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上海市17区县2013届高三(数学理科)分类汇编:专题一+函数


专题一 函数
2013 年 2 月 (松江区 2013 届高三一模 理科)18.设 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,对任意 x ? R ,都 有 f ( x ? 2) ? f ( x ? 2), 且当 x ? [?2, 0] 时, f ( x) ? ( ) ?1 .若在区间 (?2, 6] 内关于 x 的
x

1 2


方程 f ( x) ? loga ( x ? 2) ? 0(a ? 1) 恰有 3 个不同的实数根,则实数 a 的取值范围是 A. (1, 2) 18.D (浦东新区 2013 届高三一模 理科) 16. 已知函数 f ( x ) ? 为奇函数,则实数 m 为 ( C ) B. (2, ??) C. (1, 3 4) D. ( 3 4, 2)

1 1 , 若函数 y ? f ( x ? m) ? 4 4 ?2
x

( A) ?

1 2

( B) 0

(C )

1 2

( D) 1

(黄浦区 2013 届高三一模 理科)17.若 f ( x ) 是 R 上的奇函数,且 f ( x) 在 [0, ??) 上单调

y ?| f ( x) | 递 增 , 则 下 列 结 论 : ① 是 偶函数;②对任意的 x ? R 都有 f (? x)? | f ( x) |? 0 ;③ y ? f (? x) 在 (??,0] 上单调递增; ④ y ? f ( x) f (? x) 在 (??,0] 上单调递增.其中正确结论的个数为
A.1 17.B (青浦区 2013 届高三一模)18.已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的单调增函数且为奇函数, 数列 ?an ? 是等差数列, a1007 ? 0 ,则 f (a1 ) ? f (a2 ) ? f (a3 ) ? ? ? f (a2012 ) ? f (a2013 ) 的 值????????????( A ) . A .恒为正数 B. 恒为负数 C .恒为 0 B.2 C.3 D. 4

D .可正可负

(浦东新区 2013 届高三一模 理科)18.定义域为 ? a, b? 的函数 y ? f ( x) 图象的两个端点 为 A, B , 向 量 ON ? ? OA , M ( x, y ) 是 f ( x ) 图 象 上 任 意 一 点 , 其 中 ? (1? ? ) OB

????

??? ?

??? ?

x ? ? a ? (1? ?) b, ? ??0,1? . 若不等式 MN ? k 恒成立,则称函数 f ( x) 在 ? a, b? 上满足
“ k 范围线性近似”, 其中最小的正实数 k 称为该函数的线性近似阀值. 下列定义在 ?1, 2? 上函 数中,线性近似阀值最小的是 ( D )

( A) y ? x 2

( B) y ?

2 x

(C ) y ? sin

?
3

x

( D) y ? x ?

1 x

(松江区 2013 届高三一模 理科) 11. 给出四个函数: ① f ( x) ? x ?

1 , ② g ( x) ? 3 x ? 3? x , x

③ u( x) ? x 3 , ④ v( x) ? sin x , 其 中 满 足 条 件 : 对 任 意 实 数 x 及 任 意 正 数 m , 都 有

f (? x) ? f ( x) ? 0 及 f ( x ? m) ? f ( x) 的函数为
号)11.③



. (写出所有满足条件的函数的序

(松江区 2013 届高三一模 理科) 15. 过点 (1,0) 且与直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 平行的直线方程是 A. x ? 2 y ? 1 ? 0 C. 2 x ? y ? 2 ? 0 15.D ( 杨 浦 区 2013 届 高 三 一 模 理 科 ) 9. 下 列 函数 : ①
x f ( x) ? 3 , ② f ( x) ? x 3 , ③

B. x ? 2 y ? 1 ? 0 D. x ? 2 y ? 1 ? 0

f ( x) ? ln

1 ?x , ④ f ( x) ? cos 2 x
(写出

⑤ f ( x) ? ? x 2 ? 1 中,既是偶函数, 又是在区间 ?0, ? ?? 上单调递减函数为 符合要求的所有函数的序号). 9.③⑤;

( (虹口区 2013 届高三一模)17、定义域为 R 的函数 f ( x) ? ax ? b x ? c ( a ? 0) 有四
2

个单调区间,则实数 a, b, c 满足(



A. b 2 ? 4ac ? 0且a ? 0
17、C;

B. b 2 ? 4ac ? 0

C. ? b ? 0
2a

D. ? b ? 0
2a

(奉贤区 2013 届高三一模) 18、 定义域是一切实数的函数 y ? f ?x ? , 其图像是连续不断的, 且存在常数 ? ( ? ? R )使得 f ( x ? ? ) ? ? f ( x) ? 0 对任意实数 x 都成立,则称 f ( x) 是一个“ ? —伴随函数” . 有下

列关于“ ? —伴随函数”的结论:① f ( x) ? 0 是常数函数中唯一一个“ ? —伴随函数” ; ②“

1 2 —伴随函数”至少有一个零点. ;③ f ( x) ? x 是一个“ ? —伴随函数” ;其中正确 2
) B.2 个; C.3 个; D.0 个;

结论的个数是 ( A.1 个;

18. A

(奉贤区 2013 届高三一模)16、已知函数 y ? sin ax ? b (a ? 0) 的图像如左图所示,则函

数 y ? loga ( x ? b) 的图像可能是(
[来源:Z*xx*k.Com]



A.

B.

16.

C

C.

D.

(虹口区 2013 届高三一模)11、已 知正实数 x 、 y 满 足 x ? 2 y ? xy ,则 2 x ? y 的最小值 等于 .11、9;
?1

(奉贤区 2013 届高三一模)11、 (理)设函数 f ? x ? 的反函数是 f 点 ?1,2? ,则 y ? f ? x ?1? 经过点 .

? x ? ,且 f ?1 ?x ? 1? 过
x?2 (定义域 3

11.理 ?3,0?

(金山区 2013 届高三一模)1.函数 f(x)=3x–2 的反函数 f –1(x)=________.1. 不写不扣分)

?log2 x ( x ? 0) ( 黄 浦 区 2013 届 高 三 一 模 理 科 ) 9 . 已 知 函 数 f ( x) ? ? x ,且函数 ( x ? 0) ?3 F ( x) ? f ( x)? x? a 有且仅有两个零点,则实数 a 的取值范围是 .9. (??,1] ;

(浦东新区 2013 届高三一模 理科)3.函数 y ? log2 ( x ? 2) 的定义域为

[3,??)

.

( 嘉定区 2013 届高三一模 理科) 14 .设 m 、 n ? R ,定义在区间 [m , n] 上的函数

?1? f ( x) ? log2 (4? | x |) 的值域是 [0 , 2] ,若关于 t 的方程 ? ? ? m ? 1 ? 0 ( t ? R )有实数 ?2?
解,则 m ? n 的取值范围是___________. 14. [1 , 2)

|t |

( 青 浦 区 2013 届 高 三 一 模 ) 2 . 函 数 f ( x) ? 1 ? l o 2gx ( x ? 2) 的 反 函 数

f ?1 ( x) ? 2 x?1 ( x ? 2) .
(松江区 2013 届高三一模 理科)3.若函数 f ( x) ? 2 ? 3 的图像与 g ( x) 的图像关于直线
x

y ? x 对称,则 g (5) =



.3. 1

(奉贤区 2013 届高三一模)11、 (文)若函数 f ( x) ? log 2 ( x ? ) ? a 在区间 ? ,2? 内有零 x 2 点,则实数 a 的取值范围是___.文 1, log2 2

1

?1 ? ? ?

