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20140421浙江省宁波市2014届高三第二次模拟考试数学理试题 Word版


宁波市 2014 年高考模拟考试

数学(理科)试卷
本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共 4 页, 选择题部分 1 至 2 页, 非选择题部 分 3 至 4 页.满分 150 分, 考试时间 120 分钟. 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.
参考公式: 如果事件 A,B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B)

如果事件 A,B 相互独立,那么 P(A·B)=P(A)·P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p, 那 么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次 k n-k 的概率 Pn(k)= C k n p (1-p) (k=0,1,2,…,n) 台体的体积公式: 1 V= h(S1 ? S1 S 2 ? S 2 ) 3 (其中 S1,S2 分别表示台体的上、下底面积, h 表示台体的高)

柱体的体积公式: V ? Sh (其中 S 表示柱体的底面积, h 表示 柱体的高) 1 锥体的体积公式: V ? Sh 3 (其中 S 表示锥体的底面积, h 表示 锥体的高) 球的表面积公式:S=4πR2 球的体积公式:V ? 4 ? R 3 (其中 R

3

表示球的半径)

第Ⅰ 卷(选择题部分

共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设集合 M={x| ? ? x ? (A) [?1, ) (C) [0, )

1 2

1 2

1 2

1 },N={x | x2 ≤ x},则 M∩N = 2 1 (B) (? ,1] 2 1 (D) (? , 0] 2

开始

p=1,n=1

n=n+1 p=p+2n?1 否

2.设 a>1>b>0,则下列不等式中正确的是 (A)(-a)7<(-a)9 (B)b- 9<b- 7

1 1 1 1 (D) ? lg ? a b ln a ln b 3.已知 ? ? R , cos? ? 3sin ? ? 5 ,则 tan 2? = 4 3 3 4 (A) (B) (C) ? (D) ? 3 4 4 3
(C) lg 4.若某程序框图如图所示,则输出的 n 的值是 (A)3 (B)4 (C)5 (D)6

p>20 ? 是 输出 n 结束 (第 4 题图)

5.设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,则下列命题中正确 的是 .. (A)若 m / /? , n ? ? 且 ? ? ? ,则 m ? n (B)若 m ? ? , n ? ? 且 m ? n ,则 ? ? ? (C)若 ? ? ? , m / / n 且 n ? ? ,则 m / /? (D)若 m ? ? , n ? ? 且 m / / n ,则 ? / / ? 2 6.已知某锥体的三视图(单位:cm ) 如图所示,则该锥体的体积为 (A)2 cm (C)6 cm
2

2 1
正视图 侧视图

3

(B)4 cm (D)8 cm

3

2

3

3

俯视图

1 5 7. ( x ? 1)( ? 2) 的展开式的常数项是 x

(第 6 题图)

(A)48 (B)﹣48 (C)112 (D)﹣112 8.袋子里有 3 颗白球,4 颗黑球,5 颗红球.由甲、乙、丙三人依次各抽取一个球,抽取后 不放回.若每颗球被抽到的机会均等,则甲、乙、丙三人所得之球颜色互异的概率是 (A)

1 4

(B)

1 3

(C)

2 7

(D)

3 11

9.已知实系数二次函数 f ( x ) 和 g ( x) 的图像均是开口向上的抛物线,且 f ( x ) 和 g ( x) 均有 两个不同的零点.则“ f ( x ) 和 g ( x) 恰有一个共同的零点”是“ f ( x) ? g ( x) 有两个不同的 零点”的 (A)充分不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

10.设 F1、F2 是椭圆 Γ 的两个焦点,S 是以 F1 为中心的正方形,则 S 的四个顶点中能落在 椭圆 Γ 上的个数最多有(S 的各边可以不与 Γ 的对称轴平行) (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个

第Ⅱ 卷(非选择题部分
二、填空题:本大题共 7 小题, 每小题 4 分, 共 28 分. 11.已知复数 z 满足

共 100 分)

z?2 = i(其中 i 是虚数单位) ,则 z ? z?2





12.设 z ? 2 x ? 5 y ,其中实数 x, y 满足 6 ? x ? y ? 8 且 ?2 ? x ? y ? 0 ,则 z 的取值范围是 ▲ . 13.已知抛物线 x2 ? 3 y 上两点 A, B 的横坐标恰是方程 x ? 5 x ? 1 ? 0 的两个实根,则直线
2

AB 的方程是 ▲ .ks5u
14.口袋中装有大小质地都相同、编号为 1,2,3,4,5,6 的球各一只.现从中一次性随 机地取出两个球,设取出的两球中较小的编号为 X ,则随机变量 X 的数学期望是 ▲ . 15.已知直线 x ? y ? 1 ? 0 及直线 x ? y ? 5 ? 0 截圆 C 所得的弦长均为 10,则圆 C 的面积 是 ▲ .

