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椭圆

时间:2012-12-20


知识在于积累!

椭圆知识点小结
标准 方程 (焦点在 x 轴)
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

(焦点在 y 轴)
y2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

第一定义:平面内与两个定点 F1 , F2 的距离的和等于定长(定长大于 两定点间的距离)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫焦点,两定点 间距离焦距。 ?M MF1 ? MF2
y
M

? 2a? ?2a ? F1F2 ?

y
F2
M

F1

O

F2

x

O

x

F1

定 义
第二定义: 平面内一个动点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是小 于 1 的正常数时,这个动点的轨迹叫椭圆,定点是椭圆的焦点,定直线是椭圆的 准线。
y
y
M M

F2

M

F1

F2

x

F1

M

x





x ?a

y ?b

x ?b

y ?a

顶点坐标 对称轴 对称中心

(? a,0) (0, ?b)

(0,? a) (?b, 0)

x 轴, y 轴;长轴长为 2a ,短轴长为 2b

原点 O(0, 0)
F1 (c, 0) F2 (?c, 0) F1 (0, c) F2 (0, ?c)

焦点坐 标

焦点在长轴上, c ? a2 ? b2 ;

焦距: F1F2 ? 2c

1

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离心率
a2 c

e?

c ( 0 ? e ? 1) a

, e2 ?

c2 a2 ? b2 ? , a2 a

e 越大椭圆越扁, e 越小椭圆越圆。

准线方 程

x??

y??

a2 c

2a 2 准线垂直于长轴,且在椭圆外;两准线间的距离: c
顶点 A1 ( A2 )到准线 l1 ( l 2 )的距离为

顶点到准 线的距离
顶点 A1 ( A2 )到准线 l 2 ( l1 )的距离为

a2 ?a c a2 ?a c a2 ?c c

焦点 F1 ( F2 )到准线 l1 ( l 2 )的距离为 焦点到准 线的距离

a2 ?c 焦点 F1 ( F2 )到准线 l 2 ( l1 )的距离为 c

椭圆上到 焦点的最 大 (小) 距


椭圆的参 数方程

最大距离为: a ? c 最小距离为: a ? c 相关应用题:远日距离 a ? c 近日距离 a ? c

? x ? a cos ? ( ? 为参数) ? ? y ? b sin ?

? x ? b cos ? ( ? 为参数) ? ? y ? a sin ?

椭圆上的 点到给定 直线的距 离

? x ? a cos ? 利用参数方程简便: 椭圆 ? ( ? 为参数) 上一点到直线 Ax ? By ? C ? 0 的 ? y ? b sin ?
距离为: d ?
|Aa cos ? ? Bb sin ? ? C| A2 ? B 2

椭圆

直线和 椭圆的 位置

x2 y2 ? ? 1 与直线 y ? kx ? b 的位置关系: a2 b2

? x2 y 2 ?1 ? ? 利用 ? a 2 b2 转化为一元二次方程用判别式确定。 ? y ? kx ? b ?
相交弦 AB 的弦长 AB ? 1 ? k 2 (x1 ? x2 ) 2 ? 4x1 x2

2

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注意:椭圆

x2 y2 y2 x2 ? 2 ? 1 , 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的相同点:形状、大小都相同;参数间的关系都有 a2 b a b

(a ? b ? 0) 和 e ?

c (0 ? e ? 1) , a 2 ? b 2 ? c 2 ;不同点:两种椭圆的位置不同;它们的焦点坐标也不相同。 a

规律方法:
1.如何确定椭圆的标准方程? 任何椭圆都有一个对称中心, 两条对称轴。 当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点, 对称轴是坐标轴, 椭圆的方程才是标准方程形式。此时,椭圆焦点在坐标轴上。 确定一个椭圆的标准方程需要三个条件:两个定形条件 a, b ;一个定位条件焦点坐标,由焦点坐标 的形式确定标准方程的类型。 2.椭圆标准方程中的三个量 a, b, c 的几何意义 椭圆标准方程中, a, b, c 三个量的大小与坐标系无关,是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表 示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长,均为正数,且三个量的大小关系为:(a ? b ? 0) ,(a ? c ? 0) , 且 (a 2 ? b 2 ? c 2 ) 。 可借助右图理解记忆: 显然: a, b, c 恰构成一个直角三角形的三条边,其中 a 是 两条直角边。 3.如何由椭圆标准方程判断焦点位置 点总在长轴上,因此已知标准方程,判断焦点位置的方法是: 母的大小,哪个分母大,焦点就在哪个坐标轴上。 4.方程 Ax2 ? By2 ? C( A, B, C均不为零) 是表示椭圆的条件 方程 Ax2 ? By 2 ? C 可化为
x 2 By 2 Ax 2 By 2 ? ? 1 ,所以只有 A、B、C 同号,且 A ? B 时, ? ? 1 ,即 C C C C A B

