
?????16 分
所以 a ?
?????18 分
(崇明县 2013 届高三一模)22、 (本题 16 分,第(1)小题 4 分;第(2)小题 6 分;第(3)小题 6 分) 设函数 fn ( x) ? xn ? bx ? c (n ? N ? , b, c ? R) .
1 (1)当 n ? 2, b ? 1, c ? ?1 时,求函数 f n ( x) 在区间 ( ,1) 内的零点; 2 1 (2)设 n ≥ 2, b ? 1, c ? ?1 ,证明: f n ( x) 在区间 ( ,1) 内存在唯一的零点; 2
(3)设 n ? 2 ,若对任意 x1 , x2 ? ? ?1,1? ,有 f 2 ( x1 ) ? f 2 ( x2 ) ≤ 4 ,求 b 的取值范围.
22、解: (1) f 2 (x)=x 2 +x-1,令 f 2 (x)=0 ,得 x =
-1 ? 5 , 2 -1+ 5 。 2
所以 f 2 (x)在区间( ,1)内的零点是x= (2)证明:因为 f n ( 在零点。
1 2
1 1 1 )<0 , f n (1)>0 。所以 f n ( ) ? f n (1)<0 。所以 f n (x) 在 ( , 1) 内存 2 2 2 x ,则 < fn 2
n (x )-f x1 n ) = 2( x - 1 ),所以 x(x) )在 <0 fn 2 ( x 2+ ( x -
1 任取x1、x 2? ( , 1且 ), 2
1
1n
1 1 ( , 1) 内单调递增,所以 f n (x) 在 ( , 1) 内存在唯一零点。 2 2
(3)当 n=2 时,f2(x)=x2+bx+c. 对任意 x1, x2∈[-1,1]都有|f2(x1)-f2(x2)|≤4 等价于 f2(x)在[-1,1]上的 最大值与最小值之 差 M≤4.
据此分类讨论如下: ①当 | | ? 1 ,即|b|>2 时,M=|f2(1)-f2(-1)|=2|b|>4,与题设矛盾。
b 2
b b b <0,即 0<b≤2 时,M=f2(1)-f2( ? )=( +1)2≤4 恒成立. 2 2 2 b b b ③当 0≤ ? ≤1,即-2≤b≤0 时,M=f2(-1)-f2( ? )=( -1)2≤4 恒成立. 2 2 2
②当-1≤ ? 综上可知,-2≤b≤2. 注:②,③也可合并证明如下: 用 max{a,b}表示 a,b 中的较大者.
[来源 :学&科 &网 Z&X&X&K]
b b ≤1,即-2≤b≤2 时,M=max{f2(1),f2(-1)}-f2( ? ) 2 2 f 2 (?1) ? f 2 (1) | f 2 (?1) ? f 2 (1) | b ? ? f 2 (? ) = 2 2 2 2 b =1+c+|b|-( ? +c) 4 |b| 2 =(1+ ) ≤4 恒成立. 2
当-1≤ ?
(奉贤区 2013 届高三一模)23、 (理)设函数 f ( x) ? x ? 域为 ( 0 , ? ? ) ,且 f (2) ?
a 定义 x
设点 P 是函数图像上的任意一点,过点 P 分别作直线 y ? x 和 N. y 轴的垂线,垂足分别为 M 、 (1)写出 f ?x ? 的单调递减区间(不必证明) ; (4 分) (2)问: PM ? PN 是否为定值?若是,则求出该定值, 若不是,则说明理由; (7 分) (3)设 O 为坐标原点,求四边形 OMPN 面积的最小值.(7 分)
5 . 2
23、解: (1) 、因为函数 f ( x) ? x ? 所以
a 5 的图象过点 A(2, ) , x 2
2分 4分
5 a ? 2? ? a ?1 2 2
函数 f ( x ) 在 (0,1) 上是减函数.
(2) 、 (理)设 P? ? x0 , x0 ?
? ?
1 x0
? ? ? ? ? ? ? ? ?? x ? x 0 ? ?
5分
直线 PM 的斜率 ? 1 则 PM 的方程 y ? ? ? x0 ?
? ?
1 x0
6分
?y ? x ? 联立 ? ? 1 ? ? ?? x ? x 0 ? ?y ? ? ? x0 ? x ? ? 0 ? ? ?
? 1 1 M? ? x0 ? 2 x , x0 ? 2 x 0 0 ? ? ? ? ?
9分
? 1? N? ? 0, x0 ? x ? ? 0 ? ?