16.在△ ABC 中,∠ C=90?,点 M 满足 BM ? 3MC ,则 sin∠ BAM 的最大值是 ▲ . 17.已知点 O 是△ ABC 的外接圆圆心,且 AB=3,AC=4.若存在非零实数 .... x、y,使得 BAC = AO ? xAB ? y AC ,且 x ? 2 y ? 1 ,则 cos ∠ ▲ .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本题满分 14 分) 在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且

2 3a sin B ? 5c , cos B ?

11 . 14

19 ,求 ?ABC 的面积. 2 19. (本小题满分 14 分)设等差数列 ?an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a2 ? 8, S4 ? 40 .
(I)求角 A 的大小; (II)设 BC 边的中点为 D , AD ? 数列 ?bn ?的前 n 项和为 Tn ,且 Tn ? 2bn ? 3 ? 0 , n ? N ? . (I)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (II)设 c n ? ?

? a n n为奇数 , 求数列 ?cn ? 的前 n 项和 P n. ?bn n为偶数

20. (本题满分 15 分)如图所示, PA ⊥ 平面 ABCD , △ ABC 为等边三角形, PA ? AB , AC ⊥CD ,

P

M 为 AC 中点.
(I)证明: BM ∥ 平面 PCD ; (II)若 PD 与平面 PAC 所成角的正切值 为
A D

6 ,求二面角 C - PD - M 的正切值. 2

M C (第 20 题图)

B

21. (本题满分 15 分)已知椭圆 Γ:

x2 y2 1 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0) 的离心率为 ,其右焦点 F 与椭 2 a b 2 3 圆 Γ 的左顶点的距离是 3.两条直线 l1 , l2 交于点 F ,其斜率 k1 , k2 满足 k1k2 ? ? .设 l1 4
交椭圆 Γ 于 A、C 两点, l2 交椭圆 Γ 于 B、D 两点. (I)求椭圆 Γ 的方程;
B y A

(II)写出线段 AC 的长 AC 关于 k1 的函 数表达式,并求四边形 ABCD 面积 S 的最大值.
C (第 21 题图) O F D

x

22. (本题满分 14 分)已知 ? ? R ,函数 f ( x) ? ln x ? (Ⅰ )当 ? ? 2 时,求 f ( x) 的最小值;

? ( x ? 1) ,其中 x ?[1, ??) . x ? ? ?1

(Ⅱ )在函数 y ? ln x 的图像上取点 Pn (n, ln n) (n ? N ? ) ,记线段 PnPn+1 的斜率为 kn ,

Sn ?

1 1 ? ? k1 k2

?

1 .对任意正整数 n,试证明: kn
(ⅱ ) Sn ?

(ⅰ ) Sn ?

n(n ? 2) ; 2

n(3n ? 5) . 6

宁波市 2014 年高考模拟试卷

数学(理科)参考答案
说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题 的主要考查内容制订相应的评分细则. 二、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的 内容与难度,可视影响的程度决定后续部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半;如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分,满分 50 分. 1.C 2.D 3.A 4.C 5. B 6.A 7.B 8.D 9.D 10.B 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题 4 分,满分 28 分. 11.2 15. 27? 12.[21,31] 16. 13. 5 x ? 3 y ? 1 ? 0 17. 14.

7 3

3 5

2 3

ks5u

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本题满分 14 分) 解: (Ⅰ )由 cos B ?

11 5 3 ,得 sin B ? , ……………………1 分 14 14 又 2 3a sin B ? 5c ,代入得 3a ? 7c , a c ? 由 ,得 3sin A ? 7 sin C , ……………………3 分 sin A sin C 3sin A ? 7sin( A ? B) , 3sin A ? 7sin A cos B ? 7 cos A sin B ………5 分 2? 得 tan A ? ? 3 , A ? ……………………7 分 3 19 2 2 (Ⅱ ) AB ? BD ? 2 AB BD cos B ? , ……………………9 分 4 7 7 11 19 c 2 ? ( c) 2 ? 2c ? c ? ? , c ? 3 ,则 a ? 7 ……………………11 6 6 14 4



S?

1 1 5 3 15 3 ac sin B ? ? 3 ? 7 ? 2 2 14 4

………………14 分

(19) (本小题满分 14 分)

解: (Ⅰ )由题意, ?

