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数学选修1-1基础训练


(数学选修 1-1)第一章
一、选择题
1.下列语句中是命题的是( A.周期函数的和是周期函数吗? C. x ? 2 x ? 1 ? 0
2

常用逻辑用语

则 A 是B 的 条件。 3.用“充分、必要、充要”填空: ① p ? q 为真命题是 p ? q 为真命题的_____________________

条件; ② ? p 为假命题是 p ? q 为真命题的_____________________条件;
2 ③ A : x ? 2 ? 3 , B : x ? 4 x ? 15 ? 0 , 则 A 是 B 的___________条件。

) B. sin 45 ? 1
0

4.命题“ ax ? 2ax ? 3 ? 0 不成立”是真命题,则实数 a 的取值范围是_______。
2

D.梯形是不是平面图形呢?

5. “ a ? b ? Z ”是“ x ? ax ? b ? 0 有且仅有整数解”的__________条件。
2

2 2.在命题“若抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 的开口向下,则 x | ax ? bx ? c ? 0 ? ? ”的

?

?

三、解答题
1.对于下述命题 p ,写出“ ? p ”形式的命题,并判断“ p ”与“ ? p ”的真假:

逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是( A.都真 B.都假 C.否命题真
2 2

) D.逆否命题真 ②a ? b ? 0是 )

3.有下述说法:① a ? b ? 0 是 a ? b 的充要条件.
3 3

1 1 ? 的充要条件. a b

* (1) p : 91? ( A ? B) (其中全集 U ? N , A ? x | x是质数 , B ? x | x是正奇数 ).

?

?

?

?

③ a ? b ? 0 是 a ? b 的充要条件.则其中正确的说法有( A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个

(2) p : 有一个素数是偶数;. (3) p : 任意正整数都是质数或合数; (4) p : 三角形有且仅有一个外接圆.
2 2 2.已知命题 p : 4 ? x ? 6, q : x ? 2x ? 1 ? a ? 0(a ? 0), 若非 p 是 q 的充分不必要条件,求 a 的取值

4.下列说法中正确的是( ) A.一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题一定为真 B.“ a ? b ”与“ a ? c ? b ? c ”不等价 C. “ a ? b ? 0 ,则 a , b 全为 0 ”的逆否命题是“若 a , b 全不为 0 , 则 a ? b ? 0 ”
2 2 2 2

范围。 3.若 a ? b ? c ,求证: a, b, c 不可能都是奇数。
2 2 2

D.一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真
2 5.若 A : a ? R, a ? 1 , B : x 的二次方程 x ? (a ? 1) x ? a ? 2 ? 0 的一个根大于零,

另一根小于零,则 A 是 B 的( A.充分不必要条件 C.充要条件

) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
2

4.求证:关于 x 的一元二次不等式 ax ? ax ? 1 ? 0 对于一切实数 x 都成立的充要条件是 0 ? a ? 4
2

6.已知条件 p : x ? 1 ? 2 ,条件 q : 5x ? 6 ? x ,则 ? p 是 ? q 的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件



(数学选修 1-1)第二章
一、选择题
1. 已知椭圆 。

圆锥曲线

二、填空题
1.命题: “若 a ? b 不为零,则 a , b 都不为零”的逆否命题是
2 2. A : x1 , x2 是方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的两实数根; B : x1 ? x2 ? ?

x2 y2 ? ? 1 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3 , 25 16

b , a
1

则 P 到另一焦点距离为( ) A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 2.若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为 18 ,焦距为 6 ,则椭圆的方程为(



x2 y2 A. ? ?1 9 16
C.

x2 y2 B. ? ?1 25 16
2 2

2.在抛物线 y ? 4 x2 上求一点,使这点到直线 y ? 4 x ? 5 的距离最短。 3. 双曲线与椭圆有共同的焦点 F 点 P(3, 4) 是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点, 1 (0, ?5), F 2 (0,5) , 求渐近线与椭圆的方程。 4.若动点 P( x, y) 在曲线

x y x y ? ? 1或 ? ?1 25 16 16 25

2

2

D.以上都不对 )