? ? ?

5

? ? ?

(浦东新区 2013 届高三一模 理科) 5. 函数 y ? 1 ? x( x ? 0 ) 的反函数是 ( x ? 1) .

y ? ( x ? 12 )

(黄浦区 2013 届高三一模 理科)12.已知函数 f ( x) ? a x ( a ? 0 且 a ? 1 )满足 f (2) ? f (3) , 若 y ? f ?1 ( x) 是 y ? f ( x) 的反函数, 则关于 x 的不等式 f ?1 (1 ? ) ? 1 的解集是

1 x

.12. (1,

1 ); 1? a

(金山区 2013 届高三一模)13.若函数 y=f(x) (x∈R)满足:f(x+2)=f(x),且 x∈[–1, 1]时,f(x) = | x |,函数 y=g(x)是定义在 R 上的奇函数,且 x∈(0, +∞)时,g(x) = log 3 x,则函数 y=f(x) 的图像与函数 y=g(x)的图像的交点个数为_______. 13.4

( 奉 贤 区 2013 届 高 三 一 模 ) 7 、 设 函 数 f ?x ? ?

x 为奇函数,则 ?x ? 1??x ? sin a ?

a?

.7. 2k? ?

?
2

,k ? Z

(嘉定区 2013 届高三一模 理科)18.设函数 y ? f ( x) 是定义在 R 上以 1 为周期的函数, 若函数 g ( x) ? f ( x) ? 2 x 在区间 [2 , 3] 上的值域为 [?2 , 6] , 则 g ( x) 在区间 [?12 , 12] 上的 值域为????????( A. [?2 , 6] ) C. [?22 , 32] D. [?20 , 34]

B. [?24 , 28]

18.D (虹口区 2013 届高三一模)13、设定义在 R 上的函数 f ( x) 是最小正周期为 2? 的偶函数, 当 x ?[0,

? ] 时, 0 ? f ( x) ? 1,且在 [0,

?

] 上单调递减,在 [ , ? ] 上单调递增,则函 2 2
. 13、20;

?

数 y ? f ( x) ? sin x 在 [? 10? , 10? ] 上的零点个数为

( 杨 浦 区 2013 届 高 三 一 模 理 科 ) 1. 若 函 数 f ?x? ? 3 x 的 反 函 数 为 f

?1

?x ? , 则

f ?1 ?1? ?

.1. 0;

(奉贤区 2013 届高三一模)9、 (理)已知函数 f ( x) ? ? 为 .9.理 ?

? sin ?x, x ? 0, 5 那么 f ( ) 的值 6 ? f ( x ? 1), x ? 0,

1 2

(青浦区 2013 届高三一模)12.已知 f ( x) ? ?

?(2 ? a) x ? 1 , x ? 1
x ?a

, x ?1

满足对任意 x1 ? x 2 都有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?3 ? ? 0 成立,那么 a 的取值范围是_____ ? ,2 ? x1 ? x2 ?2 ?
(奉贤区 2013 届高三一模)9、 (文)已知函数 f ( x ) ? ?



?log 2 x, x ? 0, ?2 ,
x

x ? 0.

若 f (a) ?

1 ,则 2

a ? _________. 文 a ? ?1 或 2
(崇明县 2013 届高三一模) 5、已知 y ? f ?1 ( x) 是函数 f ( x) ? x2 ? 2 ( x ≤ 0) 的反函数,则
f ?1 (3) ?

.

5、 ? 1

(宝山区 2013 届期末) 7.将函数 f ( x) =

? 3 sin x 的图像按向量 n ? (?a,0)( a > 0 ) 平移, 1 cos x
.

所得图像对应的函数为偶函数,则 a 的最小值为

5 ? 6

(崇明县 2013 届高三一模)14、已知 f ( x) ? m( x ? 2m)( x ? m ? 3) , g ( x) ? 2x ? 2 ,若同时满足 条件:①对于任意 x ? R , f ( x) ? 0 或 g ( x) ? 0 成立; ②存在 x ? (??, ?4) ,使得 f ( x) ? g ( x) ? 0 成立.则 m 的取值范围是 . 14、 (-4,-2)
2

( 奉贤区 2013 届高三一模) 1 、关于 x 的方程 x ? mx ? n ? 0?m, n ? R? 的一个根是

? 3 ? 2i ,则 m ? _________.1. m ? 6;

( 长宁区 2013 届高三一 模) 2 、 记函 数 y ? f ( x ) 的反 函数 为 y ? f ?1 ( x ). 如 果函 数

y ? f ( x ) 的图像过点 (1,2) ,那么函数 y ? f ?1 ( x) ? 1 的图像过点 __________ . 2、 (2,2)
(奉贤区 2013 届高三一模)5、已知 x ? 0, y ? 0, 且 数 m 的取值范围是_________.5. m ? 4 (宝山区 2013 届期末)8.设函数 f ( x) 是定义在 R 上周期为 3 的奇函数,且 f (?1) ? 2 ,则

1 1 ? ? 1, 若 x ? y ? m 恒成立,则实 x y

f (2011 ) ? (2012) f

? _.0

( 长 宁 区 2013 届 高 三 一 模 ) 5 、 设 f ( x) 为 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 当 x ? 0 时 ,
x , f ( x) ? 2 ? 2x ? b( b 为常数)

则 f (?1) ?

5、 ? 4

(宝山区 2013 届期末)14.设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 是平面直角坐标系上的两点,定义点 A 到点 B 的曼哈顿距离 L( A, B) ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 . 若点 A(-1,1),B 在 y 2 ? x 上, 则 L( A, B) 的最小值为 .

7 4
2

(长宁区 2013 届高三一模)13、 (理)已知函数 f ( x) ? ? x ? ax ? b(a, b ? R) 的值域为

(??,0] , 若 关 于 x 的 不 等 式 f ( x) ? c ? 1 的 解 集 为 (m ? 4, m ? 1) , 则 实 数 c 的 值 为

_ _ _ _ _ _ _._ 13 _、 (理) ?

