上海市17区县2013届高三(数学理科)分类汇编：专题一+函数

专题一 函数
2013 年 2 月 （松江区 2013 届高三一模 理科）18．设 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数，对任意 x ? R ，都 有 f ( x ? 2) ? f ( x ? 2), 且当 x ? [?2, 0] 时， f ( x) ? ( ) ?1 ．若在区间 (?2, 6] 内关于 x 的
x

1 2

方程 f ( x) ? loga ( x ? 2) ? 0(a ? 1) 恰有 3 个不同的实数根，则实数 a 的取值范围是 A． (1, 2) 18．D （浦东新区 2013 届高三一模 理科） 16． 已知函数 f ( x ) ? 为奇函数，则实数 m 为 （ C ） B． (2, ??) C． (1, 3 4) D． ( 3 4, 2)

1 1 ， 若函数 y ? f ( x ? m) ? 4 4 ?2
x

( A) ?

1 2

( B) 0

(C )

1 2

( D) 1

（黄浦区 2013 届高三一模 理科）17．若 f ( x ) 是 R 上的奇函数，且 f ( x) 在 [0, ??) 上单调

y ?| f ( x) | 递 增 ， 则 下 列 结 论 ： ① 是 偶函数；②对任意的 x ? R 都有 f (? x)? | f ( x) |? 0 ；③ y ? f (? x) 在 (??,0] 上单调递增； ④ y ? f ( x) f (? x) 在 (??,0] 上单调递增．其中正确结论的个数为
A．1 17．B （青浦区 2013 届高三一模）18．已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的单调增函数且为奇函数， 数列 ?an ? 是等差数列， a1007 ? 0 ，则 f (a1 ) ? f (a2 ) ? f (a3 ) ? ? ? f (a2012 ) ? f (a2013 ) 的 值????????????（ A ） ． A .恒为正数 B. 恒为负数 C .恒为 0 B．2 C．3 D． 4

D .可正可负

（浦东新区 2013 届高三一模 理科）18．定义域为 ? a, b? 的函数 y ? f ( x) 图象的两个端点 为 A, B ， 向 量 ON ? ? OA ， M ( x, y ) 是 f ( x ) 图 象 上 任 意 一 点 ， 其 中 ? (1? ? ) OB

????

??? ?

??? ?

x ? ? a ? (1? ?) b, ? ??0,1? . 若不等式 MN ? k 恒成立，则称函数 f ( x) 在 ? a, b? 上满足
“ k 范围线性近似”， 其中最小的正实数 k 称为该函数的线性近似阀值． 下列定义在 ?1, 2? 上函 数中，线性近似阀值最小的是 （ D ）

( A) y ? x 2

( B) y ?

2 x

(C ) y ? sin

?
3

x

( D) y ? x ?

1 x

（松江区 2013 届高三一模 理科） 11． 给出四个函数： ① f ( x) ? x ?

1 ， ② g ( x) ? 3 x ? 3? x ， x

③ u( x) ? x 3 ， ④ v( x) ? sin x ， 其 中 满 足 条 件 ： 对 任 意 实 数 x 及 任 意 正 数 m ， 都 有

f (? x) ? f ( x) ? 0 及 f ( x ? m) ? f ( x) 的函数为
号）11．③

▲

． （写出所有满足条件的函数的序

（松江区 2013 届高三一模 理科） 15． 过点 (1,0) 且与直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 平行的直线方程是 A． x ? 2 y ? 1 ? 0 C． 2 x ? y ? 2 ? 0 15．D （ 杨 浦 区 2013 届 高 三 一 模 理 科 ） 9. 下 列 函数 ： ①
x f ( x) ? 3 , ② f ( x) ? x 3 , ③

B． x ? 2 y ? 1 ? 0 D． x ? 2 y ? 1 ? 0

f ( x) ? ln

1 ?x ， ④ f ( x) ? cos 2 x
（写出

⑤ f ( x) ? ? x 2 ? 1 中,既是偶函数， 又是在区间 ?0, ? ?? 上单调递减函数为 符合要求的所有函数的序号）. 9.③⑤；

（ （虹口区 2013 届高三一模）17、定义域为 R 的函数 f ( x) ? ax ? b x ? c ( a ? 0) 有四
2

个单调区间，则实数 a, b, c 满足（

）

A. b 2 ? 4ac ? 0且a ? 0
17、C；

B. b 2 ? 4ac ? 0

C. ? b ? 0
2a

D. ? b ? 0
2a

（奉贤区 2013 届高三一模） 18、 定义域是一切实数的函数 y ? f ?x ? ， 其图像是连续不断的， 且存在常数 ? ( ? ? R )使得 f ( x ? ? ) ? ? f ( x) ? 0 对任意实数 x 都成立，则称 f ( x) 是一个“ ? —伴随函数” ． 有下

列关于“ ? —伴随函数”的结论：① f ( x) ? 0 是常数函数中唯一一个“ ? —伴随函数” ； ②“

1 2 —伴随函数”至少有一个零点． ；③ f ( x) ? x 是一个“ ? —伴随函数” ；其中正确 2
） B．2 个； C．3 个； D．0 个；

结论的个数是 （ A．1 个；

18． A

（奉贤区 2013 届高三一模）16、已知函数 y ? sin ax ? b (a ? 0) 的图像如左图所示，则函

数 y ? loga ( x ? b) 的图像可能是（
[来源:Z*xx*k.Com]

）

A．

B．

16．

C

C．

D．

（虹口区 2013 届高三一模）11、已 知正实数 x 、 y 满 足 x ? 2 y ? xy ，则 2 x ? y 的最小值 等于 ．11、9；
?1

（奉贤区 2013 届高三一模）11、 （理）设函数 f ? x ? 的反函数是 f 点 ?1,2? ，则 y ? f ? x ?1? 经过点 ．

? x ? ，且 f ?1 ?x ? 1? 过
x?2 (定义域 3

11．理 ?3,0?

（金山区 2013 届高三一模）1．函数 f(x)=3x–2 的反函数 f –1(x)=________．1． 不写不扣分)

?log2 x ( x ? 0) （ 黄 浦 区 2013 届 高 三 一 模 理 科 ） 9 ． 已 知 函 数 f ( x) ? ? x ，且函数 ( x ? 0) ?3 F ( x) ? f ( x)? x? a 有且仅有两个零点，则实数 a 的取值范围是 ．9． (??,1] ；

（浦东新区 2013 届高三一模 理科）3．函数 y ? log2 ( x ? 2) 的定义域为

[3,??)

.

（ 嘉定区 2013 届高三一模 理科） 14 ．设 m 、 n ? R ，定义在区间 [m , n] 上的函数

?1? f ( x) ? log2 (4? | x |) 的值域是 [0 , 2] ，若关于 t 的方程 ? ? ? m ? 1 ? 0 （ t ? R ）有实数 ?2?
解，则 m ? n 的取值范围是___________． 14． [1 , 2)

|t |

（ 青 浦 区 2013 届 高 三 一 模 ） 2 ． 函 数 f ( x) ? 1 ? l o 2gx ( x ? 2) 的 反 函 数

f ?1 ( x) ? 2 x?1 ( x ? 2) ．
（松江区 2013 届高三一模 理科）3．若函数 f ( x) ? 2 ? 3 的图像与 g ( x) 的图像关于直线
x

y ? x 对称，则 g (5) ＝

▲

．3． 1

（奉贤区 2013 届高三一模）11、 （文）若函数 f ( x) ? log 2 ( x ? ) ? a 在区间 ? ,2? 内有零 x 2 点，则实数 a 的取值范围是___．文 1, log2 2

1

?1 ? ? ?