3.动点 P 到点 M (1,0) 及点 N (3,0) 的距离之差为 2 ,则点 P 的轨迹是( A.双曲线 B.双曲线的一支 C.两条射线 D.一条射线 4.设双曲线的半焦距为 c ,两条准线间的距离为 d ,且 c ? d , 那么双曲线的离心率 e 等于( ) A. 2 B. 3 C. 2 ) D. 3

x2 y 2 ? ? 1(b ? 0) 上变化,则 x2 ? 2 y 的最大值为多少? 4 b2

(数学选修 1-1)第一章
一、选择题

导数及其应用
f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? h) h

5.抛物线 y 2 ? 10x 的焦点到准线的距离是( A.

1.若函数 y ? f ( x) 在区间 ( a, b) 内可导,且 x0 ? (a, b) 则 lim
h ?0

的值为( A. f ' ( x0 ) ) 。

) B. 2 f ' ( x0 )
2

15 D. 10 2 6.若抛物线 y 2 ? 8x 上一点 P 到其焦点的距离为 9 ,则点 P 的坐标为(
B. 5 C. A. (7, ? 14) B. (14, ? 14) C. (7, ?2 14) D. (?7, ?2 14)

5 2

C. ?2 f ' ( x0 )

D. 0

2.一个物体的运动方程为 s ? 1 ? t ? t 其中 s 的单位是米, t 的单位是秒, 那么物体在 3 秒末的瞬时速度是( A. 7 米/秒
3

) C. 5 米/秒 ) C. (??,??) ) D. (1,??) D. 8 米/秒

二、填空题
1.若椭圆 x ? my ? 1 的离心率为
2 2

B. 6 米/秒

3.函数 y = x + x 的递增区间是(

3 ,则它的长半轴长为_______________. 2

A. (0,??)
3 2

B. (??,1)
'

2.双曲线的渐近线方程为 x ? 2 y ? 0 ,焦距为 10 ,这双曲线的方程为_______________。

4. f ( x) ? ax ? 3x ? 2 ,若 f (?1) ? 4 ,则 a 的值等于(

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则 k 的取值范围是 3.若曲线 4 ? k 1? k
4.抛物线 y ? 6 x 的准线方程为_____.
2 2 2 5.椭圆 5x ? ky ? 5 的一个焦点是 (0,2) ,那么 k ?



A.

19 3

B.

16 3

C.

13 3

D.

10 3


5.函数 y ? f ( x) 在一点的导数值为 0 是函数 y ? f ( x) 在这点取极值的( 6.函数 y ? x ? 4 x ? 3 在区间 ? ?2,3? 上的最小值为(
4

A.充分条件

B.必要条件

C.充要条件

D.必要非充分条件 ) D. 0



三、解答题
1. k 为何值时,直线 y ? kx ? 2 和曲线 2 x ? 3 y ? 6 有两个公共点?有一个公共点?
2 2

A. 72

B. 36

C. 12

二、填空题
1.若 f ( x) ? x3 , f ' ( x0 ) ? 3 ,则 x0 的值为_________________;
2

没有公共点?

2.曲线 y ? x 3 ? 4 x 在点 (1, ?3) 处的切线倾斜角为__________;

1.若 a , b 至少有一个为零,则 a ? b 为零 2.充分条件

sin x 3.函数 y ? 的导数为_________________; x
4.曲线 y ? ln x 在点 M (e,1) 处的切线的斜率是_________,切线的方程为_______________; 5.函数 y ? x 3 ? x 2 ? 5x ? 5 的单调递增区间是___________________________。 三、解答题 1.求垂直于直线 2 x ? 6 y ? 1 ? 0 并且与曲线 y ? x3 ? 3x2 ? 5 相切的直线方程。 2.求函数 y ? ( x ? a)( x ? b)( x ? c) 的导数。 3 . 求 函 数 f ( x) ? x ? 5x ? 5x ? 1 在 区 间 ?? 1,4? 上 的 最 大 值 与 最 小 值 。
5 4 3