? 1 1 ? 1 PA ? ? ? x ,? x ? ?, PB ? ?? x 0 ,0 ? ,? PA ? PB ? ? 2 0 ? ? 0
(2) 、 (文)设 P? ? x0 , x0 ? 11 分
? ?
1 x0
? ? ? ?
5分 6分
直线 PM 的斜率为 ? 1 则 PM 的方程 y ? ? ? x0 ?
? ?
1 x0
? ? ? ? ?? x ? x 0 ? ?
7分
?y ? x ? 联立 ? ? 1 ? ? ?? x ? x 0 ? ?y ? ? ? x0 ? x ? ? 0 ? ? ?
? 1 1 M? x ? , x ? 0 0 ? 2 x0 2 x0 ? ? ? ? ?
8分
11 分
3、
PM ?
x0 ? y 0 2
?
1 2 x0
12 分
? 1 ? OM ? 2 ? ? x0 ? 2 x ? ? 0 ? ?
∴ S ?OPM ?
13 分
? 1 1 ? 2 ?? x0 ? ? 2 2 x0 ?
? ? 1 1? ? 1 ? ? ? ? 2 x ? 2 ? 2 x 2 ? 1? , ? 0 ? 0 ?
14 分
? 1? N? ? 0, x0 ? x ? ? 0 ? ? S ?OPN ? 1 ? 1? 1 2 1 ?? x0 ? ? ? x0 ? x0 ? , ? ? 2 ? x0 ? 2 2
1 2 1 ( x0 ? 2 ) ? 1 , 2 2 x0
17 分 15 分
∴ S OMPN ? S ?OPM ? S ?OPN ?
16 分
SO M P N ? 1?
2 2
4
当且仅当 x 0 ?
1 时,等号成立. 2
2 . 2
18 分
∴ 此时四边形 OMPN 面积有最小值 1 ?
( 奉贤区 2013 届高三一模) 23 、 (文)设函数 f ( x) ? x ?
a 定义域为 x
( 0 , ? ? ) ,且 f (2) ?
设点 P 是函数图像上的任意一点,过点 P 分别作直线 y ? x 和 N. y 轴的垂线,垂足分别为 M 、 (1)写出 f ?x ? 的单调递减区间(不必证明) ; (4 分)
5 . 2
(2)设点 P 的横坐标 x0 ,求 M 点的坐标(用 x0 的代数式表示) ; (7 分) (3)设 O 为坐标原点,求四边形 OMPN 面积的最小值.(7 分) 23、解: (1) 、因为函数 f ( x) ? x ? 所以
a 5 的图象过点 A(2, ) , x 2
2分 4分
5 a ? 2? ? a ?1 2 2
函数 f ( x ) 在 (0,1) 上是减函数. (2) 、 (理)设 P? ? x0 , x0 ?
? ?
1 x0
? ? ? ? ? ? ? ? ?? x ? x 0 ? ?
5分
直线 PM 的斜率 ? 1 则 PM 的方程 y ? ? ? x0 ?
? ?
1 x0
6分
?y ? x ? 联立 ? ? 1 ? ? ?? x ? x 0 ? ?y ? ? ? x0 ? x ? ? 0 ? ? ?
? 1 1 M? ? x0 ? 2 x , x0 ? 2 x 0 0 ? ? ? ? ?
9分
? 1? ? N? 0 , x ? 0 ? ? x 0 ? ?
? 1 1 ? 1 PA ? ? ? x ,? x ? ?, PB ? ?? x 0 ,0 ? ,? PA ? PB ? ? 2 0 ? ? 0
(2) 、 (文)设 P? ? x0 , x0 ? 11 分
? ?
1 x0
? ? ? ?
5分 6分
直线 PM 的斜率为 ? 1 则 PM 的方程 y ? ? ? x0 ?
? ?
1 x0
? ? ? ? ?? x ? x 0 ? ?
7分
?y ? x ? 联立 ? ? 1 ? ? ?? x ? x 0 ? ?y ? ? ? x0 ? x ? ? 0 ? ? ?
8分
? 1 1 M? ? x0 ? 2 x , x0 ? 2 x 0 0 ?
? ? ? ?
11 分
3、
PM ?
x0 ? y 0 2
?
1 2 x0
12 分
? 1 ? OM ? 2 ? ? x0 ? 2 x ? ? 0 ? ?
∴ S ?OPM ?
13 分
? 1 1 ? 2 ?? x0 ? ? 2 2 x0 ?
? ? 1 1? ? 1 ? 1? , ? ? ? 2 ? 2x ? 2? ? 0 ? 2 x0 ?
