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坐标系与参数方程训练


坐标系与参数方程(选修 4--4)
1、 (2011 天津) 下列在曲线 ? A、 ( , ? 2)

? x ? sin 2? 上的点是 ( (? 为参数) ? y ? cos? ? sin ?
C、 (2, 3) D、 (1, 3)



1 2

B、 ( , )

>
3 1 4 2

2、(2011·安徽理,5)在极坐标系中点 ? 2, 离为( A.2 ) B. π 4+ C. 9
2

? ?

??

? 到圆ρ =2cosθ 的圆心的距 3?

π 1+ 9

2

D. 3

3、(2011·北京理,3)在极坐标系中,圆ρ =-2sinθ 的圆心的极坐标是 ( ) π B.(1,- )C.(1,0) D.(1,π ) 2
? ?x=-1-t ?y=2+3t ?

π A.(1, ) 2

4、 (2010· 湖南卷)极坐标方程ρ =cosθ 和参数方程? 数)所表示的图形分别是( )

(t 为参

A.圆、直线 B.直线、圆 C.圆、圆

D.直线、直线

5、(2010·北京卷)极坐标方程为(ρ -1)(θ -π )=0(ρ ≥0)表示的图形 是( )

A.两个圆 B.两条直线 C.一个圆和一条射线 D.一条直线和一条射线 π 6.[2012·安徽卷] 在极坐标系中,圆ρ =4sinθ 的圆心到直线θ = (ρ 6 ∈R)的距离是________.
? ?x=2+t, ?y=-1-t ? ? ?x=3cosα , ?y=3sinα ?

7.[2012·北京卷] 直线?

(t 为参数)与曲线?

(α 为参数)的交点个数为________. 8.[2012·广东卷] (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系 xOy 中,

曲线 C1 和 C2 的参数方程分别为?

?x=t, ?y= t

(t 为参数)和?

?x= 2cosθ , ?y= 2sinθ
? ?x=t+1, ? ?y=1-2t

(θ 为参数),则曲线 C1 与 C2 的交点坐标为________. 9.[2012·湖南卷] 在直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1:? 为参数)与曲线 C2:?
?x=asinθ , ? ? ?y=3cosθ

(t

(θ 为参数,a>0)有一个公共点在 x

轴上,则 a=________. 10.[2012·湖北卷]在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半 ? ?x=t+1, π 轴为极轴建立坐标系.已知射线θ = 与曲线? (t 为参数) 2 4 ?y=?t-1? ? 相交于 A,B 两点,则线段 AB 的中点的直角坐标为________. 11、(2012· 高考广东卷)(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系 xOy ?x= 5cos θ ? π? 中, 曲线 C1 和 C2 的参数方程分别为? ?θ 为参数,0≤θ ≤ 2 ?和 ? ?y= 5sin θ ? 2 ? ?x=1- 2 t (t 为参数),则曲线 C 与 C 的交点坐标为__________. ? 2 ? ?y=- 2 t
1 2

12. 【广东省珠海市 2012 年 9 月高三摸底考试】在极坐标系中,圆

? ? 2 cos ? 的圆心到直线 ? cos ? ? 2 的距离是_____________.
13、(2011·陕西理,15)直角坐标系 xOy 中,以原点为极点,x 轴的正半 轴为极轴建立极坐标系,设点 A,B 分别在曲线 C1:?
? ?x=3+cosθ ? ?y=4+sinθ

(θ 为

参数)和曲线 C2:ρ =1 上,则|AB|的最小值为________. 14、[2012 ·陕西卷 ] 直线 2 ρ cos θ = 1 与圆 ρ = 2cos θ 相交的弦长为 ________. 15、(2012· 高考湖南卷)在极坐标系中, 曲线 C1: ρ ( 2· cos θ +sin θ ) =1 与曲线 C2:ρ =a(a>0)的一个交点在极轴上,则 a=__________.

17.(2011·天津理,11)已知抛物线 C

?x=8t , ? 的参数方程为? ?y=8t, ?
2 2

2

(t 为参
2

数), 若斜率为 1 的直线经过抛物线 C 的焦点, 且与圆(x-4) +y =r (r>0) 相切,则 r=________. 18.(2011·广东理)已知两曲线参数方程分别为? 5 ? ?x= t2 (0≤θ <π )和? 4 ? ?y=t

?x= 5cosθ ?y=sinθ

(t∈R),它们的交点坐标为________.

19、 已知在直角坐标系 xOy 中, 直线 l 的参数方程为 ?

? ? x ? t ? 3, ( t 为参数) , ? ?y ? 3 t
2

在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点, 以 x 轴正半轴为极轴)中,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4?co s? ? 3 ? 0 . ①求直线 l 普通方程和曲线 C 的直角坐标方程; ②设点 P 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的取值范围.

20、(2012·高考课标全国卷)
已知曲线 C1 的参数方程是?
? ?x=2cosφ , ?y=3sinφ , ?