A? B

3.必要条件;充分条件;充分条件, A : ?1 ? x ? 5, B : 2 ? 19 ? x ? 2 ? 19, A ? B 4. [?3, 0]

ax2 ? 2ax ? 3 ? 0 恒成立,当 a ? 0 时, ?3 ? 0 成立;当 a ? 0 时,
?a ? 0 得 ?3 ? a ? 0 ;??3 ? a ? 0 ? 2 ? ? ? 4a ? 12a ? 0

5.必要条件 三、解答题

左到右来看: “过不去” ,但是“回得来”

1.解: (1) ?p : 91? A, 或91? B ; p 真, ? p 假; (2) ?p : 每一个素数都不是偶数; p 真, ? p 假; (3) ?p : 存在一个正整数不是质数且不是合数; p 假, ? p 真; (4) ?p : 存在一个三角形有两个以上的外接圆或没有外接圆。 2.解: ?p : 4 ? x ? 6, x ? 10, 或x ? ?2, A ? x | x ? 10, 或x ? ?2

4.已知函数 y ? ax ? bx ,当 x ? 1 时,有极大值 3 ;
3 2

(1)求 a , b 的值; (2)求函数 y 的极小值。

?

?

新课程高中数学训练题组参考答案
(数学选修 1-1) 第一章 常用逻辑用语
一、选择题 1.B 可以判断真假的陈述句 2.D 原命题是真命题,所以逆否命题也为真命题 3.A ① a ? b ? 0 ? a ? b ,仅仅是充分条件
2 2

q : x2 ? 2x ?1 ? a2 ? 0,x ? 1 ? a, 或x ? 1 ? a, 记B ? ?x | x ? 1 ? a, 或x ? 1 ? a?
而 ?p ? q,? A

?1 ? a ? ?2 ? B ,即 ?1 ? a ? 10 ,? 0 ? a ? 3 。 ?a ? 0 ?

3.证明:假设 a, b, c 都是奇数,则 a 2 , b2 , c 2 都是奇数 得 a ? b 为偶数,而 c 为奇数,即 a ? b ? c ,与 a ? b ? c 矛盾
2 2

2

2

2

2

2

2

2

②a ?b ? 0?

1 1 3 3 ? ,仅仅是充分条件;③ a ? b ? 0 ? a ? b ,仅仅是充分条件 a b

所以假设不成立,原命题成立 4.证明: ax ? ax ? 1 ? 0(a ? 0) 恒成立 ? ?
2

4.D 否命题和逆命题是互为逆否命题,有着一致的真假性 5.A 6.A

?a ? 0
2 ? ? ? a ? 4a ? 0

A : a ? R, a ? 1 ? a ? 2 ? 0 ,充分,反之不行 ?p : x ?1 ? 2, ?3 ? x ? 1 , ?q : 5x ? 6 ? x2 , x2 ? 5x ? 6 ? 0, x ? 3, 或x ? 2
?p ? ?q ,充分不必要条件

?0?a?4

(数学选修 1-1) 第二章
一、选择题 1.D
3

圆锥曲线

二、填空题

点 P 到椭圆的两个焦点的距离之和为 2a ? 10,10 ? 3 ? 7

2.C

2a ? 2b ? 18, a ? b ? 9, 2c ? 6, c ? 3, c2 ? a2 ? b2 ? 9, a ? b ? 1
得 a ? 5, b ? 4 ,?

5. 1

x2 y 2 x2 y2 ? ? 1或 ? ?1 25 16 16 25

y 2 x2 5 ? ? 1, c 2 ? ? 1 ? 4, k ? 1 焦点在 y 轴上,则 5 1 k k

三、解答题 1.解:由 ?