? a1 ? d ? 8 ?a1 ? 4 ,得 ? ,? an ? 4n . ? 4a1 ? 6d ? 40 ?d ? 4

…………3 分

,?当n ? 1时,b1 ? 3 , Tn ? 2bn ? 3? 0

当n ? 2时,Tn?1 ? 2bn?1 ? 3 ? 0 ,两式相减,得 bn ? 2bn?1 ,(n ? 2)
数列 ?bn ?为等比数列,?bn ? 3 ? 2n?1 . (Ⅱ ) cn ? ? …………7 分

n为奇数 ? 4n . n ?1 ? 3 ? 2 n为偶数
? an?1 ) ? (b2 ? b4 ? ? bn )

当 n 为偶数时,

P n ? (a1 ? a3 ?

(4 ? 4n ? 4) ?
=

2

n n 2 2 ? 6(1 ? 4 ) ? 2n?1 ? n2 ? 2 . 1? 4

……………10 分

当 n 为奇数时,
( n?1) ?1 (法一) n ? 1 为偶数, P ? (n ?1)2 ? 2 ? 4n ? 2n ? n2 ? 2n ?1 n ? P n ?1 ? cn ? 2

……………13 分 (法二) P n ? (a1 ? a3 ?

? an?2 ? an ) ? (b2 ? b4 ?

? bn?1 )

?

(4 ? 4n) ?

n ?1 n ?1 2 2 ? 6(1 ? 4 ) ? 2n ? n2 ? 2n ? 1 . 2 1? 4

……………13 分

? 2n ?1 ? n2 ? 2, n为偶数 ? Pn ? ? n 2 ?2 ? n ? 2n ? 1,n为奇数

……………14 分

20. (本题满分 15 分) 解: (Ⅰ )证明:因为 M 为等边△ ABC 的 AC 边的中点,所以 BM⊥ AC. 依题意 CD⊥ AC,且 A、B、C、D 四点共面,所以 BM∥ CD. …………3 分 又因为 BM?平面 PCD,CD?平面 PCD,所以 BM∥ 平面 PCD. …………5 分 (Ⅱ )因为 CD⊥ AC,CD⊥ PA, 所以 CD⊥ 平面 PAC,故 PD 与平面 PAC 所成的角即为∠ CPD. ……………7 分 不妨设 PA=AB=1,则 PC= 2 .
A

P F

D E M

由于 tan ?CPD ?

CD 6 ? , PC 2
B

C (第 20 题图)

所以 CD= 3 .……………9 分

(方法一) 在等腰 Rt△ PAC 中,过点 M 作 ME⊥ PC 于点 E,再在 Rt△ PCD 中作 EF⊥ PD 于点 F.因为 ME⊥ PC,ME⊥ CD,所以 ME⊥ 平面 PCD,可得 ME⊥ PD. 又 EF⊥ PD,所以∠ EFM 即为二面角 C-PD-M 的平面角. ……………12 分 易知 PE=3EC,ME=

2 3 2 ? 3 3 30 ? ,EF= ? ,ks5u 4 4 20 5

2 ME 15 所以 tan∠ EFM= , ? 4 ? EF 3 30 9 20 15 即二面角 C-PD-M 的正切值是 . 9 ……………15 分 (方法二) 以 A 点为坐标原点,AC 为 x 轴,建立 如图所示的空间直角坐标系 A﹣xyz. 则 P(0,0,1) , 1 M( ,0,0 ) ,C(1,0,0) ,D (1, 3,0) . 2

z P

y A D

M B x (第 20 题图) C

则 PC ? (1,0, ?1) , PD ? (1, 3, ?1) , PM ? ( ,0, ?1) . 若设 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) 和 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) 分别是平面 PCD 和平面 PMD 的法向量,则

1 2

? ? x1 ? z1 ? 0 ?n1 ? PC ? 0 ? ?? ,可取 n1 ? (1,0,1) . ? ? x1 ? 3 y1 ? z1 ? 0 ?n1 ? PD ? 0 ? ?

?1 ?n2 ? PM ? 0 3 ? ? x2 ? z2 ? 0 ,1) . ? ?2 由? ,可取 n2 ? (2, ? 3 ?n2 ? PD ? 0 ?x ? 3y ? z ? 0 ? 2 2 ? 2
所以 cos ? n1 , n2 ??

………12 分

n1 ? n2 ? | n1 || n2 |

3 2? 16 3

?