21 , 4

( 宝 山 区 2013 届 期 末 ) 18. 已 知 f ( x) ? ? 是????????( D )

? x ? 1, x ? [? 1, 0),
2 ? x ? 1, x ? [0,1],

则下列函数的图像错误的

(A) f ( x ? 1) 的图像 (B) f (? x) 的图像 (C) f (| x |) 的图像 (D) | f ( x) | 的图像

( 崇 明 县 2013 届 高 三 一 模 ) 15 、 设 函 数 f ( x) ? s i nx ,x ? R , 则 下 列 结 论 错 误 的 是???????????????( A. f ( x) 的值域为 [0,1] C. f ( x) 不是周期函数 15、 C ) B. f ( x) 是偶函数 D. f ( x) 不是单调函数

y?
(长宁区 2013 届高三一模)18、 (理)函数 下列图象中的 ( )

x sin x , x ? (?? ,0) ? (0, ? ) 的图象可能是

18、 C

(黄浦区 2013 届高三一模 理科)23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满 分 3 分,第 2 小题满分 7 分,第 3 小题满分 8 分. 对于函数 y ? f ( x) 与常数 a , b ,若 f (2 x) ? af (x) ?b 恒成立,则称 ( a, b) 为函数 f ( x) 的

f (x) b ? 恒成立, 一个 “P 数对” ;若 f (2 x) ?a 则称 ( a, b) 为函数 f ( x) 的一个 “类 P 数对” . 设
函数 f ( x) 的定义域为 R ? ,且 f (1) ? 3 . (1)若 (1,1) 是 f ( x) 的一个“P 数对” ,求 f (2n )(n ? N*) ; (2)若 (?2,0) 是 f ( x) 的一个“P 数对” ,且当 x ?[1,2) 时 f ( x) ? k ? 2 x ? 3 ,求 f ( x) 在 区间 [1, 2n ) (n ? N*) 上的最大值与最小值; (3)若 f ( x) 是增函数,且 (2, ?2) 是 f ( x) 的一个“类 P 数对” ,试比较下列各组中两个 式子的大小,并说明理由.

① f (2? n ) 与 2 ? n +2 (n ? N*) ;② f ( x) 与 2 x ? 2 ( x ? (0,1]) .

[来源:Zxxk.Com]

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 7 分,第 3 小题满分 8 分. 解: (1)由题意知 f (2 x) ? f ( x) ? 1 恒成立,令 x ? 2k (k ? N*) , 可得 f (2k ?1 ) ? f (2k ) ? 1 ,∴ { f (2k )} 是公差为 1 的等差数列, 故 f (2n ) ? f (20 ) ? n ,又 f (20 ) ? 3 ,故 f (2n ) ? n ? 3 . ????????????3 分 (2)当 x ?[1,2) 时, f ( x) ? k ? | 2 x ? 3 | ,令 x ? 1 ,可得 f (1) ? k ? 1 ? 3 , 解得 k ? 4 ,即 x ?[1,2) 时, f ( x) ? 4? | 2 x ? 3 | , ?????????4 分 故 f ( x) 在 [1, 2) 上的取值范围是 [3, 4] . 又 (?2,0) 是 f ( x) 的一个“P 数对” ,故 f (2 x) ? ?2 f ( x) 恒成立, 当 x ?[2k ?1 ,2k ) (k ? N*) 时,

x 2
k ?1

?[1,2) ,
???????6 分

x x x f ( x) ? ?2 f ( ) ? 4 f ( ) ? ? ? (?2)k ?1 f ( k ?1 ) , 2 4 2
故 k 为奇数时, f ( x) 在 [2k ?1 ,2k ) 上的取值范围是 [3 ? 2k ?1 ,2k ?1 ] ;

当 k 为偶数时, f ( x) 在 [2k ?1 ,2k ) 上的取值范围是 [?2k ?1 , ?3 ? 2k ?1 ] . ???????8 分 所以当 n ? 1 时, f ( x) 在 [1, 2n ) 上的最大值为 4 ,最小值为 3; 当 n 为不小于 3 的奇数时, f ( x) 在 [1, 2n ) 上的最大值为 2 n ?1 ,最小值为 ? 2 n ; 当 n 为不小于 2 的偶数时, f ( x) 在 [1, 2n ) 上的最大值为 2n ,最小值为 ?2 n ?1 .???10 分 (3)由 (2, ?2) 是 f ( x) 的一个“类 P 数对” ,可知 f (2 x) ? 2 f ( x) ? 2 恒成立,

1 1 1 1 1 f (2 x) ? 1 恒成立,令 x ? k (k ? N*) ,可得 f ( k ) ? f ( k ?1 ) ? 1 , 2 2 2 2 2 1 1 1 即 f ( k ) ? 2 ? [ f ( k ?1 ) ? 2] 对一切 k ? N * 恒成立, 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 所以 f ( n ) ? 2 ? [ f ( n?1 ) ? 2] ? [ f ( n?2 ) ? 2] ? ? ? n [ f (1) ? 2] ? n , 2 2 2 4 2 2 2
即 f ( x) ?
[来源:Z+xx+k.Com]

故 f (2? n ) ? 2? n ? 2 (n ? N*) . 若 x ? (0,1] ,则必存在 n ? N * ,使得 x ? ( 由 f ( x) 是增函数,故 f ( x) ? f (

?????????????14 分

1 1 , ], 2n 2n?1

1 1 ) ? n?1 ? 2 , n ?1 2 2

又 2x ? 2 ? 2 ?

1 1 ? 2 ? n?1 ? 2 ,故有 f ( x) ? 2 x ? 2 .?????????????18 分 n 2 2

(金山区 2013 届高三一模)21. (本题满分 14 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分)

x 2 ? 2x ? a , x ? (0,2] ,其中常数 a > 0. 已知函数 f ( x) ? x
(1) 当 a = 4 时,证明函数 f(x)在 (0,2] 上是减函数; (2) 求函数 f(x)的最小值. 21.解:(1) 当 a ? 4 时, f ( x) ? x ? 任取 0<x1<x2≤2,则 f(x1)–f(x2)= x1 ?

4 ? 2 ,????????????????1 分 x

4 4 ( x ? x2 )(x1 x2 ? 4) ??????3 分 ? x2 ? ? 1 x1 x2 x1 x2

因为 0<x1<x2≤2,所以 f(x1)–f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2)???????????????5 分 所以函数 f(x)在 (0,2] 上是减函数;?????????????????????6 分 (2) f ( x) ? x ? 当且仅当 x ? 当0 ?

a ? 2 ? 2 a ? 2 ,????????????????????7 分 x

a 时等号成立,??????????????????????8 分

a ? 2 ,即 0 ? a ? 4 时, f ( x) 的最小值为 2 a ? 2 ,?????????10 分

当 a ? 2 ,即 a ? 4 时, f ( x) 在 (0,2] 上单调递减,?????????????11 分 所以当 x ? 2 时, f ( x) 取得最小值为

a ,??????????????????13 分 2

综上所述: f ( x) min

?2 a ? 2 ? ? ?a ? ?2

0 ? a ? 4, a ? 4.
???????????????14 分

(浦东新区 2013 届高三一模 理科)23. (本题满分 18 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题 满分 4 分,第 3 小题满分 10 分)

1 ? 2x , 0? x? ? ? 2 设函数 T ( x) ? ? ?2(1 ? x), 1 ? x ? 1 ? ? 2
(1)求函数 y ? T ? sin(

? ?

?

? ?? ? x) ? 和 y ? sin? T ( x) ? 的解析式; 2 ? ?2 ?

(2)是否存在非负实数 a ,使得 aT ( x) ? T (a x) 恒成立,若存在,求出 a 的值;若不存在, 请说明理由; (3)定义 Tn?1 ( x) ? Tn (T ( x)) ,且 T1 ( x) ? T ( x) ① 当 x ? ? 0,

?n ? N ?
?

? ?

1 ? 时,求 y ? Tn ( x) 的解析式; 2n ? ?

已 知 下 面 正 确 的 命 题 : 当 x??