? ? ?

5

? ? ?

（浦东新区 2013 届高三一模 理科） 5． 函数 y ? 1 ? x（ x ? 0 ） 的反函数是 （ x ? 1） .

y ? ( x ? 12 )

（黄浦区 2013 届高三一模 理科）12．已知函数 f ( x) ? a x ( a ? 0 且 a ? 1 )满足 f (2) ? f (3) ， 若 y ? f ?1 ( x) 是 y ? f ( x) 的反函数， 则关于 x 的不等式 f ?1 (1 ? ) ? 1 的解集是

1 x

．12． (1,

1 )； 1? a

（金山区 2013 届高三一模）13．若函数 y=f(x) (x∈R)满足：f(x+2)=f(x)，且 x∈[–1, 1]时，f(x) = | x |，函数 y=g(x)是定义在 R 上的奇函数，且 x∈(0, +∞)时，g(x) = log 3 x，则函数 y=f(x) 的图像与函数 y=g(x)的图像的交点个数为_______． 13．4

（ 奉 贤 区 2013 届 高 三 一 模 ） 7 、 设 函 数 f ?x ? ?

x 为奇函数，则 ?x ? 1??x ? sin a ?

a?

．7． 2k? ?

?
2

,k ? Z

（嘉定区 2013 届高三一模 理科）18．设函数 y ? f ( x) 是定义在 R 上以 1 为周期的函数， 若函数 g ( x) ? f ( x) ? 2 x 在区间 [2 , 3] 上的值域为 [?2 , 6] ， 则 g ( x) 在区间 [?12 , 12] 上的 值域为????????（ A． [?2 , 6] ） C． [?22 , 32] D． [?20 , 34]

B． [?24 , 28]

18．D （虹口区 2013 届高三一模）13、设定义在 R 上的函数 f ( x) 是最小正周期为 2? 的偶函数， 当 x ?[0,

? ] 时， 0 ? f ( x) ? 1，且在 [0,

?

] 上单调递减，在 [ , ? ] 上单调递增，则函 2 2
． 13、20；

?

数 y ? f ( x) ? sin x 在 [? 10? , 10? ] 上的零点个数为

（ 杨 浦 区 2013 届 高 三 一 模 理 科 ） 1. 若 函 数 f ?x? ? 3 x 的 反 函 数 为 f

?1

?x ? ， 则

f ?1 ?1? ?

．1. 0；

（奉贤区 2013 届高三一模）9、 （理）已知函数 f ( x) ? ? 为 ．9．理 ?

? sin ?x, x ? 0, 5 那么 f ( ) 的值 6 ? f ( x ? 1), x ? 0,

1 2

（青浦区 2013 届高三一模）12．已知 f ( x) ? ?

?(2 ? a) x ? 1 , x ? 1
x ?a

, x ?1

满足对任意 x1 ? x 2 都有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?3 ? ? 0 成立，那么 a 的取值范围是_____ ? ,2 ? x1 ? x2 ?2 ?
（奉贤区 2013 届高三一模）9、 （文）已知函数 f ( x ) ? ?

．

?log 2 x, x ? 0, ?2 ,
x

x ? 0.

若 f (a) ?

1 ，则 2

a ? _________． 文 a ? ?1 或 2
（崇明县 2013 届高三一模） 5、已知 y ? f ?1 ( x) 是函数 f ( x) ? x2 ? 2 ( x ≤ 0) 的反函数，则
f ?1 (3) ?

.

5、 ? 1

（宝山区 2013 届期末） 7.将函数 f ( x) =

? 3 sin x 的图像按向量 n ? (?a,0)（ a > 0 ） 平移， 1 cos x
.

所得图像对应的函数为偶函数，则 a 的最小值为

5 ? 6

（崇明县 2013 届高三一模）14、已知 f ( x) ? m( x ? 2m)( x ? m ? 3) , g ( x) ? 2x ? 2 ，若同时满足 条件：①对于任意 x ? R ， f ( x) ? 0 或 g ( x) ? 0 成立； ②存在 x ? (??, ?4) ，使得 f ( x) ? g ( x) ? 0 成立．则 m 的取值范围是 . 14、 (-4,-2)
2

（ 奉贤区 2013 届高三一模） 1 、关于 x 的方程 x ? mx ? n ? 0?m, n ? R? 的一个根是

? 3 ? 2i ，则 m ? _________．1． m ? 6;

（ 长宁区 2013 届高三一 模） 2 、 记函 数 y ? f ( x ) 的反 函数 为 y ? f ?1 ( x ). 如 果函 数

y ? f ( x ) 的图像过点 (1,2) ,那么函数 y ? f ?1 ( x) ? 1 的图像过点 __________ . 2、 (2,2)
（奉贤区 2013 届高三一模）5、已知 x ? 0, y ? 0, 且 数 m 的取值范围是_________．5． m ? 4 （宝山区 2013 届期末）8.设函数 f ( x) 是定义在 R 上周期为 3 的奇函数，且 f (?1) ? 2 ，则

1 1 ? ? 1, 若 x ? y ? m 恒成立，则实 x y

f (2011 ) ? (2012) f

? _．0

（ 长 宁 区 2013 届 高 三 一 模 ） 5 、 设 f ( x) 为 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 ， 当 x ? 0 时 ，
x ， f ( x) ? 2 ? 2x ? b（ b 为常数）

则 f (?1) ?

5、 ? 4

（宝山区 2013 届期末）14.设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 是平面直角坐标系上的两点，定义点 A 到点 B 的曼哈顿距离 L( A, B) ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 . 若点 A(-1,1),B 在 y 2 ? x 上， 则 L( A, B) 的最小值为 ．

7 4
2

（长宁区 2013 届高三一模）13、 （理）已知函数 f ( x) ? ? x ? ax ? b(a, b ? R) 的值域为

(??,0] ， 若 关 于 x 的 不 等 式 f ( x) ? c ? 1 的 解 集 为 (m ? 4, m ? 1) ， 则 实 数 c 的 值 为

_ _ _ _ _ _ _._ 13 _、 （理） ?