3.D

PM ? PN ? 2, 而MN ? 2 ,? P 在线段 MN 的延长线上
2a c ? c, c 2 ? 2a 2 , e2 ? 2 ? 2, e ? 2 c a
2 p ? 10, p ? 5 ,而焦点到准线的距离是 p
2 2

? y ? kx ? 2 ?2 x ? 3 y ? 6
2 2

,得 2 x2 ? 3(kx ? 2)2 ? 6 ,即 (2 ? 3k 2 ) x2 ? 12kx ? 6 ? 0

4.C

2 ? ?1 4 4 k2 ? 2 4 ( ? 2 k 23 ? ) k7 2?

48

5.B

k 当 ? ?7 2

2

? 4 8 ? ,即 0 k?

6.C 点 P 到其焦点的距离等于点 P 到其准线 x ? ?2 的距离,得 xP ? 7, y p ? ?2 14 二、填空题 1. 1, 或2 当 m ? 1 时,

6 6 时,直线和曲线有两个公共点; , 或k ? ? 3 3 6 6 时,直线和曲线有一个公共点; , 或k ? ? 3 3

k 当 ? ?7 2

2

? 4 8 ? ,即 0 k?

x2 y 2 ? ? 1, a ? 1 ; 1 1 m

k 当 ? ?7 2

2

? 4 8 ? ,即 0 ?

6 6 时,直线和曲线没有公共点。 ?k? 3 3

y 2 x2 a 2 ? b2 3 1 1 ? ? 1, e 2 ? ? 1 ? m ? , m ? , a 2 ? ? 4, a ? 2 当 0 ? m ? 1 时, 2 1 1 a 4 4 m m
2.

2.解:设点 P(t , 4t ) ,距离为 d , d ?
2

4t ? 4t 2 ? 5 17

?

4t 2 ? 4t ? 5 17

当t ?

x2 y 2 ? ? ?1 20 5

1 1 时, d 取得最小值,此时 P ( ,1) 为所求的点。 2 2

设双曲线的方程为 x ? 4 y ? ?,(? ? 0) ,焦距 2c ? 10, c ? 25
2 2 2

当 ? ? 0 时,

x2

?

?

y2

?

? 1, ? ?

?
4

? 25, ? ? 20 ;

3.解:由共同的焦点 F 1 (0, ?5), F 2 (0,5) ,可设椭圆方程为

y2 x2 ? ? 1; a 2 a 2 ? 25

4 x2 ? ? ? 1, ?? ? (? ) ? 25, ? ? ?20 当 ? ? 0 时, ? ?? 4 ? 4 y2
) 3. (? ?, ?4 ?
4. x ? ?

双曲线方程为

16 9 y2 x2 ? 1, a 2 ? 40 ? ? 1 ,点 P(3, 4) 在椭圆上, 2 ? 2 2 2 a a ? 25 b 25 ? b

双曲线的过点 P(3, 4) 的渐近线为 y ?

b 25 ? b
2

x ,即 4 ?

b 25 ? b
2

? 3, b2 ? 16

( 1? , ? ) ( 4? k ) ( ? 1k ? )
2 p ? 6 ,p ? 3 x,? ? p 3 ?? 2 2

0 k, ? (

k 4) ?( ?1 )k ? 或 0,

k 1, ? ?

4

所以椭圆方程为

3 2

y 2 x2 y 2 x2 ? ? 1 ;双曲线方程为 ? ? 1 40 15 16 9
2 2

4.解:设点 P(2cos ? , b sin ? ) , x ? 2 y ? 4cos
4

? ? 2b sin ? ? ?4sin 2 ? ? 2b sin ? ? 4

令 T ? x2 ? 2 y,sin ? ? t ,(?1 ? t ? 1) , T ? ?4t 2 ? 2bt ? 4,(b ? 0) ,对称轴 t ? 当

b 4

三、解答题 1.解:设切点为 P (a, b) ,函数 y ? x3 ? 3x2 ? 5 的导数为 y' ? 3x2 ? 6x 切线的斜率 k ? y' |x?a ? 3a2 ? 6a ? ?3 ,得 a ? ?1 ,代入到 y ? x3 ? 3x2 ? 5 得 b ? ?3 ,即 P(?1, ?3) , y ? 3 ? ?3( x ? 1),3x ? y ? 6 ? 0 。 2.解: y' ? ( x ? a)' ( x ? b)( x ? c) ? ( x ? a)( x ? b)' ( x ? c) ? ( x ? a)( x ? b)( x ? c)'