? i ?1 i ? 1 ? 1 ? i ? 2n ?1) 时 , 都 有 , n ? ( i ? N ?, n 2 2 ? ?

Tn ( x) ? Tn (

i 2n -1

? x) 恒成立.
m

② 对于给定的正整数 m ,若方程 Tm ( x) ? k x 恰有 2 个不同的实数根,确定 k 的取值范围;
m 若将这些根从小到大排列组成数列 ?xn ? 1 ? n ? 2 ,求数列 ?xn ? 所有 2 项的和.

?

?

m

? ?? ? ?2sin ? 2 x ? ? ? ? ? ? ? 解: (1) 函数 y ? T ?sin( x) ? ? ? 2 ? ? ? ?? 2 ? 2sin ? ? ?2 ?

1? ? 5 ? ? x ? ? 4k , 4k + ? ? ? 4k + , 4k +2 ? k ? Z 3? ? 3 ? ? 1 5? ? ? x ? x ? ? 4k + , 4k + ? k ? Z 3 3? ? ?

? ? ? 1? x ? ?0, ? ?sin 2 ? 2x ? ? 2? ?? ? ? 函数 y ? sin ? T ( x) ? ? ? = sin ?? x ? x ? ?0,1? ??4 分 ?2 ? ? ? ?1 ? sin ? 2-2x ? x ? ? ,1? ? ?2 ? ? 2

1 ? 1 ? 2ax, 0? x? 2 ax , 0 ? ax ? ? ? ? 2 ? 2 (2) y ? aT ( x ) ? ? , y ? T (ax) ? ? ??6 分 1 1 ?2a(1 ? x), ? x ? 1 ?2(1 ? ax), ? ax ? 1 ? ? ? 2 ? 2

当 a ? 0 时,则有 a(T ( x)) ? T (ax) ? 0 恒成立. 当 a ? 0 时,当且仅当 a ? 1 时有 a(T ( x)) ? T (ax) ? T ( x) 恒成立. 综上可知当 a ? 0 或 a ? 1 时, a(T ( x)) ? T (ax) 恒成立;?????????8 分 (3)① 当 x ? ? 0,

? ?

1 1 ? 时,对于任意的正整数 j ? N ?, 1 ? i ? n ?1 ,都有 0 ? 2 j x ? n ? 2 2 ?
2 j n?1

故有 y ? Tn ( x) ? Tn?1 (2x) ? Tn?2 (2 x) ? ? ? Tn? j (2 x) ? ? ? T (2 ② 由①可知当 x ? ? 0,

x) ? 2n x ?13 分

? ?

1 ? 时,有 Tn ( x) ? 2n x ,根据命题的结论可得, n ? 2 ?
时,有

当 x??

? 1 2 ? ? 0 2 ? , n ?? n, n ? n ?2 2 ? ? ?2 2 ?

1 ? 0 1 ? ? 0 2 ? ? x?? n , n ? ? ? n , n ? , n ?1 2 ?2 2 ? ?2 2 ?

故有 Tn ( x) ? Tn (

1 1 ? x)=2n ( n ?1 ? x) ? ?2n x ? 2 . n ?1 2 2

因此同理归纳得到,当 x ? ?

? i i ?1 ? 0 ? i ? 2n ?1) 时, , n ? ( i ? N, n ?2 2 ?

n 1 1 ? ?2 x ? i, i 是偶数 ????????15 分 Tn ( x) ? (?1)i (2n x ? i ? ) ? = ? n 2 2 ? ? 2 x ? i ? 1 , i 是奇数 ?

对于给定的正整数 m , x ? ?

? i i ?1 ? 0 ? i ? 2m ?1) 时, , m ? ( i ? N, m 2 2 ? ?

解方程 Tm ( x) ? kx 得, x ?

? 2i ? 1? ? (?1)i ,
2m?1 ? (?1)i 2k
m

要使方程 Tm ( x) ? kx 在 x ?? 0,1 ? 上恰有 2 个不同的实数根,

2i ? 1? ? (?1)i i ? 1 ? i 对于任意 i ? N, 恒成立, 0 ? i ? 2 ?1,必须 m ? m?1 ? 2 2 ? (?1)i 2k 2m
m

解得 k ? ( 0 ,

2m ) , 若将这些根从小到大排列组成数列 ?xn ? , 2m ? 1

由此可得 xn

2n ? 1? ? (?1)n ? ? 2m?1 ? (?1)n 2k
m

1 ? i ? 2 ? .????????17 分 ?n ? N ,
? m

故数列 ?xn ? 所有 2 项的和为:

S ? x1 ? x2 ?? x2m ?1 ? x2m

?

0 ? 2 ? 4 ? ? ? (2m ? 2) 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2m 2m ?1 (4m ? 2k ) ? ? .??18 分 2m ? k 2m ? k 4m ? k 2
2013 届 高 三 一 模 ) 19 、 ( 本 题 满 分 12 分 ) 已 知

( 长 宁 区

?? ? ?? ? m ? (2 cos x ? 2 3 sin x ,1),n ? (cosx , ?y ) m ,满足 ? n ? 0 .
(1)将 y 表示为 x 的函数 f ( x) ,并求 f ( x) 的最小正周期; (2) (理) 已知 a, b, c 分别为 ?ABC 的三个内角 A, B, C 对应的边长, 若 f( 求 b ? c 的取值范围.

A ) ? 3, 且a ? 2, 2

19、解(1)由 m ? n ? 0 得 2 cos x ? 2 3 sin x cos x ? y ? 0 ????3 分
2

?? ?
2

即 y ? 2 cos x ? 2 3 sin x cos x ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 1 ? 2sin(2 x ? 所以 f ( x) ? 2sin(2 x ?

?
6

) ?1

?
6

) ? 1 ,其最小正周期为 ? .

????6分

(2) (理)因为 f ( ) ? 3 ,则

A?

?
6

A 2

? 2 k? ?

?
2

, k ? Z .因为 A 为三角形内角,所以 A ? 4 4 3 sin B , c ? 3 sin C , 3 3

?
3

????9分

法一:由正弦定理得 b ?

b?c ?

4 3 4 3 4 3 4 3 2? ? sin B ? sin C ? sin B ? sin( ? B) ? 4 sin( B ? ) 3 3 3 3 3 6

,? sin( B ?

?

1 ) ? ( ,1] ,? b ? c ? (2,4] , 6 2
????12分

所以 b ? c 的取值范围为 (2, 4] 法二: a ? b ? c ? 2bc cos
2 2 2

?
3

,因此 4 ? (b ? c) ? 3bc ,
2

因为 bc ?

(b ? c) 2 (b ? c) 2 2 ,所以 4 ? (b ? c) ? , (b ? c) 2 ? 16 , 4 4
????12分

? b ? c ? 4 .又 b ? c ? 2 ,所以 b ? c 的取值范围为 (2, 4]
(文) (2)? 0 ? x ? 分 由 a ? f ( x) 恒成立,得 a ? [ f ( x)]min ? 2 , 所以实数 a 的取值范围是 (??,2) .

?
3

,?

?
6

? 2x ?

?
6

?

