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事件的相互独立性


2.2.2《二项分布及其应用 -事件的相互独立性》

教学目标
? 知识与技能:理解两个事件相互独立的概 念。 ? 过程与方法:能进行一些与事件独立有关 的概率的计算。 ? 情感、态度与价值观:通过对实例的分析 ,会进行简单的应用。 ? 教学重点:独立事件同时发生的概率 ? 教学难点:有关独立事件发生的概率计算

事件的相互独

立性
问题引入: 思考 1.甲盒子里有 3 个白球和 2 个黑球,乙盒子里有 2 个 白球和 2 个黑球,记 A = 从甲盒子里摸出 1 个球,得到白 球; B=从乙坛子里摸出 1 个球,得到白球,试问事件 A 是否 发生会影响事件 B 发生的概率大小吗 ?( 即 P( B) ? P( B | A) 吗?) 思考 2.盒中有 5 个球(3 白两黑),每次取出一个 ,有放回地取 两次 , 记 A ? 第一次抽取取到白球, B ? 第二次抽取取到白 球 . 试问 事件 A 是否发生会影响事件 B 发 生的概率大小 吗?(即 P( B) ? P( B | A) 吗?) 如果是不放回呢?

相互独立事件的定义:

设A,B两个事件,如果事件A是否发生对事件B发 生的概率没有影响(即 P ( AB) ? P ( A) P ( B) ), 则称 事件A与事件B相互独立.
显然: (1)必然事件? 及不可能事件?与任何事件A相互独立.

(2)若事件A与B相互独立, 则以下三对事件也相互独立: ② A 与 B; ③ A 与 B . ① A 与 B;
例如证① ? A ? A? ? A( B ? B ) ? AB ? AB

? P ( A) ? P ( AB) ? P ( AB )

? P ( AB ) ? P ( A) ? P ( AB ) ? P ( A) ? P ( A) P ( B ) ? P ( A) ?1 ? P ( B )? ? P ( A) P ( B )

类型一 事件独立性的判断

例1.判断下列事件是否为相互独立事件.

① 篮球比赛的“罚球两次”中, 事件A:第一次罚球,球进了. 事件B:第二次罚球,球进了.



②袋中有三个红球,两个白球,采取不放回的取球. 事件A:第一次从中任取一个球是白球. 不是 事件B:第二次从中任取一个球是白球. ③袋中有三个红球,两个白球,采取有放回的取球. 事件A:第一次从中任取一个球是白球. 事件B:第二次从中任取一个球是白球. 是

练习:
从一副扑克牌52张中任抽取一张, ? 记事件A为“抽得老K” ? 记事件B为“抽得红牌” ? 记事件C为“抽到J” 判断下列每对事件是否是相互独立的?为什么? (1 )A 与B (2 )C 与A 4 1 (1)P(A)= ?
52 13 26 1 p( B) ? ? 52 2

2 1 事件AB为即抽到老K又抽到红牌,P( AB) ? ? . 52 26 从而有P( A) P( B) ? P( AB)。 事件A与B相互独立

(2)事件A与事件C是互斥的,因此事件A与C不是 相互独立事件 反思:如何判定两个事件是相互独立? 1 利用相互独立事件的定义计算两侧是否相等( 定量角度) 2 一个事件的发生对另外一个事件发生是否有影 响(定性角度)

类型二

相互独立事件的概率

思考1.甲, 乙两人同时向敌人炮击,已知甲击中敌机的概 率为0.6, 乙击中敌机的概率为0.5, 求敌机被击中的概 率.

解设 A={ 甲击中敌机 }, B={ 乙击中敌机 }, C={敌机被击中 }

则 C ? A ? B. 依题设, P ( A) ? 0.6, P ( B) ? 0.5 由于 甲,乙同时射击,甲击中敌机并不影响乙击中 敌机的可能性,所以 A与B独立,进而 A 与 B 独立.
? C ? A ? B ? A B ? P (C ) ? 1 ? P (C )

? 1 ? P ( A ) P ( B ) ? 1 ? [1 ? P ( A)][1 ? P ( B)]

? 1 ? (1 ? 0.6)(1 ? 0.5) = 0.8

练习1、若甲以10发8中,乙以10发7中的命中率打靶, 两人各射击一次,则他们都中靶的概率是( D )

(A)

3 5

(B)