21 ， 4

（ 宝 山 区 2013 届 期 末 ） 18. 已 知 f ( x) ? ? 是????????（ D ）

? x ? 1, x ? [? 1, 0),
2 ? x ? 1, x ? [0,1],

则下列函数的图像错误的

(A) f ( x ? 1) 的图像 (B) f (? x) 的图像 (C) f (| x |) 的图像 (D) | f ( x) | 的图像

（ 崇 明 县 2013 届 高 三 一 模 ） 15 、 设 函 数 f ( x) ? s i nx ,x ? R ， 则 下 列 结 论 错 误 的 是???????????????（ A． f ( x) 的值域为 [0,1] C． f ( x) 不是周期函数 15、 C ） B． f ( x) 是偶函数 D． f ( x) 不是单调函数

y?
（长宁区 2013 届高三一模）18、 （理）函数 下列图象中的 （ ）

x sin x ， x ? (?? ,0) ? (0, ? ) 的图象可能是

18、 C

（黄浦区 2013 届高三一模 理科）23． （本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满 分 3 分，第 2 小题满分 7 分，第 3 小题满分 8 分． 对于函数 y ? f ( x) 与常数 a , b ，若 f (2 x) ? af (x) ?b 恒成立，则称 ( a, b) 为函数 f ( x) 的

f (x) b ? 恒成立， 一个 “P 数对” ；若 f (2 x) ?a 则称 ( a, b) 为函数 f ( x) 的一个 “类 P 数对” ． 设
函数 f ( x) 的定义域为 R ? ，且 f (1) ? 3 ． （1）若 (1,1) 是 f ( x) 的一个“P 数对” ，求 f (2n )(n ? N*) ； （2）若 (?2,0) 是 f ( x) 的一个“P 数对” ，且当 x ?[1,2) 时 f ( x) ? k ? 2 x ? 3 ，求 f ( x) 在 区间 [1, 2n ) (n ? N*) 上的最大值与最小值； （3）若 f ( x) 是增函数，且 (2, ?2) 是 f ( x) 的一个“类 P 数对” ，试比较下列各组中两个 式子的大小，并说明理由．

① f (2? n ) 与 2 ? n +2 (n ? N*) ；② f ( x) 与 2 x ? 2 ( x ? (0,1]) ．

[来源:Zxxk.Com]

23． （本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 7 分，第 3 小题满分 8 分． 解： （1）由题意知 f (2 x) ? f ( x) ? 1 恒成立，令 x ? 2k (k ? N*) ， 可得 f (2k ?1 ) ? f (2k ) ? 1 ，∴ { f (2k )} 是公差为 1 的等差数列， 故 f (2n ) ? f (20 ) ? n ，又 f (20 ) ? 3 ，故 f (2n ) ? n ? 3 ． ????????????3 分 （2）当 x ?[1,2) 时， f ( x) ? k ? | 2 x ? 3 | ，令 x ? 1 ，可得 f (1) ? k ? 1 ? 3 ， 解得 k ? 4 ，即 x ?[1,2) 时， f ( x) ? 4? | 2 x ? 3 | ， ?????????4 分 故 f ( x) 在 [1, 2) 上的取值范围是 [3, 4] ． 又 (?2,0) 是 f ( x) 的一个“P 数对” ，故 f (2 x) ? ?2 f ( x) 恒成立， 当 x ?[2k ?1 ,2k ) (k ? N*) 时，

x 2
k ?1

?[1,2) ，
???????6 分

x x x f ( x) ? ?2 f ( ) ? 4 f ( ) ? ? ? (?2)k ?1 f ( k ?1 ) ， 2 4 2
故 k 为奇数时， f ( x) 在 [2k ?1 ,2k ) 上的取值范围是 [3 ? 2k ?1 ,2k ?1 ] ；

当 k 为偶数时， f ( x) 在 [2k ?1 ,2k ) 上的取值范围是 [?2k ?1 , ?3 ? 2k ?1 ] ． ???????8 分 所以当 n ? 1 时， f ( x) 在 [1, 2n ) 上的最大值为 4 ，最小值为 3； 当 n 为不小于 3 的奇数时， f ( x) 在 [1, 2n ) 上的最大值为 2 n ?1 ，最小值为 ? 2 n ； 当 n 为不小于 2 的偶数时， f ( x) 在 [1, 2n ) 上的最大值为 2n ，最小值为 ?2 n ?1 ．???10 分 （3）由 (2, ?2) 是 f ( x) 的一个“类 P 数对” ，可知 f (2 x) ? 2 f ( x) ? 2 恒成立，

1 1 1 1 1 f (2 x) ? 1 恒成立，令 x ? k (k ? N*) ，可得 f ( k ) ? f ( k ?1 ) ? 1 ， 2 2 2 2 2 1 1 1 即 f ( k ) ? 2 ? [ f ( k ?1 ) ? 2] 对一切 k ? N * 恒成立， 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 所以 f ( n ) ? 2 ? [ f ( n?1 ) ? 2] ? [ f ( n?2 ) ? 2] ? ? ? n [ f (1) ? 2] ? n ， 2 2 2 4 2 2 2
即 f ( x) ?
[来源:Z+xx+k.Com]

故 f (2? n ) ? 2? n ? 2 (n ? N*) ． 若 x ? (0,1] ，则必存在 n ? N * ，使得 x ? ( 由 f ( x) 是增函数，故 f ( x) ? f (

?????????????14 分

1 1 , ]， 2n 2n?1

1 1 ) ? n?1 ? 2 ， n ?1 2 2

又 2x ? 2 ? 2 ?

1 1 ? 2 ? n?1 ? 2 ，故有 f ( x) ? 2 x ? 2 ．?????????????18 分 n 2 2

（金山区 2013 届高三一模）21． （本题满分 14 分，第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分）

x 2 ? 2x ? a , x ? (0,2] ，其中常数 a > 0． 已知函数 f ( x) ? x
(1) 当 a = 4 时，证明函数 f(x)在 (0,2] 上是减函数； (2) 求函数 f(x)的最小值． 21．解：(1) 当 a ? 4 时， f ( x) ? x ? 任取 0<x1<x2≤2，则 f(x1)–f(x2)= x1 ?

4 ? 2 ，????????????????1 分 x

4 4 ( x ? x2 )(x1 x2 ? 4) ??????3 分 ? x2 ? ? 1 x1 x2 x1 x2

因为 0<x1<x2≤2，所以 f(x1)–f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)???????????????5 分 所以函数 f(x)在 (0,2] 上是减函数；?????????????????????6 分 (2) f ( x) ? x ? 当且仅当 x ? 当0 ?

a ? 2 ? 2 a ? 2 ，????????????????????7 分 x

a 时等号成立，??????????????????????8 分

a ? 2 ，即 0 ? a ? 4 时， f ( x) 的最小值为 2 a ? 2 ，?????????10 分

当 a ? 2 ，即 a ? 4 时， f ( x) 在 (0,2] 上单调递减，?????????????11 分 所以当 x ? 2 时， f ( x) 取得最小值为

a ，??????????????????13 分 2

综上所述： f ( x) min

?2 a ? 2 ? ? ?a ? ?2

0 ? a ? 4, a ? 4.
???????????????14 分

（浦东新区 2013 届高三一模 理科）23． （本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题 满分 4 分，第 3 小题满分 10 分）

1 ? 2x , 0? x? ? ? 2 设函数 T ( x) ? ? ?2(1 ? x), 1 ? x ? 1 ? ? 2
（1）求函数 y ? T ? sin(

? ?

?

? ?? ? x) ? 和 y ? sin? T ( x) ? 的解析式； 2 ? ?2 ?

（2）是否存在非负实数 a ，使得 aT ( x) ? T (a x) 恒成立，若存在，求出 a 的值；若不存在， 请说明理由； （3）定义 Tn?1 ( x) ? Tn (T ( x)) ，且 T1 ( x) ? T ( x) ① 当 x ? ? 0,

?n ? N ?
?

? ?

1 ? 时，求 y ? Tn ( x) 的解析式； 2n ? ?

已 知 下 面 正 确 的 命 题 ： 当 x??