b b ? 1,即b ? 4 时, Tmax ? T |t ?1 ? 2b ;当 0 ? ? 1, 即0 ? b ? 4 时, 4 4

Tmax

b2 ?T | b? ?4 t? 4 4

? b2 ?b? 4 ? ?4, 0 ? ( x ? 2y m ) a x? ? 4 ?2b ,b ? 4 ?
2

(数学选修 1-1)第一章
一、选择题

导数及其应用

f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? h) f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? h) ? lim 2[ ] 1.B lim h ?0 h ?0 h 2h f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? h) ? 2 lim ? 2 f ' ( x0 ) h ?0 2h
2.C 3.C 4.D

? ( x ? b) ( x ? c) ? ( x ? a) ( x? c)? ( x? a) ( x ? b)
3.解: f ?( x) ? 5x 4 ? 20x 3 ? 15x 2 ? 5x 2 ( x ? 3)(x ? 1) , 当 f ?( x) ? 0 得 x ? 0 ,或 x ? ?1 ,或 x ? ?3 , ∵ 0 ?[?1, 4] , ?1?[?1, 4] , ?3 ?[?1,4] 列表:

s (t ) ? 2t ?1, s (3) ? 2 ? 3 ?1 ? 5
' '

y = 3x + 1 > 0 对于任何实数都恒成立
f ' ( x) ? 3ax 2 ? 6 x, f ' ( ?1) ? 3a ? 6 ? 4, a ? 10 3

'

2

x
f ' ( x)
f ( x)

?1

(?1, 0)
+ ↗

0
0
1

(0, 4)
+ ↗

5.D 对于 f ( x) ? x3 , f ' ( x) ? 3x2 , f ' (0) ? 0, 不能推出 f ( x ) 在 x ? 0 取极值,反之成立 6.D

0 0

y' ? 4x3 ? 4, 令y' ? 0, 4x3 ? 4 ? 0, x ? 1,当x ? 1时, y' ? 0;当x ? 1时, y' ? 0
得 y极小值 ? y |x?1 ? 0 而端点的函数值 y |x??2 ? 27, y |x?3 ? 72 ,得 ym i n? 0 ,

二、填空题 1. ?1 2.

又 f (0) ? 0, f (?1) ? 0 ;右端点处 f (4) ? 2625 ; ∴函数 y ? x ? 5x ? 5x ? 1 在区间 [?1, 4] 上的最大值为 2625 ,最小值为 0 。
5 4 3

f ' ( x0 ) ? 3x02 ? 3, x0 ? ?1
3 y ' ? 3 x 2 ? 4 , k ? y' x ?|1 ? ?1 , t ?a n ? ? ? 1 , ?? 4

3 ? 4

4.解: (1) y ? 3ax ? 2bx, 当 x ? 1 时, y |x?1 ? 3a ? 2b ? 0, y |x?1 ? a ? b ? 3 ,
' 2

'

3.

x cos x ? sin x x2
1 e

y' ?
y' ?

(sin x)' x ? sin x ? ( x)' x cos x ? sin x ? x2 x2

即?

?3a ? 2b ? 0 , a ? ?6, b ? 9 ?a ? b ? 3
3 2 ' 2 '

4. , x ? ey ? 0

5. (??, ? ), (1, ??)

5 3

1 1 1 1 , k ? y ' |x ?e ? , y ? 1 ? ( x ? e), y ? x x e e e 5 令y ' ? 3x 2 ? 2 x ? 5 ? 0, 得x ? ? , 或x ? 1 3
5

(2) y ? ?6x ? 9x , y ? ?18x ? 18x ,令 y ? 0 ,得 x ? 0, 或x ? 1

? y极小值 ? y |x?0 ? 0


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