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课件-3.1.1方程的根与函数的零点


§3.1.1方程的根与函数的零点

(一)引入:
探索:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与 二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象有什么关系? (1)方程x2-2x-3=0与函数y=x2-2x-3 (2)方程x2-2x+1=0与函数y=x2-2x+1 (3)方程x2-2x+3=0与函数y=x2-2x+3 一元二次方程ax2+b

x+c=0(a≠0)的根就是二次 函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象与x轴的交点的 横坐标.

1.函数的零点:对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0
的实数x叫做函数y=f(x)的零点 . 判断下列说法是否正确. (1)零点是一个点 ……………………( ) (2)所有的函数都有零点………………( ) 如果不是,能不能举出反例.

? ?

2.方程的根与函数的零点的关系
方程f(x)=0有实数根 ? 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 ?函数y=f(x)有零点

二次函数的零点个数与相应二次方程的实根个数的关系

⊿=b2-4ac
二次函数
y=ax2+bx+c(a>0)

⊿>0

⊿=0

⊿<0

的图象
方程

x1

x2

x1(x2)

ax2+bx+c=0
(a>0) 的根 函数 y=ax2+bx+c(a>0) 的零点

两个不 等实根 两个零点

两个相 无实根 等实根 一个 零点 无零点

1.求下列函数的零点

?1? f ( x) ? x ? 1
2

x=-1

(2) y ? ? x ? 2 x ? 3( x ? 0); x=3 (3) f ( x ) ? log 2 x. x=1

? 4? f ( x) ?

? x ? 6 ?? x ? 2 ?
x?2

x=-6

思考下面两道问题. 问题1:如何判断一个函数是否 有零点? 问题2:用数学语言如何表达 ?

我们先探究一下观察二次函数 f(x)=x2-2x-3图象
1. f(-2)=

5 ,f(1) = -4
<
0 (填“>”或“<”)
-1

y
2 1

f(-2) f(1)

0
-1 -2 -3

| 1 2 3 4

发现在区间(-2,1)上有零点 2. f(2)=

-1
-4

x

-3 ,f(4) = 5

< 0 (填“>”或“<”) 发现在区间(2,4)上有零点 3

f(2) f(4)

3.函数零点的存在性的判定方法
条件1:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象 是连续不断的一条曲线, y 条件2:并且有f(a)· f(b)<0, 函 数 y=f(x) 在 区 间

?

(a,b)内有零点, a 即存在c∈(a,b),使得f(c)=0, b x o 这个c也就是方程f(x)=0的根. 思考1:逆推回去是否成立? 思考2:在(a,b)上是否一定只有一个零点 思考3:为什么条件是闭区间,给结论却是开区间

2.判断下列函数图象在区间[a,b]上是 否有零点. B C
a
b

a

b

a

b

A
2

B

C

3.求证:方程5 x ? 7 x ? 1 ? 0的根一个在区间 (-1,0)上,另一个根在区间(1,2)上.

§3.1.1方程的根与函数的零点

第二课时

1.结合图像,完成下面三道练习.
(1)图象与x轴交点的坐标为 ___________,该坐标与方程 (-2,0) (3,0) x2-x-6=0的解有什么关系: 交点的横坐标即为方程的根 ________________________; x= -2 或3 (2) 当x取 __________ 时,y=0? x<-2 或 x>3 当x取 __________ 时,y>0? -2<x<3 当x取 __________ 时,y<0?

y y=x2-x-6
y>0
-2
o 3

x

y<0

{x|x<-2或x>3 (3)由图象写出不等式x2-x-6>0 的解集为________, } {x|-2<x<3} 不等式x2-x-6<0 的解集为_____________.

2.方程 ln x ? 2 x ? 6 ? 0在下列哪个区间上
有根( C ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 解法一:

f ? 1? ? ?4; f ? 2 ? ? ln 2 ? 2 ? 0 f ? 3 ? ? ln 3 ? 0; f ? 4 ? ? ln 4 ? 2 ? 0 ? f ? 2? ? f ? 3? ? 0

2.方程

ln x ? 2 x ? 6 ? 0在下列哪个区

间上有 根( C ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 解法二: y

ln x ? ?2 x ? 6 f ? x ? ? ln x g ? x ? ? ?2 x ? 6

2 1 -1 -2

0

1

2

3

4

x

x0

3.下列函数在区间[1,2]上有零点 的是

( D )
(A) f(x)=3x2-4x+5 (C) f(x)=lnx-3x+6 (B) f(x)=x? -5x-5 (D) f(x)=ex+3x-6

4.f(x)=x3+x-1在下列哪个区间上有

零点( B )
A.(-2,-1) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)

5. 已知函数f(x)=3x-x2,问:方程f(x)=0在区 间[-1,0]内有没有实数解?
解:因为f(-1)=3-1-(-1)2= <0,f(0)=30-

02=1>0,函数f(x)=3x-x2 的图象是连续曲线,
?2 所以函数f(x)在区间[-1,0]内有零点,即方程 3

f(x)=0在区间[-1,0]内有实数解.

6. 判断方程(x-2)(x-5)=1有两个相异的实数解, 且一个大于5,一个小于2. 所以方程(x-2)(x-5)=1有两个相异的实数

解,且一个大于5,一个小于2.

课堂小结
1.函数的零点:对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点 . 2.方程的根与函数的零点的关系 方程f(x)=0有实数根 ?函数y=f(x)的图象与x轴有交点

? 函数y=f(x)有零点

3.函数零点的存在性的判定方法 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一 条曲线,并且有f(a)· f(b)<0,函数y=f(x)在区间(a,b)内有 零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程 f(x)=0的根.


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