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1.1.3函数的单调性与导数(一)


四川省资阳中学高中 2012 级 数学《导学案》

选修 2-2

第一章 导数及其应用

主备

卢大兵

审核 徐顺献

1.1.3 函数的单调性与导数(二)
班级 姓名 学号 .
一、学习目标: 1.能够通过函数图象说明函数的单调性与导

数符号之间的关系. 2.能通过求导判断函数的单调性并求出单调区间. 3.能够利用导数解决含有参数的函数的单调性的讨论问题. 重点:理解函数的单调性与导数符号之间的关系,并会通过求导判断函数的单调性. 难点:利用导数解决含有参数的函数的单调性的讨论问题. 二、学习情境: 如图,一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面,记 t 时刻五角星露出水面部分的 图形面积为 S(t)(S(0)=0),则导函数 y=S′(t)的图象大致为( ).

三、学习任务: 任务 1:函数的单调性与其导数的正负之间有什么关系? 函数在某个区间(a,b)内,如果__ __,那么 y=f(x)在该区间内单调递增; 如果_ __,那么 y=f(x)在该区间内单调递减. 任务 2:如果在某个区间内恒有 f′(x)=0,那么函数 y=f(x)有什么特性? 函数 y=f(x)为__ __函数. 任务 3:用导数求函数的单调区间的步骤是什么? (1) (2) (3) (4) 任务 4:讨论函数 y=x -4x+3 的单调性 3 2 任务 5:确定函数 f(x)=2x -6x +7 在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数. 任务 6:如何从函数的导数解释函数的增减快慢? 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得快,这时,函数的图象 就比较“__ __” ;反之,函数的图象就比较“__ __” .
2

1.若函数 f(x)在某区间上的个别点处有 f′(x)=0,在其余点处恒有 f′(x)>0(或 f′(x)<0),即函数 f(x)在该区间上虽然有 f′(x)≥0(或 f′(x)≤0), 但函数 f(x)在这个区间上仍是严格增函数(或严格减函 数).因此,在区间内 f′(x)>0 是 f(x)在此区间上为严格增函数的充分不必要条件. 2.在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域,在解决问题的过程中只能在函数的定 义域内,通过讨论导数的符号,来确定函数的单调区间.当增(减)区间由若干个不连续区间组成时,应分 别作答,不能用“∪”连接.

问题 1:函数 y=sin x-x,x∈(0,π)的单调递减区间为(

).

——其实,我们每个人都有自学的潜力,都有学好的愿望,都渴望成为优秀的人!

四川省资阳中学高中 2012 级 数学《导学案》

选修 2-2

第一章 导数及其应用

主备

卢大兵

审核 徐顺献

A.(0,π)
3

π B.(0, ) 2

π π π C.( ,π) D.( , ) 2 4 2

问题 2:函数 f(x)=x +x 的单调递增区间是________. 3 问题 3:若三次函数 y=ax -x 在区间(-∞,+∞)内是减函数,求参数 a 的取值范围. 问题 4:请回答“学习情景设置”中的问题. 四、基础练习:完成课本 P26·练习。P.31 习题 1,2,3 1、设函数 f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图,则导函数 y=f′(x)的图象可能为(

).

2、已知函数 f(x)的导函数 f′(x)的图象如图所示,那么函数 f(x)的图象最有可能的是(

).

3、若函数 f(x)=x +x +mx+1 是 R 上的单调函数,则实数 m 的取值范围是________. 1 3 2 2 4、设函数 f(x)=- x +2ax -3a x+b,求函数 f(x)的单调区间. 3

3

2

五、知识归纳:写出本节学习小结(—学到了哪些知识?学会了哪些方法?有哪些疑问?) 1. 研究函数单调性必须是在函数的定义域内,注意求解时先求函数的定义域. 2.利用导数判断函数的单调性时,要注意有两个(或两个以上)单调增区间的写法. 3.利用导数解决含有参数的单调性问题,一般是将问题转化为不等式恒成立问题,要注意分类讨论和 数形结合思想的运用. 4.求函数的单调区间时,要注意区间的开与闭,即函数在所求的区间端点是否有意义. 5.在利用导数证明不等式 f(x)>g(x),先构造 F(x)=f(x)-g(x),再求 F′(x)后确定单调区间,最后利用 单调性证明不等式,也可结合图象来做. 思考: (1)若 f '(x)>0 是 f(x)在此区间上为增函数的什么条件? 若 f '(x)>0 是 f(x)在此区间上为增函数的充分而非必要条件. 例如 f(x)=x3,当 x=0,f '(x)=0,x≠0 时,f '(x)>0,函数 f(x)=x3 在(-∞,+∞)上是增函数. (2)若 f '(x) =0 在某个区间内恒成立,f(x)是什么函数 ? 若某个区间内恒有 f '(x)=0,则 f (x)为常数函数. 五、巩固提高:固学案 P.67-P.68
——其实,我们每个人都有自学的潜力,都有学好的愿望,都渴望成为优秀的人!


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