1 5? ? ,因此 sin( 2 x ? ) 的最小值为 ,????9 2 6 6

???12分

(宝山区 2013 届期末)21.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知函数 f ( x) ? log 2 (4x ? b ? 2x ? 4) , g ( x) ? x . (1)当 b ? ?5 时,求 f ( x) 的定义域; (2)若 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求 b 的取值范围. 解: (1)由 4 x ? 5 ? 2 x ? 4 ? 0 ??????????????????3 分 解得 f ( x) 的定义域为 (??,0) ? (2, ??) .?????????6 分

4 ? ? (2)由 f ( x) ? g ( x) 得 4 x ? b ? 2 x ? 4 ? 2 x ,即 b ? 1 ? ? 2 x ? x ? ????????9 分 2 ? ? 4 ? 令 h( x ) ? 1 ? ? 2 x ? x 2 ? ? ? ,则 h( x) ? ?3 ,??????????????????12 分 ?

? 当 b ? ?3 时, f ( x) ? g ( x) 恒成立.??????????????????14 分
( 长 宁 区 2013 届 高 三 一 模 ) 22 . ( 本 小 题 满 分 18 分 ) ( 理 ) 已 知 函 数

f ( x) ? 1 ? x ? 1 ? x 。
(1)求函数 f ( x ) 的定义域和值域; (2)设 F ( x) ?

a ? ? f 2 ( x) ? 2 ? ,求 F ( x) 在 a ? 0 时的最大值 g (a ) ; ? ? f ( x) ( a 为实数) 2 ?

(3)对(2)中 g (a ) ,若 ?m2 ? 2tm ? 2 ? g (a) 对 a ? 0 所有的实数 a 及 t ? [?1,1] 恒成 立,求实数 m 的取值范围。

(文)已知二次函数 f ? x ? ? ax2 ? ? a ? 1? x ? a 。 (1)函数 f ? x ? 在 ? ?? , ? 1? 上单调递增,求实数 a 的取值范围;

? 2 在 x ??1, 2? 上恒成立,求实数 a 的取值范围; x 1 ? ? a ? 1? x 2 (3)函数 g ? x ? ? f ? x ? ? 在 ? 2 , 3? 上是增函数,求实数 a 的取值范围。 x
(2)关于 x 的不等式 22、 (理)解: (1) 由 1+x≥0 且 1-x≥0,得-1≤x≤1,所以定义域为 [?1,1] ????2 分 又 f ( x)2 ? 2 ? 2 1 ? x2 ?[2, 4], 由 f ( x ) ≥0 得值域为 [ 2, 2] ????4 分

f ? x?

a ?? f 2 ( x) ? 2 ? ? f ( x) ? a 1 ? x 2 ? 1 ? x ? 1 ? x ? ? 2 1 2 2 令 t ? f ( x) ? 1 ? x ? 1 ? x ,则 1 ? x ? t ? 1 , 2 1 2 1 2 ∴ F ( x) ? m(t ) ? a ( t ? 1 )+t= at ? t ? a, t ? [ 2, 2] ????6 分 2 2 1 2 由题意知 g(a)即为函数 m(t ) ? at ? t ? a, t ? [ 2, 2] 的最大值。 2 1 1 2 注意到直线 t ? ? 是抛物线 m(t ) ? at ? t ? a 的对称轴。????7 分 a 2
(2)因为 F ( x) ? 因为 a<0 时,函数 y=m(t), t ?[ 2, 2] 的图象是开口向下的抛物线的一段, ①若 t ? ?

1 2 ? (0, 2] ,即 a ? ? 则 g (a) ? m( 2) ? 2 ????8 分 a 2 1 1 1 2 1 ? ( 2, 2] ,即 ? ????10 分 ? a ? ? 则 g ( a ) ? m( ? ) ? ? a ? a a 2a 2 2 1 1 ? (2, ??) ,即 ? ? a ? 0 则 g (a) ? m(2) ? a ? 2 a 2
????11 分

②若 t ? ? ③若 t ? ?

? a ? 2, ? 1 2 1 ? , ? ?a?? , 综上有 g ( a ) ? ? ? a ? 2a 2 2 ? ? 2 ? 2, a?? 2

a??

1 2

????12 分

(3)易得 gmin (a) ? 2 , 由 ?m2 ? 2tm ? 2 ? g (a) 对 a ? 0 恒成立,

????14 分

即要使 ?m2 ? 2tm ? 2 ? gmin (a) ? 2 恒成立,????15 分

? m2 ? 2tm ? 0 ,令 h ?t ? ? ?2mt ? m2 ,对所有的 t ???1,1? , h ?t ? ? 0 成立,

?h(?1) ? 2m ? m 2 ? 0 只需 ? , 2 ? h(1) ? ?2m ? m ? 0

????17 分

求出 m 的取值范围是 m ? ?2, 或m=0,或m ? 2 . ????18 分 (文)解: (1)当 a ? 0 时, f ( x) ? ? x ,不合题意;?????1 分

当 a ? 0 时, f ? x ? 在 ? ?? , ? 1? 上不可能单调递增;?????2 分

当 a ? 0 时,图像对称轴为 x ? ? 由条件得 ?

a ?1 , 2a
?????4 分

a ?1 ? ?1 ,得 a ? ?1. 2a f ( x) 1 ? a( x ? ) ? a ? 1 , x x 1 5 ? [2, ] , x 2

(2)设 h( x) ?

?????5 分

当 x ? [1,2] 时, x ?

?????7 分

因为不等式 所以, ?

f ? x? x

? 2 在 x ??1, 2? 上恒成立, 所以 h( x) 在 x ? [1,2] 时的最小值大于或等于 2,

? a?0 ? a?0 ? ? , ?????9 分 或? 5 a ? a ? 1 ? 2 2 a ? a ? 1 ? 2 ? ? ?2 ?
?????10 分
2

解得 a ? 1 。 (3) g ( x) ? ax ?

1 ? a 在 ? 2 , 3? 上是增函数,设 2 ? x1 ? x2 ? 3 ,则 g ( x1 ) ? g ( x2 ) , x

ax1 ?

2

x ? x2 1 1 2 ,?????12 分 ? a ? ax2 ? ? a , a( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ? 1 x1 x2 x1 x2
1 , x1 x 2 ( x1 ? x 2 )
?????14 分

因为 2 ? x1 ? x2 ? 3 ,所以 a ?



1 1 1 ?( , ), x1 x2 ( x1 ? x2 ) 54 16
1 . 16

?????16 分

所以 a ?

?????18 分

(崇明县 2013 届高三一模)22、 (本题 16 分,第(1)小题 4 分;第(2)小题 6 分;第(3)小题 6 分) 设函数 fn ( x) ? xn ? bx ? c (n ? N ? , b, c ? R) .

1 (1)当 n ? 2, b ? 1, c ? ?1 时,求函数 f n ( x) 在区间 ( ,1) 内的零点; 2 1 (2)设 n ≥ 2, b ? 1, c ? ?1 ,证明: f n ( x) 在区间 ( ,1) 内存在唯一的零点; 2
(3)设 n ? 2 ,若对任意 x1 , x2 ? ? ?1,1? ,有 f 2 ( x1 ) ? f 2 ( x2 ) ≤ 4 ,求 b 的取值范围.