3 4

(C)

12 25

(D)

14 25

练习2.某产品的制作需三道工序,设这三道工序出 现次品的概率分别是P1,P2,P3。假设三道工序互不 影响,则制作出来的产品是正品的概率 是 (1-P1) (1-P 。 2) (1-P3)

练习3.甲、乙两人独立地解同一问题,甲解决这个 问题的概率是P1, ,乙解决这个问题的概率是P2, 那么其中至少有1人解决这个问题的概率是多少?
P1 (1-P2) +(1-P1)P2+P1P2 =P1 + P2 - P1P2

练习4: 已知诸葛亮解出问题的概率为0.8,臭皮匠 老大解出问题的概率为0.5,老二为0.45,老三为 0.4,且每个人必须独立解题,问三个臭皮匠中 至少有一人解出的概率与诸葛亮解出的概率比 较,谁大? 略解: 三个臭皮匠中至少有一人解出的概率为
1 ? P( A ? B ? C ) ? 1 ? 0.5 ? 0.55 ? 0.6 ? 0.835
? 0.8 ? P ( D)

所以,合三个臭皮匠之力把握就大过诸葛亮.

学习小结:
(1)列表比较
互斥事件 相互独立事件

定义

不可能同时发 生的两个事件

事件A是否发生对事件B 发生的概率没有影响

概率公式 P(A+B)=P(A)+P(B) P( A ? B) ? P( A) ? P( B) (2)解决概率问题的一个关键:分解复杂问题为基本 的互斥事件与相互独立事件.

类型三

相互独立事件的应用

例3 某学生语文、数学、英语三科考试成绩在一次考试中

排名全班第一的概率分别为语文0.9,数学0.8,英 语0.85,问一次考试中 (1)三科成绩均未获得第一名的概率是多少? (2)恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少? 分析(1)三科成绩均未获得第一名的概率用 A, B.C 表示, P( A B C ) ? P( A) P( B ) P(C ) ? (1 ? 0.9)(1 ? 0.8)(1 ? 0.85) ? 0.003
P( A BC) ? P( AB C ) ? P( ABC ) ? (1 ? 0.9) ? 0.8 ? 0.85 ? 0.9 ? (1 ? 0.8) ? 0.85 ? 0.9 ? 0.8 ? (1 ? 0.85) ? 0.329

附1:用数学符号语言表示下列关系:

若A、B、C为相互独立事件,则 B· C ① A、B、C同时发生; ①A· B· C ② A、B、C都不发生; ② A· ③ A、B、C中恰有一个发生; ③A · B· C +A · B· C +A · B· C ④ A、B、C中至少有一个发生的概率; ④1-P( A· B· C) ⑤ A、B、C中至多有一个发生. B· C ⑤A · B· C + A· B· C + A· B· C+ A·
注:(1)若事件 A1,A2 ,… ,An 中任意两个事件相互 独立, 则称事件 A1,A2 ,… ,An 两两相互独立. (2)设 A1,A2 ,… ,An为n 个事件,若对于任意k(1≤k≤n), 及 1≤i 1< i 2< · · · < i k≤n 有P( Ai Ai ? Ai ) ? P( Ai )P( Ai )? P( Ai ) 则称事件 A1,A2 ,… ,An 相互独立.
1 2 k 1 2 k

思考3. 如图,在一段线路中并联着3个自动控制的常开 开关,只要其中有1个开关能够闭合,线路就能正常工 作.假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是 0.7, 计算在这段时间内线路正常工作的概率. JA 解:分别记这段时间内开关JA,JB,JC能够 闭合为事件A,B,C.由题意,这段时间内 JB 3个开关是否能够闭合相互之间没有影响, 根据相互独立事件的概率乘法公式,这段 JC 时间内3个开关都不能闭合的概率是

P ( A?B?C ) ? P ( A)?P ( B)?P (C ) ?? ? ?? ?? ?1 ? P ( A)? ??1 ? P ( B )? ??1 ? P (C )?
∴这段时间内至少有1个开关能够闭合,从而使线路能 正常工作的概率是 P ? 1 ? P ( A ? B ? C ) ? 1 ? 0.027 ? 0.973
? (1 ? 0.7) ? (1 ? 0.7) ? (1 ? 0.7) ? 0.027

作业
? 教材55页练习 1--5

? 《导与练》66页


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