14 分
? 1? ? N? 0 , x ? 0 ? ? x 0 ? ? S ?OPN ? 1 ? 1? 1 2 1 ?? x0 ? ? ? x0 ? x0 ? , ? ? 2 ? x0 ? 2 2
1 2 1 ( x0 ? 2 ) ? 1 , 2 2 x0
17 分 15 分
∴ S OMPN ? S ?OPM ? S ?OPN ?
16 分
SO M P N ? 1?
2 2
4
当且仅当 x 0 ?
1 时,等号成立. 2
2 . 2
18 分
∴ 此时四边形 OMPN 面积有最小值 1 ?
(虹口区 2013 届高三一模)23、 (本题满分 18 分)如果函数 y ? f ( x) 的定义域为 R ,对 于定义域内的任意 x ,存在实数 a 使得 f ( x ? a) ? f (? x) 成立,则称此函数具有“ P ( a ) 性 质” . (1)判断函数 y ? sin x 是否具有“ P ( a ) 性质” ,若具有“ P ( a ) 性质”求出所有 a 的值; 若不具有“ P ( a ) 性质” ,请说明理由.
( 2 )已知 y ? f ( x) 具有“ P (0) 性质” ,且当 x ? 0 时 f ( x) ? ( x ? m)2 ,求 y ? f ( x) 在
[0, 1] 上的最大值.
(3)设函数 y ? g ( x) 具有“ P(?1) 性质” ,且当 ? 与 y ? mx 交点个数为 2013 个,求 m 的值.
1 1 ? x ? 时, g( x) ? x .若 y ? g ( x) 2 2
23 、 ( 18 分)解: ( 1 )由 sin(x ? a) ? sin( ? x) 得 sin(x ? a) ? ? sin x ,根据诱导公式得
a ? 2k? ? ? (k ? Z ) .? y ? sin x 具有“ P (a ) 性质” ,其中 a ? 2k? ? ? (k ? Z ) .
??????4 分 (2)? y ? f ( x) 具有“ P (0) 性质” ,? f ( x) ? f (? x) .
2 2 设 x ? 0 ,则 ? x ? 0 ,? f ( x) ? f (? x) ? (? x ? m) ? ( x ? m)
2 ? ?( x ? m) ? f ( x) ? ? 2 ? ?( x ? m)
x?0 x?0
????????6 分
当 m ? 0 时,? y ? f ( x) 在 [0, 1] 递增,? x ? 1 时 ymax ? (1 ? m)2 当 0?m?
1 时 , ? y ? f ( x) 在 [0, m] 上 递 减 , 在 [m, 1] 上 递 增 , 且 2
[来源:Zxxk.Com]
f (0) ? m2 ? f (1) ? (1 ? m)2 , ? x ? 1 时 ymax ? (1 ? m)2
当 m?
1 时 , ? y ? f ( x) 在 [0, m] 上 递 减 , 在 [m, 1] 上 递 增 , 且 2
f (0) ? m2 ? f (1) ? (1 ? m)2 ,? x ? 0 时 ymax ? m2
综上所述:当 m ?
1 1 时, ymax ? f (1) ? (1 ? m)2 ;当 m ? 时, ymax ? f (0) ? m2 2 2
????????????11 分 (3)? y ? g ( x) 具有“ P(?1) 性质” ,? g (1 ? x) ? g (? x) , g (?1 ? x) ? g (? x) ,
? g ( x ? 2) ? g (1 ? 1 ? x) ? g (?1 ? x) ? g ( x) ,从而得到 y ? g ( x) 是以 2 为周期的函数.
源:学,科,网 Z,X,X,K]
[来
又设
1 3 1 1 ? x ? ,则 ? ? 1 ? x ? , 2 2 2 2
g( x) ? g( x ? 2) ? g(?1 ? x ? 1) ? g(?x ? 1) ? ? x ? 1 ? x ? 1 ? g ( x ? 1) .
1 1 ? x ? n ? ( n? z ) , 2 2 1 1 1 1 当 n ? 2k ( k ? z ) , 2k ? ? x ? 2k ? 则 ? ? x ? 2 k ? , 2 2 2 2
再设 n ?
g( x) ? g( x ? 2k ) ? x ? 2k ? x ? n ;
当
n ? 2k ? 1 ( k ? z
),
2k ? 1 ?
1 1 ? x ? 2k ? 1 ? 2 2
则
1 3 ? x ? 2k ? 2 2
,
g( x) ? g( x ? 2k ) ? x ? 2k ?1 ? x ? n ;
? 对于,n ?