22、解: (1) f 2 (x)=x 2 +x-1,令 f 2 (x)=0 ,得 x =

-1 ? 5 , 2 -1+ 5 。 2

所以 f 2 (x)在区间( ,1)内的零点是x= (2)证明:因为 f n ( 在零点。

1 2

1 1 1 )<0 , f n (1)>0 。所以 f n ( ) ? f n (1)<0 。所以 f n (x) 在 ( , 1) 内存 2 2 2 x ,则 < fn 2
n (x )-f x1 n ) = 2( x - 1 ),所以 x(x) )在 <0 fn 2 ( x 2+ ( x -

1 任取x1、x 2? ( , 1且 ), 2

1

1n

1 1 ( , 1) 内单调递增,所以 f n (x) 在 ( , 1) 内存在唯一零点。 2 2
(3)当 n=2 时,f2(x)=x2+bx+c. 对任意 x1, x2∈[-1,1]都有|f2(x1)-f2(x2)|≤4 等价于 f2(x)在[-1,1]上的 最大值与最小值之 差 M≤4.

据此分类讨论如下: ①当 | | ? 1 ,即|b|>2 时,M=|f2(1)-f2(-1)|=2|b|>4,与题设矛盾。

b 2

b b b <0,即 0<b≤2 时,M=f2(1)-f2( ? )=( +1)2≤4 恒成立. 2 2 2 b b b ③当 0≤ ? ≤1,即-2≤b≤0 时,M=f2(-1)-f2( ? )=( -1)2≤4 恒成立. 2 2 2
②当-1≤ ? 综上可知,-2≤b≤2. 注:②,③也可合并证明如下: 用 max{a,b}表示 a,b 中的较大者.
[来源 :学&科 &网 Z&X&X&K]

b b ≤1,即-2≤b≤2 时,M=max{f2(1),f2(-1)}-f2( ? ) 2 2 f 2 (?1) ? f 2 (1) | f 2 (?1) ? f 2 (1) | b ? ? f 2 (? ) = 2 2 2 2 b =1+c+|b|-( ? +c) 4 |b| 2 =(1+ ) ≤4 恒成立. 2
当-1≤ ?

(奉贤区 2013 届高三一模)23、 (理)设函数 f ( x) ? x ? 域为 ( 0 , ? ? ) ,且 f (2) ?

a 定义 x

设点 P 是函数图像上的任意一点,过点 P 分别作直线 y ? x 和 N. y 轴的垂线,垂足分别为 M 、 (1)写出 f ?x ? 的单调递减区间(不必证明) ; (4 分) (2)问: PM ? PN 是否为定值?若是,则求出该定值, 若不是,则说明理由; (7 分) (3)设 O 为坐标原点,求四边形 OMPN 面积的最小值.(7 分)

5 . 2

23、解: (1) 、因为函数 f ( x) ? x ? 所以

a 5 的图象过点 A(2, ) , x 2
2分 4分

5 a ? 2? ? a ?1 2 2

函数 f ( x ) 在 (0,1) 上是减函数.

(2) 、 (理)设 P? ? x0 , x0 ?

? ?

1 x0

? ? ? ? ? ? ? ? ?? x ? x 0 ? ?

5分

直线 PM 的斜率 ? 1 则 PM 的方程 y ? ? ? x0 ?

? ?

1 x0

6分

?y ? x ? 联立 ? ? 1 ? ? ?? x ? x 0 ? ?y ? ? ? x0 ? x ? ? 0 ? ? ?
? 1 1 M? ? x0 ? 2 x , x0 ? 2 x 0 0 ? ? ? ? ?
9分

? 1? N? ? 0, x0 ? x ? ? 0 ? ?
? 1 1 ? 1 PA ? ? ? x ,? x ? ?, PB ? ?? x 0 ,0 ? ,? PA ? PB ? ? 2 0 ? ? 0
(2) 、 (文)设 P? ? x0 , x0 ? 11 分

? ?

1 x0

? ? ? ?

5分 6分

直线 PM 的斜率为 ? 1 则 PM 的方程 y ? ? ? x0 ?

? ?

1 x0

? ? ? ? ?? x ? x 0 ? ?

7分

?y ? x ? 联立 ? ? 1 ? ? ?? x ? x 0 ? ?y ? ? ? x0 ? x ? ? 0 ? ? ?
? 1 1 M? x ? , x ? 0 0 ? 2 x0 2 x0 ? ? ? ? ?

8分

11 分

3、

PM ?

x0 ? y 0 2

?

1 2 x0

12 分

? 1 ? OM ? 2 ? ? x0 ? 2 x ? ? 0 ? ?
∴ S ?OPM ?

13 分

? 1 1 ? 2 ?? x0 ? ? 2 2 x0 ?

? ? 1 1? ? 1 ? ? ? ? 2 x ? 2 ? 2 x 2 ? 1? , ? 0 ? 0 ?

14 分

? 1? N? ? 0, x0 ? x ? ? 0 ? ? S ?OPN ? 1 ? 1? 1 2 1 ?? x0 ? ? ? x0 ? x0 ? , ? ? 2 ? x0 ? 2 2
1 2 1 ( x0 ? 2 ) ? 1 , 2 2 x0
17 分 15 分

∴ S OMPN ? S ?OPM ? S ?OPN ?

16 分

SO M P N ? 1?

2 2
4

当且仅当 x 0 ?

1 时,等号成立. 2
2 . 2
18 分

∴ 此时四边形 OMPN 面积有最小值 1 ?

( 奉贤区 2013 届高三一模) 23 、 (文)设函数 f ( x) ? x ?

a 定义域为 x

( 0 , ? ? ) ,且 f (2) ?

设点 P 是函数图像上的任意一点,过点 P 分别作直线 y ? x 和 N. y 轴的垂线,垂足分别为 M 、 (1)写出 f ?x ? 的单调递减区间(不必证明) ; (4 分)

5 . 2

(2)设点 P 的横坐标 x0 ,求 M 点的坐标(用 x0 的代数式表示) ; (7 分) (3)设 O 为坐标原点,求四边形 OMPN 面积的最小值.(7 分) 23、解: (1) 、因为函数 f ( x) ? x ? 所以

a 5 的图象过点 A(2, ) , x 2
2分 4分

5 a ? 2? ? a ?1 2 2

函数 f ( x ) 在 (0,1) 上是减函数. (2) 、 (理)设 P? ? x0 , x0 ?

? ?

1 x0

? ? ? ? ? ? ? ? ?? x ? x 0 ? ?

5分

直线 PM 的斜率 ? 1 则 PM 的方程 y ? ? ? x0 ?

? ?

1 x0

6分

?y ? x ? 联立 ? ? 1 ? ? ?? x ? x 0 ? ?y ? ? ? x0 ? x ? ? 0 ? ? ?
? 1 1 M? ? x0 ? 2 x , x0 ? 2 x 0 0 ? ? ? ? ?
9分

? 1? ? N? 0 , x ? 0 ? ? x 0 ? ?
? 1 1 ? 1 PA ? ? ? x ,? x ? ?, PB ? ?? x 0 ,0 ? ,? PA ? PB ? ? 2 0 ? ? 0
(2) 、 (文)设 P? ? x0 , x0 ? 11 分

? ?