斜边,b、c 为 椭圆的焦 看 x 2 , y 2 的分

方程表示椭圆。当

C C C C ? 时,椭圆的焦点在 x 轴上;当 ? 时,椭圆的焦点在 y 轴上。 A B A B 5.求椭圆标准方程的常用方法: ①待定系数法:由已知条件确定焦点的位置,从而确定椭圆方程的类型,设出标准方程,再由条件

确定方程中的参数 a, b, c 的值。其主要步骤是“先定型,再定量”; ②定义法:由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形,然后再根据定义确定方程。 6.共焦点的椭圆标准方程形式上的差异
x2 y2 x2 y2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 共焦点的椭圆方程可设为 2 ? 2 ? 1 (m ? ?b 2 ) , 共焦点, c 相同。 则 与椭圆 2 a b a ?m b ?m

此类问题常用待定系数法求解。
3

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7.判断曲线关于 x 轴、 y 轴、原点对称的依据: ① 若把曲线方程中的 x 换成 ? x ,方程不变,则曲线关于 y 轴对称; ② 若把曲线方程中的 y 换成 ? y ,方程不变,则曲线关于 x 轴对称; ③ 若把曲线方程中的 x 、 y 同时换成 ? x 、 ? y ,方程不变,则曲线关于原点对称。 8.如何求解与焦点三角形△PF1F2(P 为椭圆上的点)有关的计算问题? 思路分析: 与焦点三角形△PF1F2 有关的计算问题时, 常考虑到用椭圆的定义及余弦定理 (或勾股定理) 、 1 三角形面积公式 S ?PF1F2 ? PF1 ? PF2 ? sin ?F1 PF2 相结合的方法进行计算解题。 2 将 有 关 线 段 PF 、 2 、1 F2 , 有 关 角 ?F1 PF2 ( ?F1 PF2 ? ?F1 BF2 ) 结 合 起 来 , 建 立 PF1 ? PF2 、 F 1 PF

PF1 ? PF2 之间的关系.
9.如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系? 长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率 e ?

c (0 ? e ? 1) ,因为 c 2 ? a 2 ? b 2 , a ? c ? 0 ,用 a

a、 b 表示为 e ? 1 ? ( ) 2 (0 ? e ? 1) 。

b a

显然:当 圆。

b b 越小时, e(0 ? e ? 1) 越大,椭圆形状越扁;当 越大, e(0 ? e ? 1) 越小,椭圆形状越趋近于 a a

10.点在椭圆的内外部 (1)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆
x y ? 2 2 a b
2 2

2 2 x0 y0 ? 1(a ? b ? 0) 的内部 ? 2 ? 2 ? 1 . a b
2 2 x0 y0 ? ? 1. a 2 b2

x2 y 2 (2)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的外部 ? a b

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双曲线简单几何性质知识点
x2 y2 y2 x2 双曲线 2 ? 2 ? 1 与 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的区别和联系 a b a b

标准方程

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0) a2 b2
y

y2 x2 ? ?1 a2 b2
y

(a>0,b>0)

图像
F1 A 1
O

F2 A2

A 2 F2

x

O

x A1 F1

平面内与两定点 F , F 的距离的差的绝对值是常数 (小于 | F F | )的点 M 的轨迹叫做双曲线.这两个定点 F1, F2 叫做双曲线的焦点,两个焦点之间的距离叫做焦距. || MF1 | ? | MF2 ||? 2a (*)
1 2 1 2

第一定义

注意:① (*)式中是差的绝对值,在 0 ? 2a ?| F1F2 | 条件下: ; | MF1 | ? | MF2 |? 2a 时为双曲线的一支(含 F2 的一支) | MF2 | ? | MF1 |? 2a 时为双曲线的另一支(含 F1 的一支). ② 2a ?| F1F2 | 时, || MF1 | ? | MF2 ||? 2a 表示两条射线. 当 ③ 2a ?| F1F2 | 时, || MF1 | ? | MF2 ||? 2a 不表示任何图形. 当 ④当 2a ? 0 时, MF1 | ? | MF2 ||? 2a 表示 F1F2 线段的中垂线 ||

