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角平分线的性质定理和判定


角平分线的性质定理和判定
第一部分:知识点回顾
1、角平分线:把一个角平均分为两个相同的角的射线叫该角的平分线; 2、角平分线的性质定理:角平分线上的点到角的两边的距离相等:①平分线上的点; ②点到边的距离; 3、角平分线的判定定理:到角的两边的距离相等的点在角平分线上

第三部分:典型例题
例 1、已知:如图所示,CD⊥AB 于

点 D,BE⊥AC 于点 E,BE、CD 交于点 O, 且 AO 平分∠BAC,求证:OB=OC.

第二部分:例题剖析
例 1. 已知:在等腰 Rt△ABC 中,AC=BC,∠C=90°,AD 平分∠BAC,DE⊥AB 于点 E,AB=15cm, (1)求证:BD+DE=AC. (2)求△DBE 的周长.

【变式练习】如图,已知∠1=∠2,P 为 BN 上的一点,PF⊥BC 于 F,PA=PC,求证:∠PCB+∠BAP=180?

A P
1 2

N

B
例 2. 如图,∠B=∠C=90°,M 是 BC 中点,DM 平分∠ADC,求证:AM 平分∠DAB. 例 2、已知:如图,∠B=∠C=90° ,M 是 BC 的中点,DM 平分∠ADC. (1)若连接 AM,则 AM 是否平分∠BAD?请你证明你的结论; (2)线段 DM 与 AM 有怎样的位置关系?请说明理由.
( 3 ) CD 、 AB 、 AD 间 ? 直 接 写 出 结 果

F C

例 3. 如图,已知△ABC 的周长是 22,OB、OC 分别平分∠ABC 和∠ACB,OD⊥BC 于 D,且 OD=3,△ABC 的面积是多少?

【变式练习】如图,△ABC 中,P 是角平分线 AD,BE 的交点. 求证:点 P 在∠C 的平分线上.

例 3.如图, 在△ABC 中, BD 为∠ABC 的平分线, DE⊥AB 于点 E, 且 DE=2cm, AB=9cm, BC=6cm, 求△ABC 的面积.

第六部分:巩固练习 A组
C

一、耐心选一选,你会开心(每题 6 分,共 30 分) 1.三角形中到三边距离相等的点是( A、三条边的垂直平分线的交点 C、三条中线的交点 【变式练习】如图,D、E、F 分别是△ABC 的三条边上的点,CE=BF,△DCE 和△DBF 的面积相等. 求证:AD 平分∠BAC. ) B、三条高的交点 D、三条角平分线的交点
B D

E

A

2.如图,△ABC 中,∠C=90°,AC=BC,AD 是∠BAC 的平分线,DE⊥AB,垂足为 E,若 AB =12cm,则△DBE 的周长为( A、12cm B、10cm ) C、14cm D、11cm

3.如图 2 所示,已知 PA、PC 分别是△ABC 的外角∠DAC、∠ECA 的平分线,PM⊥BD,PN⊥BE, 垂足分别为 M、N,那么 PM 与 PN 的关系是( A.PM>PN B.PM=PN D C.PM<PN ) D.无法确定 B E P C
图2

D F

C

第四部分:思维误区
一、忽视“垂直”条件 例 1.已知,如图,CE⊥AB,BD⊥AC,∠B=∠C,BF=CF。求证:AF 为∠BAC 的平分线。 B

M A

N

E

A 图3 4.如图 3 所示,△ABC 中,AB=AC,AD 是∠A 的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是 E、F, 下面给出四个结论,其中正确的结论有( ①AD 平分∠EDF; ②AE=AF; )

③AD 上的点到 B、C 两点的距离相等

第五部分:方法规律
(1)有角平分线,通常向角两边引垂线。 (2)证明点在角的平分线上,关键是要证明这个点到角两边的距离相等,即证明线段相等。常用方 法有:使用全等三角形,角平分线的性质和利用面积相等,但特别要注意点到角两边的距离。 (3)注意:许多同学对证明两个三角形全等的问题已经很熟悉了,所以证题时,不习惯直接应用角 平分线性质定理和判定定理,仍然去找全等三角形,结果相当于重新证明了一次这两个结论.所以 特别提醒大家,能用简单方法的,就不要绕远路.

④到 AE、AF 距离相等的点,到 DE、DF 的距离也相等 A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 A P C

5. 如图,已知点D是∠ABC的平分线上一点,点P在BD上,PA⊥AB,PC ⊥BC,垂足分别为A,C.下列结论错误的是( A.AD=CP C.△ABD≌△CBD B.△ABP≌△CBP D.∠ADB=∠CDB. B ) .

D


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