1 1 1 1 ? x ? n ? ( n? z ) ,都有 g ( x) ? x ? n ,而 n ? 1 ? ? x ? 1 ? n ? 1 ? , 2 2 2 2
? g( x ? 1) ? ( x ? 1) ? (n ? 1) ? x ? n ? g( x) ,? y ? g ( x) 是周期为 1 的函数.
①当 m ? 0 时,要使得 y ? mx 与 y ? g ( x) 有 2013 个交点,只要 y ? mx 与 y ? g ( x) 在
[0, 1006 ) 有 2012 个交点,而在 [1006 , 1007] 有一个交点.? y ? mx 过 (
从而得 m ?
2013 , 2
1 ), 2
1 2013 1 2013
②当 m ? 0 时,同 理可得 m ? ? ③当 m ? 0 时,不合题意. 综上所述 m ? ?
1 ??????????18 分 2013
(青浦区 2013 届高三一模)23.(本题满分 18 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分, 第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 我们把定义在 R 上,且满足 f ( x ? T ) ? af ( x) (其中常数 a, T 满足 a ? 1, a ? 0, T ? 0 )的 函数叫做似周期函数. (1)若某个似周期函数 y ? f ( x) 满足 T ? 1 且图像关于直线 x ? 1 对称.求证:函数 f ( x) 是偶函数; (2)当 T ? 1, a ? 2 时,某个似周期函数在 0 ? x ? 1 时的解析式为 f ( x) ? x(1 ? x) ,求函 数 y ? f ( x) , x ? ?n , n ? 1?, n ? Z 的解析式;
x (3)对于确定的 T ? 0且0 ? x ? T 时, f ( x) ? 3 ,试研究似周期函数函数 y ? f ( x) 在区
间 (0,??) 上是否可能是单调函数?若可能,求出 a 的取值范围;若不可能,请说明理由.
解:因为 x ? R 关于原点对称,????????????????????1 分 又函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? 1 对称,所以
f (1 ? x) ? f (1 ? x) ①
又 T ? 1 ,? f ( x ? 1) ? af ( x) ,
?????????????????????2 分
用 ? x 代替 x 得 f (? x ? 1) ? af (? x) , ③ ?????????????????3 分 由①②③可知 af ( x) ? af (? x) , ? a ? 1且 a ? 0 ,
? f ( x) ? f (? x) .即函数 f ( x) 是偶函数;????????????????4 分
(2)当 n ? x ? n ? 1 (n ? Z ) 时, 0 ? x ? n ? 1 (n ? Z )
f ( x) ? 2 f ( x ? 1) ? 2 2 f ( x ? 2) ? ? ? 2 n f ( x ? n) ? 2 n ( x ? n)(n ? 1 ? x) ;??10 分
(3)当 nT ? x ? (n ? 1 )T (n ? N ) 时, 0 ? x ? nT ? T (n ? N )
f ( x) ? af ( x ? T ) ? a 2 f ( x ? 2T ) ? ? ? a n f ( x ? nT) ? a n 3x?nT ???????12 分
显然 a ? 0 时,函数 y ? f ( x) 在区间 (0,??) 上不是单调函数 ???????13 分
n x ?nT 又 a ? 0 时, f ( x) ? a 3 , x ? (nT, (n ? 1)T ], n ? N 是增函数,
此时 f ( x) ? (a , a 3 ], x ? (nT, (n ? 1)T ], n ? N ??????????????14 分
n n T
若函数 y ? f ( x) 在区间 (0,??) 上是单调函数,那么它必须是增函数,则必有
a n?1 ? a n 3T ,
解得 a ? 3
T
?????????????????????16 分 ?????????????????????18 分
.
(嘉定区 2013 届高三一模 理科)23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满 分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 设 a ? R ,函数 f ( x) ? x? | x ? a | ?2 x . (1)若 a ? 2 ,求函数 f ( x) 在区间 [0 , 3] 上的最大值;
(2)若 a ? 2 ,写出函数 f ( x) 的单调区间(不必证明) ; (3)若存在 a ? [?2 , 4] ,使得关于 x 的方程 f ( x) ? t ? f (a) 有三个不相等的实数解, 求实数 t 的取值范围.
23. (本题满分 18 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 8 分)
2 ? x? 2; ?x , (1)当 a ? 2 , x ? [0 , 3] 时, f ( x) ? x? | x ? 2 | ?2 x ? ? ?(2 分) 2 ? ?? x ? 4 x , 0 ? x ? 2 .