? i ?1 i ? 1 ? 1 ? i ? 2n ?1) 时 ， 都 有 , n ? ( i ? N ?， n 2 2 ? ?

Tn ( x) ? Tn (

i 2n -1

? x) 恒成立.
m

② 对于给定的正整数 m ，若方程 Tm ( x) ? k x 恰有 2 个不同的实数根，确定 k 的取值范围；
m 若将这些根从小到大排列组成数列 ?xn ? 1 ? n ? 2 ，求数列 ?xn ? 所有 2 项的和.

?

?

m

? ?? ? ?2sin ? 2 x ? ? ? ? ? ? ? 解： （1） 函数 y ? T ?sin( x) ? ? ? 2 ? ? ? ?? 2 ? 2sin ? ? ?2 ?

1? ? 5 ? ? x ? ? 4k ， 4k + ? ? ? 4k + ， 4k +2 ? k ? Z 3? ? 3 ? ? 1 5? ? ? x ? x ? ? 4k + ， 4k + ? k ? Z 3 3? ? ?

? ? ? 1? x ? ?0, ? ?sin 2 ? 2x ? ? 2? ?? ? ? 函数 y ? sin ? T ( x) ? ? ? = sin ?? x ? x ? ?0,1? ??4 分 ?2 ? ? ? ?1 ? sin ? 2-2x ? x ? ? ,1? ? ?2 ? ? 2

1 ? 1 ? 2ax, 0? x? 2 ax , 0 ? ax ? ? ? ? 2 ? 2 （2） y ? aT ( x ) ? ? ， y ? T (ax) ? ? ??6 分 1 1 ?2a(1 ? x), ? x ? 1 ?2(1 ? ax), ? ax ? 1 ? ? ? 2 ? 2

当 a ? 0 时，则有 a(T ( x)) ? T (ax) ? 0 恒成立. 当 a ? 0 时，当且仅当 a ? 1 时有 a(T ( x)) ? T (ax) ? T ( x) 恒成立. 综上可知当 a ? 0 或 a ? 1 时， a(T ( x)) ? T (ax) 恒成立；?????????8 分 （3）① 当 x ? ? 0,

? ?

1 1 ? 时，对于任意的正整数 j ? N ?， 1 ? i ? n ?1 ，都有 0 ? 2 j x ? n ? 2 2 ?
2 j n?1

故有 y ? Tn ( x) ? Tn?1 (2x) ? Tn?2 (2 x) ? ? ? Tn? j (2 x) ? ? ? T (2 ② 由①可知当 x ? ? 0,

x) ? 2n x ?13 分

? ?

1 ? 时，有 Tn ( x) ? 2n x ，根据命题的结论可得， n ? 2 ?
时，有

当 x??

? 1 2 ? ? 0 2 ? , n ?? n, n ? n ?2 2 ? ? ?2 2 ?

1 ? 0 1 ? ? 0 2 ? ? x?? n , n ? ? ? n , n ? ， n ?1 2 ?2 2 ? ?2 2 ?

故有 Tn ( x) ? Tn (

1 1 ? x)=2n ( n ?1 ? x) ? ?2n x ? 2 . n ?1 2 2

因此同理归纳得到，当 x ? ?

? i i ?1 ? 0 ? i ? 2n ?1) 时， , n ? ( i ? N， n ?2 2 ?

n 1 1 ? ?2 x ? i， i 是偶数 ????????15 分 Tn ( x) ? (?1)i (2n x ? i ? ) ? = ? n 2 2 ? ? 2 x ? i ? 1 ， i 是奇数 ?

对于给定的正整数 m ， x ? ?

? i i ?1 ? 0 ? i ? 2m ?1) 时， , m ? ( i ? N， m 2 2 ? ?

解方程 Tm ( x) ? kx 得， x ?

? 2i ? 1? ? (?1)i ，
2m?1 ? (?1)i 2k
m

要使方程 Tm ( x) ? kx 在 x ?? 0,1 ? 上恰有 2 个不同的实数根，

2i ? 1? ? (?1)i i ? 1 ? i 对于任意 i ? N， 恒成立， 0 ? i ? 2 ?1，必须 m ? m?1 ? 2 2 ? (?1)i 2k 2m
m

解得 k ? ( 0 ,

2m ) , 若将这些根从小到大排列组成数列 ?xn ? ， 2m ? 1

由此可得 xn

2n ? 1? ? (?1)n ? ? 2m?1 ? (?1)n 2k
m

1 ? i ? 2 ? .????????17 分 ?n ? N ，
? m

故数列 ?xn ? 所有 2 项的和为：

S ? x1 ? x2 ?? x2m ?1 ? x2m

?

0 ? 2 ? 4 ? ? ? (2m ? 2) 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2m 2m ?1 (4m ? 2k ) ? ? .??18 分 2m ? k 2m ? k 4m ? k 2
2013 届 高 三 一 模 ） 19 、 （ 本 题 满 分 12 分 ） 已 知

（ 长 宁 区

?? ? ?? ? m ? (2 cos x ? 2 3 sin x ,1),n ? (cosx , ?y ) m ，满足 ? n ? 0 ．
（1）将 y 表示为 x 的函数 f ( x) ，并求 f ( x) 的最小正周期； （2） （理） 已知 a, b, c 分别为 ?ABC 的三个内角 A, B, C 对应的边长， 若 f( 求 b ? c 的取值范围．

A ) ? 3， 且a ? 2， 2

19、解（1）由 m ? n ? 0 得 2 cos x ? 2 3 sin x cos x ? y ? 0 ????3 分
2

?? ?
2

即 y ? 2 cos x ? 2 3 sin x cos x ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 1 ? 2sin(2 x ? 所以 f ( x) ? 2sin(2 x ?

?
6

) ?1

?
6

) ? 1 ，其最小正周期为 ? ．

????6分

（2） （理）因为 f ( ) ? 3 ，则

A?

?
6

A 2

? 2 k? ?

?
2

, k ? Z .因为 A 为三角形内角，所以 A ? 4 4 3 sin B ， c ? 3 sin C ， 3 3

?
3

????9分

法一：由正弦定理得 b ?

b?c ?

4 3 4 3 4 3 4 3 2? ? sin B ? sin C ? sin B ? sin( ? B) ? 4 sin( B ? ) 3 3 3 3 3 6

，? sin( B ?

?

1 ) ? ( ,1] ，? b ? c ? (2,4] ， 6 2
????12分

所以 b ? c 的取值范围为 (2, 4] 法二： a ? b ? c ? 2bc cos
2 2 2

?
3

，因此 4 ? (b ? c) ? 3bc ，
2

因为 bc ?

(b ? c) 2 (b ? c) 2 2 ，所以 4 ? (b ? c) ? ， (b ? c) 2 ? 16 ， 4 4
????12分

? b ? c ? 4 .又 b ? c ? 2 ，所以 b ? c 的取值范围为 (2, 4]
（文） （2）? 0 ? x ? 分 由 a ? f ( x) 恒成立，得 a ? [ f ( x)]min ? 2 ， 所以实数 a 的取值范围是 (??,2) .

?
3

,?

?
6

? 2x ?

?
6

?