1 x0

? ? ? ?

5分 6分

直线 PM 的斜率为 ? 1 则 PM 的方程 y ? ? ? x0 ?

? ?

1 x0

? ? ? ? ?? x ? x 0 ? ?

7分

?y ? x ? 联立 ? ? 1 ? ? ?? x ? x 0 ? ?y ? ? ? x0 ? x ? ? 0 ? ? ?

8分

? 1 1 M? ? x0 ? 2 x , x0 ? 2 x 0 0 ?

? ? ? ?

11 分

3、

PM ?

x0 ? y 0 2

?

1 2 x0

12 分

? 1 ? OM ? 2 ? ? x0 ? 2 x ? ? 0 ? ?
∴ S ?OPM ?

13 分

? 1 1 ? 2 ?? x0 ? ? 2 2 x0 ?

? ? 1 1? ? 1 ? 1? , ? ? ? 2 ? 2x ? 2? ? 0 ? 2 x0 ?

14 分

? 1? ? N? 0 , x ? 0 ? ? x 0 ? ? S ?OPN ? 1 ? 1? 1 2 1 ?? x0 ? ? ? x0 ? x0 ? , ? ? 2 ? x0 ? 2 2
1 2 1 ( x0 ? 2 ) ? 1 , 2 2 x0
17 分 15 分

∴ S OMPN ? S ?OPM ? S ?OPN ?

16 分

SO M P N ? 1?

2 2
4

当且仅当 x 0 ?

1 时,等号成立. 2
2 . 2
18 分

∴ 此时四边形 OMPN 面积有最小值 1 ?

(虹口区 2013 届高三一模)23、 (本题满分 18 分)如果函数 y ? f ( x) 的定义域为 R ,对 于定义域内的任意 x ,存在实数 a 使得 f ( x ? a) ? f (? x) 成立,则称此函数具有“ P ( a ) 性 质” . (1)判断函数 y ? sin x 是否具有“ P ( a ) 性质” ,若具有“ P ( a ) 性质”求出所有 a 的值; 若不具有“ P ( a ) 性质” ,请说明理由.

( 2 )已知 y ? f ( x) 具有“ P (0) 性质” ,且当 x ? 0 时 f ( x) ? ( x ? m)2 ,求 y ? f ( x) 在

[0, 1] 上的最大值.
(3)设函数 y ? g ( x) 具有“ P(?1) 性质” ,且当 ? 与 y ? mx 交点个数为 2013 个,求 m 的值.

1 1 ? x ? 时, g( x) ? x .若 y ? g ( x) 2 2

23 、 ( 18 分)解: ( 1 )由 sin(x ? a) ? sin( ? x) 得 sin(x ? a) ? ? sin x ,根据诱导公式得

a ? 2k? ? ? (k ? Z ) .? y ? sin x 具有“ P (a ) 性质” ,其中 a ? 2k? ? ? (k ? Z ) .
??????4 分 (2)? y ? f ( x) 具有“ P (0) 性质” ,? f ( x) ? f (? x) .
2 2 设 x ? 0 ,则 ? x ? 0 ,? f ( x) ? f (? x) ? (? x ? m) ? ( x ? m)
2 ? ?( x ? m) ? f ( x) ? ? 2 ? ?( x ? m)

x?0 x?0

????????6 分

当 m ? 0 时,? y ? f ( x) 在 [0, 1] 递增,? x ? 1 时 ymax ? (1 ? m)2 当 0?m?

1 时 , ? y ? f ( x) 在 [0, m] 上 递 减 , 在 [m, 1] 上 递 增 , 且 2
[来源:Zxxk.Com]

f (0) ? m2 ? f (1) ? (1 ? m)2 , ? x ? 1 时 ymax ? (1 ? m)2
当 m?

1 时 , ? y ? f ( x) 在 [0, m] 上 递 减 , 在 [m, 1] 上 递 增 , 且 2

f (0) ? m2 ? f (1) ? (1 ? m)2 ,? x ? 0 时 ymax ? m2
综上所述:当 m ?

1 1 时, ymax ? f (1) ? (1 ? m)2 ;当 m ? 时, ymax ? f (0) ? m2 2 2

????????????11 分 (3)? y ? g ( x) 具有“ P(?1) 性质” ,? g (1 ? x) ? g (? x) , g (?1 ? x) ? g (? x) ,

? g ( x ? 2) ? g (1 ? 1 ? x) ? g (?1 ? x) ? g ( x) ,从而得到 y ? g ( x) 是以 2 为周期的函数.
源:学,科,网 Z,X,X,K]

[来

又设

1 3 1 1 ? x ? ,则 ? ? 1 ? x ? , 2 2 2 2

g( x) ? g( x ? 2) ? g(?1 ? x ? 1) ? g(?x ? 1) ? ? x ? 1 ? x ? 1 ? g ( x ? 1) .

1 1 ? x ? n ? ( n? z ) , 2 2 1 1 1 1 当 n ? 2k ( k ? z ) , 2k ? ? x ? 2k ? 则 ? ? x ? 2 k ? , 2 2 2 2
再设 n ?

g( x) ? g( x ? 2k ) ? x ? 2k ? x ? n ;


n ? 2k ? 1 ( k ? z

),

2k ? 1 ?

1 1 ? x ? 2k ? 1 ? 2 2



1 3 ? x ? 2k ? 2 2



g( x) ? g( x ? 2k ) ? x ? 2k ?1 ? x ? n ;
? 对于,n ?
1 1 1 1 ? x ? n ? ( n? z ) ,都有 g ( x) ? x ? n ,而 n ? 1 ? ? x ? 1 ? n ? 1 ? , 2 2 2 2

? g( x ? 1) ? ( x ? 1) ? (n ? 1) ? x ? n ? g( x) ,? y ? g ( x) 是周期为 1 的函数.
①当 m ? 0 时,要使得 y ? mx 与 y ? g ( x) 有 2013 个交点,只要 y ? mx 与 y ? g ( x) 在

[0, 1006 ) 有 2012 个交点,而在 [1006 , 1007] 有一个交点.? y ? mx 过 (
从而得 m ?

2013 , 2

1 ), 2

1 2013 1 2013

②当 m ? 0 时,同 理可得 m ? ? ③当 m ? 0 时,不合题意. 综上所述 m ? ?

1 ??????????18 分 2013

(青浦区 2013 届高三一模)23.(本题满分 18 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分, 第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 我们把定义在 R 上,且满足 f ( x ? T ) ? af ( x) (其中常数 a, T 满足 a ? 1, a ? 0, T ? 0 )的 函数叫做似周期函数. (1)若某个似周期函数 y ? f ( x) 满足 T ? 1 且图像关于直线 x ? 1 对称.求证:函数 f ( x) 是偶函数; (2)当 T ? 1, a ? 2 时,某个似周期函数在 0 ? x ? 1 时的解析式为 f ( x) ? x(1 ? x) ,求函 数 y ? f ( x) , x ? ?n , n ? 1?, n ? Z 的解析式;
x (3)对于确定的 T ? 0且0 ? x ? T 时, f ( x) ? 3 ,试研究似周期函数函数 y ? f ( x) 在区

间 (0,??) 上是否可能是单调函数?若可能,求出 a 的取值范围;若不可能,请说明理由.