27 , 32

故二面角 C-PD-M 的余弦值是 21. (本题满分 15 分)

15 27 ,其正切值是 . 9 32

……………15 分

解: (Ⅰ )设右焦点 F (c,0) (其中 c ? a2 ? b2 ) ,

c 1 ? , a ? c ? 3 ,所以 a ? 2, c ? 1 . a 2 x2 y2 ? ? 1. 所以 b ? a2 ? c2 ? 3 ,故椭圆 Γ 的方程是 4 3
依题意

……………3 分 ……………5 分

(Ⅱ )由(Ⅰ )知,F(1,0) .将通过焦点 F 的直线方程 y ? k ( x ? 1) 代入椭圆 Γ 的方程

x2 y2 ? ? 1 ,可得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? (4k 2 ? 12) ? 0 , 4 3
其判别式 ? ? (8k 2 )2 ? 16(k 2 ? 3)(3 ? 4k 2 ) ? 144(k 2 ? 1) . 特别地,对于直线 l1 ,若设 A( x1 , y1 ), C ( x2 , y2 ) ,则

| AC |? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ? 1 ? k12 | x1 ? x2 |
? 1 ? k12 ? 144(k12 ? 1) 3 ? 4k12
, k1 ? R且k1 ? 0 . ………………10 分

又设 B( x3 , y3 ), D( x4 , y4 ) ,由于 B、D 位于直线 l1 的异侧, 所以 k1 ( x3 ? 1) ? y3 与 k1 ( x4 ? 1) ? y4 异号.因此 B、D 到直线 l1 的距离之和

d?

| k1 ( x3 ? 1) ? y3 | | k1 ( x4 ? 1) ? y4 | |[k1 ( x3 ? 1) ? y3 ] ? [k1 ( x4 ? 1) ? y4 ]| ? ? 1 ? k12 1 ? k12 1 ? k12 | k1 ( x3 ? x4 ) ? ( y3 ? y4 ) | 1 ? k12 ? | k1 ? k2 | 1 ? k12 ? | x3 ? x4 | ?
| k1 ? k2 | 1 ? k12 ?
2 144( k2 ? 1) 2 3 ? 4k 2

?



………12 分 综合可得,四边形 ABCD 的面积 S ? 因为 k1k2 ? ?
2 72 (k12 ? 1)(k2 ? 1)(k1 ? k2 )2 1 . | AC | ?d ? 2 2 (3 ? 4k12 )(3 ? 4k2 )

3 3 2 ,所以 t ? k12 ? k2 ? 2 | k1k2 |? ,于是 4 2
25 3 25 1 )(t ? ) t? 16 2 ?6 16 ? 6 1 ? 16 3 3 18 ? 12t t? t? 2 2
3 3 3 , } 时, ,即 {k1 , k2 } ? {? 2 2 2
……………15 分

72 (t ? S ? f (t ) ?

当 t ?[ , ??) 时, f (t ) 单调递减,所以当 t ? 四边形 ABCD 的面积取得最大值 22. (本题满分 14 分) 解: (Ⅰ ) ? =2 时, f ( x) ? ln x ?

3 2

7 3. 2

2( x ? 1) ( x ? 1) ,求导可得 x ?1
……………3 分

f ?( x) ?

1 2( x ? 1) ? 2( x ? 1) ( x ? 1)2 ? ? ?0 x ( x ? 1)2 x( x ? 1)2

所以, f ( x) 在 (1, ??) 单调递增,故 f ( x) 的最小值是 f (1) ? 0 .…………5 分

(Ⅱ )依题意, kn ?

ln(n ? 1) ? ln n 1 ? ln(1 ? ) . n ?1? n n

……………6 分

(ⅰ )由(Ⅰ )可知,若取 ? ? 2 ,则当 x ? 1 时 f ( x) ? 0 ,即 ln x ?

2( x ? 1) . x ?1

1 2(1 ? ? 1) 1 2 1 2n ? 1 n ? 于是 ln(1 ? ) ? ,即知 ? .…………8 分 1 n 2n ? 1 kn 2 1? ?1 n
所以 Sn ? ?
i ?1 n n 1 2i ? 1 n(n ? 2) ?? ? . ki i ?1 2 2

……………9 分

(ⅱ )取 ? ? 3 ,则 f ( x) ? ln x ?

3( x ? 1) ( x ? 1) ,求导可得 x?2

f ?( x) ?

1 3( x ? 2) ? 3( x ? 1) ( x ? 1)( x ? 4) ? ? x ( x ? 2)2 x( x ? 2) 2

当 x ? (1, 2) 时, f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在 (1, 2) 单调递减. 所以, x ? (1, 2] 时, f ( x) ? f (1) ? 0 ,即 ln x ? 注意到,对任意正整数 n , 1 ?

3( x ? 1) .……………12 分 x?2

1 ? (1,2] ,于是 n

1 3(1 ? ? 1) 1 3 1 3n ? 1 n kn ? ln(1 ? ) ? ? ,即知 ? . ……………13 分 1 n 3 n ? 1 k 3 n 1? ? 2 n
所以

Sn ? ?
i ?1

n

n 1 3i ? 1 n(3n ? 5) ?? ? . ki i ?1 3 6

……………14 分


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