1 5? ? ,因此 sin( 2 x ? ) 的最小值为 ，????9 2 6 6

???12分

（宝山区 2013 届期末）21.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分． 已知函数 f ( x) ? log 2 (4x ? b ? 2x ? 4) ， g ( x) ? x . （1）当 b ? ?5 时，求 f ( x) 的定义域； （2）若 f ( x) ? g ( x) 恒成立，求 b 的取值范围． 解： （1）由 4 x ? 5 ? 2 x ? 4 ? 0 ??????????????????3 分 解得 f ( x) 的定义域为 (??,0) ? (2, ??) ．?????????6 分

4 ? ? （2）由 f ( x) ? g ( x) 得 4 x ? b ? 2 x ? 4 ? 2 x ，即 b ? 1 ? ? 2 x ? x ? ????????9 分 2 ? ? 4 ? 令 h( x ) ? 1 ? ? 2 x ? x 2 ? ? ? ，则 h( x) ? ?3 ，??????????????????12 分 ?

? 当 b ? ?3 时， f ( x) ? g ( x) 恒成立．??????????????????14 分
（ 长 宁 区 2013 届 高 三 一 模 ） 22 ． ( 本 小 题 满 分 18 分 ) （ 理 ） 已 知 函 数

f ( x) ? 1 ? x ? 1 ? x 。
（1）求函数 f ( x ) 的定义域和值域； （2）设 F ( x) ?

a ? ? f 2 ( x) ? 2 ? ，求 F ( x) 在 a ? 0 时的最大值 g (a ) ； ? ? f ( x) （ a 为实数） 2 ?

（3）对（2）中 g (a ) ，若 ?m2 ? 2tm ? 2 ? g (a) 对 a ? 0 所有的实数 a 及 t ? [?1,1] 恒成 立，求实数 m 的取值范围。

（文）已知二次函数 f ? x ? ? ax2 ? ? a ? 1? x ? a 。 （1）函数 f ? x ? 在 ? ?? , ? 1? 上单调递增，求实数 a 的取值范围；

? 2 在 x ??1, 2? 上恒成立，求实数 a 的取值范围； x 1 ? ? a ? 1? x 2 （3）函数 g ? x ? ? f ? x ? ? 在 ? 2 , 3? 上是增函数，求实数 a 的取值范围。 x
（2）关于 x 的不等式 22、 （理）解： (1) 由 1+x≥0 且 1-x≥0，得-1≤x≤1,所以定义域为 [?1,1] ????2 分 又 f ( x)2 ? 2 ? 2 1 ? x2 ?[2, 4], 由 f ( x ) ≥0 得值域为 [ 2, 2] ????4 分

f ? x?

a ?? f 2 ( x) ? 2 ? ? f ( x) ? a 1 ? x 2 ? 1 ? x ? 1 ? x ? ? 2 1 2 2 令 t ? f ( x) ? 1 ? x ? 1 ? x ，则 1 ? x ? t ? 1 ， 2 1 2 1 2 ∴ F ( x) ? m(t ) ? a ( t ? 1 )+t= at ? t ? a, t ? [ 2, 2] ????6 分 2 2 1 2 由题意知 g(a)即为函数 m(t ) ? at ? t ? a, t ? [ 2, 2] 的最大值。 2 1 1 2 注意到直线 t ? ? 是抛物线 m(t ) ? at ? t ? a 的对称轴。????7 分 a 2
（2）因为 F ( x) ? 因为 a<0 时,函数 y=m(t), t ?[ 2, 2] 的图象是开口向下的抛物线的一段， ①若 t ? ?

1 2 ? (0, 2] ，即 a ? ? 则 g (a) ? m( 2) ? 2 ????8 分 a 2 1 1 1 2 1 ? ( 2, 2] ，即 ? ????10 分 ? a ? ? 则 g ( a ) ? m( ? ) ? ? a ? a a 2a 2 2 1 1 ? (2, ??) ，即 ? ? a ? 0 则 g (a) ? m(2) ? a ? 2 a 2
????11 分

②若 t ? ? ③若 t ? ?

? a ? 2, ? 1 2 1 ? , ? ?a?? , 综上有 g ( a ) ? ? ? a ? 2a 2 2 ? ? 2 ? 2, a?? 2

a??

1 2

????12 分

（3）易得 gmin (a) ? 2 ， 由 ?m2 ? 2tm ? 2 ? g (a) 对 a ? 0 恒成立，

????14 分

即要使 ?m2 ? 2tm ? 2 ? gmin (a) ? 2 恒成立，????15 分

? m2 ? 2tm ? 0 ，令 h ?t ? ? ?2mt ? m2 ，对所有的 t ???1,1? , h ?t ? ? 0 成立，

?h(?1) ? 2m ? m 2 ? 0 只需 ? , 2 ? h(1) ? ?2m ? m ? 0

????17 分

求出 m 的取值范围是 m ? ?2, 或m=0,或m ? 2 . ????18 分 （文）解： （1）当 a ? 0 时， f ( x) ? ? x ，不合题意；?????1 分

当 a ? 0 时， f ? x ? 在 ? ?? , ? 1? 上不可能单调递增；?????2 分

当 a ? 0 时，图像对称轴为 x ? ? 由条件得 ?

a ?1 ， 2a
?????4 分

a ?1 ? ?1 ，得 a ? ?1. 2a f ( x) 1 ? a( x ? ) ? a ? 1 ， x x 1 5 ? [2, ] ， x 2

（2）设 h( x) ?

?????5 分

当 x ? [1,2] 时， x ?

?????7 分

因为不等式 所以， ?

f ? x? x

? 2 在 x ??1, 2? 上恒成立， 所以 h( x) 在 x ? [1,2] 时的最小值大于或等于 2，

? a?0 ? a?0 ? ? ， ?????9 分 或? 5 a ? a ? 1 ? 2 2 a ? a ? 1 ? 2 ? ? ?2 ?
?????10 分
2

解得 a ? 1 。 （3） g ( x) ? ax ?

1 ? a 在 ? 2 , 3? 上是增函数，设 2 ? x1 ? x2 ? 3 ，则 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ， x

ax1 ?

2

x ? x2 1 1 2 ，?????12 分 ? a ? ax2 ? ? a ， a( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ? 1 x1 x2 x1 x2
1 ， x1 x 2 ( x1 ? x 2 )
?????14 分

因为 2 ? x1 ? x2 ? 3 ，所以 a ?

而

1 1 1 ?( , )， x1 x2 ( x1 ? x2 ) 54 16
1 . 16

?????16 分

所以 a ?

?????18 分

（崇明县 2013 届高三一模）22、 （本题 16 分，第(1)小题 4 分；第(2)小题 6 分；第(3)小题 6 分） 设函数 fn ( x) ? xn ? bx ? c (n ? N ? , b, c ? R) .