作函数图像(图像略) ,可知函数 f ( x) 在区间 [0 , 3] 上是增函数,所以 f ( x) 的最大值为
f (3) ? 9 .????(4 分)
(2) f ( x) ? ?
2 ? ? x ? (2 ? a) x , x ? a , ??(1 分) ?? x 2 ? ( 2 ? a ) x , x ? a . ?
y
a ? 2 ? (a ? 2) ? ①当 x ? a 时, f ( x) ? ? x ? , ? ? 2 ? 4 ?
2
2
因为 a ? 2 ,所以
a?2 ? a, 2
O a?2 a
x
2
所以 f ( x) 在 [a , ? ?) 上单调递增.????(3 分) ②当 x ? a 时, f ( x) ? ?? x ?
? ?
a ? 2 ? (a ? 2) 2 , ? ? 2 ? 4
2
因为 a ? 2 ,所以
a?2 a ? 2? ? ?a ? 2 ? ? a ,所以 f ( x) 在 ? ? ? , 上单调递增,在 ? , a ? 上单 ? 2 2 ? ? ? 2 ?
调递减.????(5 分) 综上,函数 f ( x) 的单调递增区间是 ? ? ? ,
? ?
a ? 2? 和 [ a , ? ?) , 2 ? ?
单调递减区间是 ?
?a ? 2 ? , a ? .??????(6 分) ? 2 ?
a?2 a?2 ?0, ? 0 ,所以 f ( x) 在 (?? , ? ?) 上是增函数, 2 2
(3)①当 ? 2 ? a ? 2 时,
关于 x 的方程 f ( x) ? t ? f (a) 不可能有三个不相等的实数解.????(2 分) ② 当 2 ? a ? 4 时 , 由 ( 1 ) 知 f ( x) 在 ? ? ? ,
? ?
a ? 2? 和 [a , ? ?) 上 分 别 是 增 函 数, 在 2 ? ?
(a ? 2) 2 ?a ? 2 ? 2 a ? t ? f ( a ) ? 上是减函数,当且仅当 时,方程 f ( x) ? t ? f (a) 有三 , a ? ? 4 ? 2 ?
个不相等的实数解. 即1 ? t ?
(a ? 2) 2 1 ? ? ? ? ? a ? ? 4 ? .????(5 分) 8a 8? a ?
4 , g (a ) 在 a ? (2 , 4] 时是增函数,故 g (a) max ? 5 .????(7 分) a
令 g (a) ? a ?
所以,实数 t 的取值范围是 ?1 ,
? ?
9? ? .????(8 分) 8?
(杨浦区 2013 届高三一模 理科)22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满 分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分.
已知函数 f ( x) ?
x ?2
1 x 1
( x ? 0) 的值域为集合 A ,
(1)若全集 U ? R ,求 CU A ; (2)对任意 x ? ? 0 ,
? ?
1? ,不等式 f ?x ? ? a ? 0 恒成立,求实数 a 的范围; 2? ?
(3)设 P 是函数 f ?x ? 的图像上任意一点,过点 P 分别向直线 y ? x 和 y 轴作垂线,垂足 分别为 A 、 B ,求 PA ? PB 的值. 22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. (1)由已知得,? 当且仅当 x ?
x ? 0 ,则 f ( x) ? x ?
2 ?2 2 x
………1 分
2 时,即 x ? 2 等号成立, x
? M ? 2 2, ??
?
?
………3 分
所以, CU M ? ? ? , 2 2 (2)由题得 a ? ?? x ?
?
?
………4 分 ………5 分
? ?
2? ? x?
函数 y ? ?? x ?
? ?
9 2? ? 1? ? 在 x ? ? 0 , ? 的最大值为 ? 2 x? ? 2?
………10 分
………9 分
?a ? ?
9 2
(3)设 P? ? x0 , x0 ?
? ?
2 x0
? ? 2 ? ? PA y ? x ? ,则直线 的方程为 0 ? ? x0 ? ?
? ? ? ? ?? x ? x 0 ? , ?
即 y ? ? x ? 2 x0 ?
2 , x0
得 A( x0 ?
………11 分
?y ? x ? 由? 2 ? y ? ? x ? 2 x0 ? x 0 ?
又 B? ? 0, x 0 ?
1 1 , x0 ? ) x0 x0
………13 分
? ?
2 x0
? ? ?, ?
………14 分
所以 PA ? ( 分
1 1 1 ,? ) , PB ? (? x0 ,0) ,故 PA ? PB ? (? x0 ) ? ?1 x0 x0 x0
………16