焦点坐标 焦点位置
a , b, c

F1 (?c,0), F2 (c,0)

F1 (0, ?c), F2 (0, c)

焦点跟着正项走

c2 ? a 2 ? b2 , c 最大, a , b 不确定。 a ? 0, b ? 0

关系 性质 范围 对称性
x ?a, y?R y ?a,x?R

对称轴为 x 轴 y 轴,对称中心为原点
A1 (?a,0), A2 (a,0) A1 (0, ?a), A2 (0, a)

顶点 双曲线只有两个顶点
5

双曲线只有两个顶点

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实虚轴

实轴: A1 A2 长为 2a, a 叫做半实轴长 虚轴: B1B2 长为 2b,b 叫做虚半轴长 双曲线焦距与实轴长的比 e ?
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

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离心率

2c c ? , 叫做双曲线的离心率 2a a

取值范围: e ? 1 ,离心率越大,双曲线的开口就越阔 到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离之比为常数
e? c ( c ? a ? 0) a 的点的轨迹是双曲线

王新敞
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第二定义 其中,定点叫做双曲线的焦点,定直线叫做双曲线的准线
王新敞
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常数 e 是双曲线的离心率. (

MF ? e) d

相对于左焦点 F1 (?c,0)
a2 l1 : x ? ? c , 对应着左准线

相对于上焦点 F1 (0,?c)
a2 l1 : y ? ? c ; 对应着上准线

准线方程 相对于右焦点 F2 (c,0) 对应着右准线
l2 : x ? a2 c ;

相对于下焦点 F2 (0, c) 对应着下准线
l2 : y ? a2 c

常用结论 从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于 b.
x2 y2 ? 2 ?1 2 过双曲线 a b 的两顶点 A1 , A2 , Y 轴的平行线 作
x ? ? a ,经过 B1 , B2 作

渐近线 一个矩形 定义
王新敞
奎屯 新疆

X 轴的平行线 y ? ?b ,四条直线围成
b a

矩形的两条对角线所在直线方程是 y ? ? x 或

x y ? ?0 (a b ) ,这两条直线就是双曲线的渐近线

王新敞
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双曲线无限接近渐近线,但永不相交。 渐近线 方程
b x (焦点在 x 轴) a a x (焦点在 y 轴) b

y??

y??

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共渐近线 的双曲线 系

x2 y 2 ? ? ? (? ? 0) a 2 b2

y 2 x2 ? ? ? (? ? 0) a 2 b2

定义:实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线 等轴 双曲线 性质: (1)渐近线方程为: y ? ? x ; (2)渐近线互相垂直; (3)离心率 e ? 2
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
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过焦点且垂直于对称轴的相交弦 通径 直接应用焦点弦公式,得到

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d?

2b 2 a

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抛物线的知识点小结
y 2 ? 2 px ( p ? 0) y 2 ? ?2 px ( p ? 0)
y l O F x F O x O F x l O F

x 2 ? 2 py ( p ? 0)
y

x 2 ? ?2 py ( p ? 0)
y l x


l

y

物 线

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定义 范围 对称性

平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线, F 叫 点 做抛物线的焦点,直线 l 叫做抛物线的准线。 { M MF =点 M 到直线 l 的距离}
x ? 0, y ? R x ? 0, y ? R x ? R, y ? 0 x ? R, y ? 0

关于 x 轴对称 (
p ,0) 2

关于 y 轴对称
p ,0) 2

(?

(0,

焦点 顶点 离心率 准线 方程 顶点到准 线的距离 焦点到准

p ) 2

(0, ?

p ) 2

焦点在对称轴上
O(0, 0)

e =1
x?? p 2 x? p 2 y?? p 2 y? p 2

准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。
p 2

p

线的距离 设直线过焦点 F 与抛物线 y 2 ? 2 px( p >0)交于 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ?

y
焦点弦的 几条性质

A ? x1 , y1 ?
x B ? x2 , y2 ? F

则: (1) x1 x2 =

o

p2 4

(2) y1 y2 ? ? p 2 (3)通径长: 2 p (4)焦点弦长 AB ? x1 ? x2 ? p

直线与抛 物线的位 置

抛物线 y 2 ? 2 px 与直线 y ? kx ? b 的位置关系: 利用 ?
? y ? kx ? b
2 ? y ? 2 px

转化为一元二次方程用判别式确定。

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