1 （1）当 n ? 2, b ? 1, c ? ?1 时，求函数 f n ( x) 在区间 ( ,1) 内的零点； 2 1 （2）设 n ≥ 2, b ? 1, c ? ?1 ，证明： f n ( x) 在区间 ( ,1) 内存在唯一的零点； 2
（3）设 n ? 2 ，若对任意 x1 , x2 ? ? ?1,1? ，有 f 2 ( x1 ) ? f 2 ( x2 ) ≤ 4 ，求 b 的取值范围．

22、解： （1） f 2 (x)=x 2 +x-1，令 f 2 (x)=0 ，得 x =

-1 ? 5 ， 2 -1+ 5 。 2

所以 f 2 (x)在区间( ,1)内的零点是x= （2）证明：因为 f n ( 在零点。

1 2

1 1 1 )<0 ， f n (1)>0 。所以 f n ( ) ? f n (1)<0 。所以 f n (x) 在 ( ， 1) 内存 2 2 2 x ，则 < fn 2
n (x )-f x1 n ) = 2( x - 1 )，所以 x(x) )在 <0 fn 2 ( x 2+ ( x -

1 任取x1、x 2? ( , 1且 ), 2

1

1n

1 1 ( ， 1) 内单调递增，所以 f n (x) 在 ( ， 1) 内存在唯一零点。 2 2
（3）当 n＝2 时，f2(x)＝x2＋bx＋c. 对任意 x1， x2∈[－1,1]都有|f2(x1)－f2(x2)|≤4 等价于 f2(x)在[－1,1]上的 最大值与最小值之 差 M≤4.

据此分类讨论如下： ①当 | | ? 1 ，即|b|＞2 时，M＝|f2(1)－f2(－1)|＝2|b|＞4，与题设矛盾。

b 2

b b b ＜0，即 0＜b≤2 时，M＝f2(1)－f2( ? )＝( ＋1)2≤4 恒成立． 2 2 2 b b b ③当 0≤ ? ≤1，即－2≤b≤0 时，M＝f2(－1)－f2( ? )＝( －1)2≤4 恒成立． 2 2 2
②当－1≤ ? 综上可知，－2≤b≤2. 注：②，③也可合并证明如下： 用 max{a，b}表示 a，b 中的较大者．
[来源 :学&科 &网 Z&X&X&K]

b b ≤1，即－2≤b≤2 时，M＝max{f2(1)，f2(－1)}－f2( ? ) 2 2 f 2 (?1) ? f 2 (1) | f 2 (?1) ? f 2 (1) | b ? ? f 2 (? ) ＝ 2 2 2 2 b ＝1＋c＋|b|－( ? ＋c) 4 |b| 2 ＝(1＋ ) ≤4 恒成立． 2
当－1≤ ?

（奉贤区 2013 届高三一模）23、 （理）设函数 f ( x) ? x ? 域为 ( 0 , ? ? ) ，且 f (2) ?

a 定义 x

设点 P 是函数图像上的任意一点，过点 P 分别作直线 y ? x 和 N． y 轴的垂线，垂足分别为 M 、 （1）写出 f ?x ? 的单调递减区间（不必证明） ； （4 分） （2）问： PM ? PN 是否为定值？若是，则求出该定值， 若不是，则说明理由； （7 分） （3）设 O 为坐标原点，求四边形 OMPN 面积的最小值.（7 分）

5 . 2

23、解： （1） 、因为函数 f ( x) ? x ? 所以

a 5 的图象过点 A(2, ) ， x 2
2分 4分

5 a ? 2? ? a ?1 2 2

函数 f ( x ) 在 (0,1) 上是减函数.

（2） 、 （理）设 P? ? x0 , x0 ?

? ?

1 x0

? ? ? ? ? ? ? ? ?? x ? x 0 ? ?

5分

直线 PM 的斜率 ? 1 则 PM 的方程 y ? ? ? x0 ?

? ?

1 x0

6分

?y ? x ? 联立 ? ? 1 ? ? ?? x ? x 0 ? ?y ? ? ? x0 ? x ? ? 0 ? ? ?
? 1 1 M? ? x0 ? 2 x , x0 ? 2 x 0 0 ? ? ? ? ?
9分

? 1? N? ? 0, x0 ? x ? ? 0 ? ?
? 1 1 ? 1 PA ? ? ? x ,? x ? ?, PB ? ?? x 0 ,0 ? ，? PA ? PB ? ? 2 0 ? ? 0
（2） 、 （文）设 P? ? x0 , x0 ? 11 分

? ?

1 x0

? ? ? ?

5分 6分

直线 PM 的斜率为 ? 1 则 PM 的方程 y ? ? ? x0 ?

? ?

1 x0

? ? ? ? ?? x ? x 0 ? ?

7分

?y ? x ? 联立 ? ? 1 ? ? ?? x ? x 0 ? ?y ? ? ? x0 ? x ? ? 0 ? ? ?
? 1 1 M? x ? , x ? 0 0 ? 2 x0 2 x0 ? ? ? ? ?

8分

11 分

3、

PM ?

x0 ? y 0 2

?

1 2 x0

12 分

? 1 ? OM ? 2 ? ? x0 ? 2 x ? ? 0 ? ?
∴ S ?OPM ?

13 分

? 1 1 ? 2 ?? x0 ? ? 2 2 x0 ?

? ? 1 1? ? 1 ? ? ? ? 2 x ? 2 ? 2 x 2 ? 1? ， ? 0 ? 0 ?

14 分

? 1? N? ? 0, x0 ? x ? ? 0 ? ? S ?OPN ? 1 ? 1? 1 2 1 ?? x0 ? ? ? x0 ? x0 ? ， ? ? 2 ? x0 ? 2 2
1 2 1 ( x0 ? 2 ) ? 1 ， 2 2 x0
17 分 15 分

∴ S OMPN ? S ?OPM ? S ?OPN ?

16 分

SO M P N ? 1?

2 2
4

当且仅当 x 0 ?

1 时，等号成立. 2
2 . 2
18 分

∴ 此时四边形 OMPN 面积有最小值 1 ?

（ 奉贤区 2013 届高三一模） 23 、 （文）设函数 f ( x) ? x ?

a 定义域为 x

( 0 , ? ? ) ，且 f (2) ?

设点 P 是函数图像上的任意一点，过点 P 分别作直线 y ? x 和 N． y 轴的垂线，垂足分别为 M 、 （1）写出 f ?x ? 的单调递减区间（不必证明） ； （4 分）

5 . 2

（2）设点 P 的横坐标 x0 ，求 M 点的坐标（用 x0 的代数式表示） ； （7 分） （3）设 O 为坐标原点，求四边形 OMPN 面积的最小值.（7 分） 23、解： （1） 、因为函数 f ( x) ? x ? 所以

a 5 的图象过点 A(2, ) ， x 2
2分 4分

5 a ? 2? ? a ?1 2 2

函数 f ( x ) 在 (0,1) 上是减函数. （2） 、 （理）设 P? ? x0 , x0 ?

? ?

1 x0

? ? ? ? ? ? ? ? ?? x ? x 0 ? ?

5分

直线 PM 的斜率 ? 1 则 PM 的方程 y ? ? ? x0 ?

? ?

1 x0

6分

?y ? x ? 联立 ? ? 1 ? ? ?? x ? x 0 ? ?y ? ? ? x0 ? x ? ? 0 ? ? ?
? 1 1 M? ? x0 ? 2 x , x0 ? 2 x 0 0 ? ? ? ? ?
9分

? 1? ? N? 0 , x ? 0 ? ? x 0 ? ?
? 1 1 ? 1 PA ? ? ? x ,? x ? ?, PB ? ?? x 0 ,0 ? ，? PA ? PB ? ? 2 0 ? ? 0
（2） 、 （文）设 P? ? x0 , x0 ? 11 分

? ?