(φ 为参数),以坐标原点为极

点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程是ρ =2,正 方形 ABCD 的顶点都在 C2 上,且 A、B、C、D 依逆时针次序排列,点 A 的极 π 坐标为(2, ). 3 (Ⅰ) 求点 A、B、C、D 的直角坐标; 2 2 2 2 (Ⅱ) 设 P 为 C1 上任意一点,求|PA| +|PB| +|PC| +|PD| 的取值范 围.

21、(2012·高考辽宁卷)

在直角坐标系 xOy 中,圆 C1:x +y =4,圆 C2:(x-2) +y =4. (Ⅰ)在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆 C1, C2 的极坐标方程,并求出圆 C1,C2 的交点坐标(用极坐标表示); (Ⅱ)求圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程.

2

2

2

2

22、(2011·福建理,21) 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的方程为 x-y+4=0,曲线 C 的参数方程为

?x= 3cosα , ? ?y=sinα

(α 为参数).

(1)已知在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位, 且以原点 O π 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,点 P 的极坐标为(4, ),判断点 P 与 2 直线 l 的位置关系; (2)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值.

23、(2011·新课标理,23)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?x=2cosα , ? → → ? (α 为参数).M 是 C1 上的动点,P 点满足OP=2OM,P 点 ? y = 2 + 2sin α . ? 的轨迹为曲线 C2. (1)求 C2 的方程; π (2)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线θ = 与 C1 的 3 异于极点的交点为 A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求|AB|.

24、 .(2010·辽宁理,23)已知 P 为半圆 C:?

?x=cosθ ? ?y=sinθ ?

(θ 为参数,0≤

θ ≤π )上的点,点 A 的坐标为(1,0),O 为坐标原点,点 M 在射线 OP 上, π 线段 OM 与 C 的弧 AP 的长度均为 . 3 (1)以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点 M 的极坐标; (2)求直线 AM 的参数方程.

π? ? 25、[2012·江苏卷]在极坐标系中,已知圆 C 经过点 P? 2, ?,圆心为 4

?

?

π? 3 ? 直线ρ sin?θ - ?=- 与极轴的交点,求圆 C 的极坐标方程. 3 2 ? ?

26、[2012·福建卷]在平面直角坐标系中,以坐标原点 O 为极点,x 轴的 正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线 l 上两点 M, N 的极坐标分别为(2,0), ?x=2+2cosθ , ?2 3 π ? (θ 为参数). ? , ?,圆 C 的参数方程为? 2? ? 3 ?y=- 3+2sinθ (1)设 P 为线段 MN 的中点,求直线 OP 的平面直角坐标方程; (2)判断直线 l 与圆 C 的位置关系.

27.在直角 坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐 标系.已知直线 ρ(cosθ-sinθ) -a=0 与曲线(θ 为参数)有两个不同的交 点,求实数 a 的取值范围.

28.已知直线

与圆

相交于

AB,求以 AB 为直径的圆的面积。

π 29.在极坐标系中, 极点为 O, 已知曲线 C1: ρ =2 与曲线 C2: ρ sin(θ - ) 4 = 2交于不同的两点 A,B. (1)求|AB|的值; (2)求过点 C(1,0)且与直线 AB 平行的直线 l 的极坐标方程.

π 30.已知极坐标方程 C1:ρ=10,C2:ρsin(θ- )=6, 3 (1)化 C1、C2 的极坐标方程为直角坐标方程,并分别判断曲线形状; (2)求 C1、C2 交点间的距离.

31.已知曲线 C:

+

=1,直线 l:

(t 为参数).

(Ⅰ)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (Ⅱ)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线,交 l 于点 A,求|PA|的最 大值与最小值.

32.在直角坐标系 以原点 程为 (1)求曲线 (2)设 此时点

中, 曲线

的参数方程为



为参数) ,

为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线

的极坐标方

的普通方程与曲线 上的动点,求点

的直角坐标方程; 到 上点的距离的最小值,并求

为曲线 的坐标.

33.已知直线 的参数方程为: 为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 .(Ⅰ)求曲线 的参数方程;

,以坐标原点 的极坐标方程为

(Ⅱ)当

时,求直线 与曲线

交点的极坐标.

34.以直角坐标系的原点为极点, 轴非负半轴为极轴,在两种坐标系中取 相同单位的长度. 已知直线 的方程为 ,曲

线

的参数方程为 的中点 的轨迹方程;



是曲线

上的一动点.

(Ⅰ)求线段 (Ⅱ) 求曲线

上的点到直线 的距离的最小值.

35.在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ)直线 的极坐标方程是

为参数) .以 O

,射线

与圆 C 的交点为 O、 P, 与直线 的交点为 Q, 求线段 PQ 的长.

36.已知曲线 (Ⅰ)化 ,

(t 为参数) ,

( 为参数).

的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;

(Ⅱ)过曲线 .

的左顶点且倾斜角为 的直线 交曲绒 于 A,B 两点,求


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