解:因为 x ? R 关于原点对称,????????????????????1 分 又函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? 1 对称,所以

f (1 ? x) ? f (1 ? x) ①
又 T ? 1 ,? f ( x ? 1) ? af ( x) ,

?????????????????????2 分

用 ? x 代替 x 得 f (? x ? 1) ? af (? x) , ③ ?????????????????3 分 由①②③可知 af ( x) ? af (? x) , ? a ? 1且 a ? 0 ,

? f ( x) ? f (? x) .即函数 f ( x) 是偶函数;????????????????4 分
(2)当 n ? x ? n ? 1 (n ? Z ) 时, 0 ? x ? n ? 1 (n ? Z )

f ( x) ? 2 f ( x ? 1) ? 2 2 f ( x ? 2) ? ? ? 2 n f ( x ? n) ? 2 n ( x ? n)(n ? 1 ? x) ;??10 分
(3)当 nT ? x ? (n ? 1 )T (n ? N ) 时, 0 ? x ? nT ? T (n ? N )

f ( x) ? af ( x ? T ) ? a 2 f ( x ? 2T ) ? ? ? a n f ( x ? nT) ? a n 3x?nT ???????12 分
显然 a ? 0 时,函数 y ? f ( x) 在区间 (0,??) 上不是单调函数 ???????13 分

n x ?nT 又 a ? 0 时, f ( x) ? a 3 , x ? (nT, (n ? 1)T ], n ? N 是增函数,

此时 f ( x) ? (a , a 3 ], x ? (nT, (n ? 1)T ], n ? N ??????????????14 分
n n T

若函数 y ? f ( x) 在区间 (0,??) 上是单调函数,那么它必须是增函数,则必有

a n?1 ? a n 3T ,
解得 a ? 3
T

?????????????????????16 分 ?????????????????????18 分



(嘉定区 2013 届高三一模 理科)23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满 分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 设 a ? R ,函数 f ( x) ? x? | x ? a | ?2 x . (1)若 a ? 2 ,求函数 f ( x) 在区间 [0 , 3] 上的最大值;

(2)若 a ? 2 ,写出函数 f ( x) 的单调区间(不必证明) ; (3)若存在 a ? [?2 , 4] ,使得关于 x 的方程 f ( x) ? t ? f (a) 有三个不相等的实数解, 求实数 t 的取值范围.

23. (本题满分 18 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 8 分)
2 ? x? 2; ?x , (1)当 a ? 2 , x ? [0 , 3] 时, f ( x) ? x? | x ? 2 | ?2 x ? ? ?(2 分) 2 ? ?? x ? 4 x , 0 ? x ? 2 .

作函数图像(图像略) ,可知函数 f ( x) 在区间 [0 , 3] 上是增函数,所以 f ( x) 的最大值为

f (3) ? 9 .????(4 分)
(2) f ( x) ? ?
2 ? ? x ? (2 ? a) x , x ? a , ??(1 分) ?? x 2 ? ( 2 ? a ) x , x ? a . ?

y

a ? 2 ? (a ? 2) ? ①当 x ? a 时, f ( x) ? ? x ? , ? ? 2 ? 4 ?
2

2

因为 a ? 2 ,所以

a?2 ? a, 2

O a?2 a

x

2

所以 f ( x) 在 [a , ? ?) 上单调递增.????(3 分) ②当 x ? a 时, f ( x) ? ?? x ?

? ?

a ? 2 ? (a ? 2) 2 , ? ? 2 ? 4

2

因为 a ? 2 ,所以

a?2 a ? 2? ? ?a ? 2 ? ? a ,所以 f ( x) 在 ? ? ? , 上单调递增,在 ? , a ? 上单 ? 2 2 ? ? ? 2 ?

调递减.????(5 分) 综上,函数 f ( x) 的单调递增区间是 ? ? ? ,

? ?

a ? 2? 和 [ a , ? ?) , 2 ? ?

单调递减区间是 ?

?a ? 2 ? , a ? .??????(6 分) ? 2 ?
a?2 a?2 ?0, ? 0 ,所以 f ( x) 在 (?? , ? ?) 上是增函数, 2 2

(3)①当 ? 2 ? a ? 2 时,

关于 x 的方程 f ( x) ? t ? f (a) 不可能有三个不相等的实数解.????(2 分) ② 当 2 ? a ? 4 时 , 由 ( 1 ) 知 f ( x) 在 ? ? ? ,

? ?

a ? 2? 和 [a , ? ?) 上 分 别 是 增 函 数, 在 2 ? ?

(a ? 2) 2 ?a ? 2 ? 2 a ? t ? f ( a ) ? 上是减函数,当且仅当 时,方程 f ( x) ? t ? f (a) 有三 , a ? ? 4 ? 2 ?
个不相等的实数解. 即1 ? t ?

(a ? 2) 2 1 ? ? ? ? ? a ? ? 4 ? .????(5 分) 8a 8? a ?
4 , g (a ) 在 a ? (2 , 4] 时是增函数,故 g (a) max ? 5 .????(7 分) a

令 g (a) ? a ?

所以,实数 t 的取值范围是 ?1 ,

? ?

9? ? .????(8 分) 8?

(杨浦区 2013 届高三一模 理科)22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满 分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分.

已知函数 f ( x) ?

x ?2

1 x 1

( x ? 0) 的值域为集合 A ,

(1)若全集 U ? R ,求 CU A ; (2)对任意 x ? ? 0 ,

? ?

1? ,不等式 f ?x ? ? a ? 0 恒成立,求实数 a 的范围; 2? ?

(3)设 P 是函数 f ?x ? 的图像上任意一点,过点 P 分别向直线 y ? x 和 y 轴作垂线,垂足 分别为 A 、 B ,求 PA ? PB 的值. 22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. (1)由已知得,? 当且仅当 x ?

x ? 0 ,则 f ( x) ? x ?

2 ?2 2 x

………1 分

2 时,即 x ? 2 等号成立, x

? M ? 2 2, ??

?

?

………3 分

所以, CU M ? ? ? , 2 2 (2)由题得 a ? ?? x ?

?

?

………4 分 ………5 分

? ?

2? ? x?

函数 y ? ?? x ?

? ?

9 2? ? 1? ? 在 x ? ? 0 , ? 的最大值为 ? 2 x? ? 2?
………10 分

………9 分

?a ? ?

9 2

(3)设 P? ? x0 , x0 ?

? ?

2 x0

? ? 2 ? ? PA y ? x ? ,则直线 的方程为 0 ? ? x0 ? ?

? ? ? ? ?? x ? x 0 ? , ?

即 y ? ? x ? 2 x0 ?

2 , x0
得 A( x0 ?

………11 分

?y ? x ? 由? 2 ? y ? ? x ? 2 x0 ? x 0 ?
又 B? ? 0, x 0 ?

1 1 , x0 ? ) x0 x0

………13 分

? ?

2 x0

? ? ?, ?

………14 分

所以 PA ? ( 分

1 1 1 ,? ) , PB ? (? x0 ,0) ,故 PA ? PB ? (? x0 ) ? ?1 x0 x0 x0

………16


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