1 x0

? ? ? ?

5分 6分

直线 PM 的斜率为 ? 1 则 PM 的方程 y ? ? ? x0 ?

? ?

1 x0

? ? ? ? ?? x ? x 0 ? ?

7分

?y ? x ? 联立 ? ? 1 ? ? ?? x ? x 0 ? ?y ? ? ? x0 ? x ? ? 0 ? ? ?

8分

? 1 1 M? ? x0 ? 2 x , x0 ? 2 x 0 0 ?

? ? ? ?

11 分

3、

PM ?

x0 ? y 0 2

?

1 2 x0

12 分

? 1 ? OM ? 2 ? ? x0 ? 2 x ? ? 0 ? ?
∴ S ?OPM ?

13 分

? 1 1 ? 2 ?? x0 ? ? 2 2 x0 ?

? ? 1 1? ? 1 ? 1? ， ? ? ? 2 ? 2x ? 2? ? 0 ? 2 x0 ?

14 分

? 1? ? N? 0 , x ? 0 ? ? x 0 ? ? S ?OPN ? 1 ? 1? 1 2 1 ?? x0 ? ? ? x0 ? x0 ? ， ? ? 2 ? x0 ? 2 2
1 2 1 ( x0 ? 2 ) ? 1 ， 2 2 x0
17 分 15 分

∴ S OMPN ? S ?OPM ? S ?OPN ?

16 分

SO M P N ? 1?

2 2
4

当且仅当 x 0 ?

1 时，等号成立. 2
2 . 2
18 分

∴ 此时四边形 OMPN 面积有最小值 1 ?

（虹口区 2013 届高三一模）23、 （本题满分 18 分）如果函数 y ? f ( x) 的定义域为 R ，对 于定义域内的任意 x ，存在实数 a 使得 f ( x ? a) ? f (? x) 成立，则称此函数具有“ P ( a ) 性 质” ． （1）判断函数 y ? sin x 是否具有“ P ( a ) 性质” ，若具有“ P ( a ) 性质”求出所有 a 的值； 若不具有“ P ( a ) 性质” ，请说明理由．

（ 2 ）已知 y ? f ( x) 具有“ P (0) 性质” ，且当 x ? 0 时 f ( x) ? ( x ? m)2 ，求 y ? f ( x) 在

[0, 1] 上的最大值．
（3）设函数 y ? g ( x) 具有“ P(?1) 性质” ，且当 ? 与 y ? mx 交点个数为 2013 个，求 m 的值．

1 1 ? x ? 时， g( x) ? x ．若 y ? g ( x) 2 2

23 、 （ 18 分）解： （ 1 ）由 sin(x ? a) ? sin( ? x) 得 sin(x ? a) ? ? sin x ，根据诱导公式得

a ? 2k? ? ? (k ? Z ) ．? y ? sin x 具有“ P (a ) 性质” ，其中 a ? 2k? ? ? (k ? Z ) ．
??????4 分 （2）? y ? f ( x) 具有“ P (0) 性质” ，? f ( x) ? f (? x) ．
2 2 设 x ? 0 ，则 ? x ? 0 ，? f ( x) ? f (? x) ? (? x ? m) ? ( x ? m)
2 ? ?( x ? m) ? f ( x) ? ? 2 ? ?( x ? m)

x?0 x?0

????????6 分

当 m ? 0 时，? y ? f ( x) 在 [0, 1] 递增，? x ? 1 时 ymax ? (1 ? m)2 当 0?m?

1 时 ， ? y ? f ( x) 在 [0, m] 上 递 减 ， 在 [m, 1] 上 递 增 ， 且 2
[来源:Zxxk.Com]

f (0) ? m2 ? f (1) ? (1 ? m)2 ， ? x ? 1 时 ymax ? (1 ? m)2
当 m?

1 时 ， ? y ? f ( x) 在 [0, m] 上 递 减 ， 在 [m, 1] 上 递 增 ， 且 2

f (0) ? m2 ? f (1) ? (1 ? m)2 ，? x ? 0 时 ymax ? m2
综上所述：当 m ?

1 1 时， ymax ? f (1) ? (1 ? m)2 ；当 m ? 时， ymax ? f (0) ? m2 2 2

????????????11 分 （3）? y ? g ( x) 具有“ P(?1) 性质” ，? g (1 ? x) ? g (? x) ， g (?1 ? x) ? g (? x) ，

? g ( x ? 2) ? g (1 ? 1 ? x) ? g (?1 ? x) ? g ( x) ，从而得到 y ? g ( x) 是以 2 为周期的函数．
源:学,科,网 Z,X,X,K]

[来

又设

1 3 1 1 ? x ? ，则 ? ? 1 ? x ? ， 2 2 2 2

g( x) ? g( x ? 2) ? g(?1 ? x ? 1) ? g(?x ? 1) ? ? x ? 1 ? x ? 1 ? g ( x ? 1) ．

1 1 ? x ? n ? （ n? z ） ， 2 2 1 1 1 1 当 n ? 2k （ k ? z ） ， 2k ? ? x ? 2k ? 则 ? ? x ? 2 k ? ， 2 2 2 2
再设 n ?

g( x) ? g( x ? 2k ) ? x ? 2k ? x ? n ；
当

n ? 2k ? 1 （ k ? z

），

2k ? 1 ?

1 1 ? x ? 2k ? 1 ? 2 2

则

1 3 ? x ? 2k ? 2 2

，

g( x) ? g( x ? 2k ) ? x ? 2k ?1 ? x ? n ；
? 对于，n ?
1 1 1 1 ? x ? n ? （ n? z ） ，都有 g ( x) ? x ? n ，而 n ? 1 ? ? x ? 1 ? n ? 1 ? ， 2 2 2 2

? g( x ? 1) ? ( x ? 1) ? (n ? 1) ? x ? n ? g( x) ，? y ? g ( x) 是周期为 1 的函数．
①当 m ? 0 时，要使得 y ? mx 与 y ? g ( x) 有 2013 个交点，只要 y ? mx 与 y ? g ( x) 在

[0, 1006 ) 有 2012 个交点，而在 [1006 , 1007] 有一个交点．? y ? mx 过 (
从而得 m ?

2013 , 2

1 )， 2

1 2013 1 2013

②当 m ? 0 时，同 理可得 m ? ? ③当 m ? 0 时，不合题意． 综上所述 m ? ?

1 ??????????18 分 2013

（青浦区 2013 届高三一模）23．(本题满分 18 分) 本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分， 第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分. 我们把定义在 R 上，且满足 f ( x ? T ) ? af ( x) （其中常数 a, T 满足 a ? 1, a ? 0, T ? 0 ）的 函数叫做似周期函数． （1）若某个似周期函数 y ? f ( x) 满足 T ? 1 且图像关于直线 x ? 1 对称．求证：函数 f ( x) 是偶函数； （2）当 T ? 1, a ? 2 时，某个似周期函数在 0 ? x ? 1 时的解析式为 f ( x) ? x(1 ? x) ，求函 数 y ? f ( x) ， x ? ?n , n ? 1?, n ? Z 的解析式；
x （3）对于确定的 T ? 0且0 ? x ? T 时， f ( x) ? 3 ，试研究似周期函数函数 y ? f ( x) 在区

间 (0,??) 上是否可能是单调函数？若可能，求出 a 的取值范围；若不可能，请说明理由．

解：因为 x ? R 关于原点对称，????????????????????1 分 又函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? 1 对称，所以

f (1 ? x) ? f (1 ? x) ①
又 T ? 1 ，? f ( x ? 1) ? af ( x) ,

?????????????????????2 分

用 ? x 代替 x 得 f (? x ? 1) ? af (? x) , ③ ?????????????????3 分 由①②③可知 af ( x) ? af (? x) , ? a ? 1且 a ? 0 ，

? f ( x) ? f (? x) ．即函数 f ( x) 是偶函数；????????????????4 分
（2）当 n ? x ? n ? 1 (n ? Z ) 时， 0 ? x ? n ? 1 (n ? Z )

f ( x) ? 2 f ( x ? 1) ? 2 2 f ( x ? 2) ? ? ? 2 n f ( x ? n) ? 2 n ( x ? n)(n ? 1 ? x) ；??10 分
（3）当 nT ? x ? (n ? 1 )T (n ? N ) 时， 0 ? x ? nT ? T (n ? N )

f ( x) ? af ( x ? T ) ? a 2 f ( x ? 2T ) ? ? ? a n f ( x ? nT) ? a n 3x?nT ???????12 分
显然 a ? 0 时，函数 y ? f ( x) 在区间 (0,??) 上不是单调函数 ???????13 分

n x ?nT 又 a ? 0 时， f ( x) ? a 3 , x ? (nT, (n ? 1)T ], n ? N 是增函数，

此时 f ( x) ? (a , a 3 ], x ? (nT, (n ? 1)T ], n ? N ??????????????14 分
n n T

若函数 y ? f ( x) 在区间 (0,??) 上是单调函数，那么它必须是增函数，则必有

a n?1 ? a n 3T ，
解得 a ? 3
T

?????????????????????16 分 ?????????????????????18 分

．

（嘉定区 2013 届高三一模 理科）23． （本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满 分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分． 设 a ? R ，函数 f ( x) ? x? | x ? a | ?2 x ． （1）若 a ? 2 ，求函数 f ( x) 在区间 [0 , 3] 上的最大值；

（2）若 a ? 2 ，写出函数 f ( x) 的单调区间（不必证明） ； （3）若存在 a ? [?2 , 4] ，使得关于 x 的方程 f ( x) ? t ? f (a) 有三个不相等的实数解， 求实数 t 的取值范围．

23． （本题满分 18 分，第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 8 分）
2 ? x? 2; ?x , （1）当 a ? 2 ， x ? [0 , 3] 时， f ( x) ? x? | x ? 2 | ?2 x ? ? ?（2 分） 2 ? ?? x ? 4 x , 0 ? x ? 2 .

作函数图像（图像略） ，可知函数 f ( x) 在区间 [0 , 3] 上是增函数，所以 f ( x) 的最大值为

f (3) ? 9 ．????（4 分）
（2） f ( x) ? ?
2 ? ? x ? (2 ? a) x , x ? a , ??（1 分） ?? x 2 ? ( 2 ? a ) x , x ? a . ?

y

a ? 2 ? (a ? 2) ? ①当 x ? a 时， f ( x) ? ? x ? ， ? ? 2 ? 4 ?
2

2

因为 a ? 2 ，所以

a?2 ? a， 2

O a?2 a

x

2

所以 f ( x) 在 [a , ? ?) 上单调递增．????（3 分） ②当 x ? a 时， f ( x) ? ?? x ?

? ?

a ? 2 ? (a ? 2) 2 ， ? ? 2 ? 4

2

因为 a ? 2 ，所以

a?2 a ? 2? ? ?a ? 2 ? ? a ，所以 f ( x) 在 ? ? ? , 上单调递增，在 ? , a ? 上单 ? 2 2 ? ? ? 2 ?

调递减．????（5 分） 综上，函数 f ( x) 的单调递增区间是 ? ? ? ,

? ?

a ? 2? 和 [ a , ? ?) ， 2 ? ?

单调递减区间是 ?

?a ? 2 ? , a ? ．??????（6 分） ? 2 ?
a?2 a?2 ?0， ? 0 ，所以 f ( x) 在 (?? , ? ?) 上是增函数， 2 2

（3）①当 ? 2 ? a ? 2 时，

关于 x 的方程 f ( x) ? t ? f (a) 不可能有三个不相等的实数解．????（2 分） ② 当 2 ? a ? 4 时 ， 由 （ 1 ） 知 f ( x) 在 ? ? ? ,

? ?

a ? 2? 和 [a , ? ?) 上 分 别 是 增 函 数， 在 2 ? ?

(a ? 2) 2 ?a ? 2 ? 2 a ? t ? f ( a ) ? 上是减函数，当且仅当 时，方程 f ( x) ? t ? f (a) 有三 , a ? ? 4 ? 2 ?
个不相等的实数解． 即1 ? t ?

(a ? 2) 2 1 ? ? ? ? ? a ? ? 4 ? ．????（5 分） 8a 8? a ?
4 ， g (a ) 在 a ? (2 , 4] 时是增函数，故 g (a) max ? 5 ．????（7 分） a

令 g (a) ? a ?

所以，实数 t 的取值范围是 ?1 ,

? ?

9? ? ．????（8 分） 8?

（杨浦区 2013 届高三一模 理科）22． （本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满 分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分.

已知函数 f ( x) ?

x ?2

1 x 1

( x ? 0) 的值域为集合 A ，

（1）若全集 U ? R ，求 CU A ； （2）对任意 x ? ? 0 ,

? ?

1? ，不等式 f ?x ? ? a ? 0 恒成立，求实数 a 的范围； 2? ?

（3）设 P 是函数 f ?x ? 的图像上任意一点，过点 P 分别向直线 y ? x 和 y 轴作垂线，垂足 分别为 A 、 B ，求 PA ? PB 的值． 22． （本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分. (1)由已知得，? 当且仅当 x ?

x ? 0 ，则 f ( x) ? x ?

2 ?2 2 x

………1 分

2 时，即 x ? 2 等号成立， x

? M ? 2 2, ??

?

?

………3 分

所以， CU M ? ? ? , 2 2 (2)由题得 a ? ?? x ?

?

?

………4 分 ………5 分

? ?

2? ? x?

函数 y ? ?? x ?

? ?

9 2? ? 1? ? 在 x ? ? 0 , ? 的最大值为 ? 2 x? ? 2?
………10 分

………9 分

?a ? ?

9 2

(3)设 P? ? x0 , x0 ?

? ?

2 x0

? ? 2 ? ? PA y ? x ? ，则直线 的方程为 0 ? ? x0 ? ?

? ? ? ? ?? x ? x 0 ? ， ?

即 y ? ? x ? 2 x0 ?

2 ， x0
得 A( x0 ?

………11 分

?y ? x ? 由? 2 ? y ? ? x ? 2 x0 ? x 0 ?
又 B? ? 0, x 0 ?

1 1 , x0 ? ) x0 x0

………13 分

? ?

2 x0

? ? ?， ?

………14 分

所以 PA ? ( 分

1 1 1 ,? ) ， PB ? (? x0 ,0) ，故 PA ? PB ? (? x0 ) ? ?1 x0 x0 x0

………16