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函数图象之平移与对称的专题


一 基本函数的图象直接画:
1、正比例函数和一次函数的图象 一条直线 是 __________________ 如 y = 2x + 1 y

y

o

x

2、二次函数的图象 一条抛物线 是 __________________
如 y = x 2 + 2x o x

>
y
3、反比例函数的图象 双曲线 是 __________________

如 y=

1 x

o

x

二 分段函数(可化为分段函数)分段画:

例1g(x)= 2x-1 7-x

?

x

7 (1 ? x ? ) 2

y

y=2x-1 y=x

(x<1)
7 (x ? ) 2

0 1
7 2

x
y=7-x

y

|x| 例2 作函数y=x+ 的图象。 x
?x ? 1 y?? ?x ? 1 ( x ? 0) ( x ? 0)

1 0

-1

x

引例:已知函数 f ( x ) = x 2 + 2x -3,作出下列函数的图象:
1)y = f ( x ) y 2) y = f ( | x | ) y 3)y = | f ( x ) | y
4

-1
-3

-1
1

-1
1

o

x

-3

o

x

-3

o

1

x

-4

-4

-4

?( x ? 1) 2 ? 4 2) y ? ? 2 ?( x ? 1) ? 4

x?0 x?0

? ( x ? 1) 2 ? 4 3) y ? ? 2 ? ? ( x ? 1) ? 4

x ? ?3或x ? 1 ?3? x?1

结论: 图象的翻转变换一:
y=f(x)
式变:整个函数式加上绝对值 图变:上不变,下翻上(去下)

y=|f(x)|

图象的翻转变换二:

y=f(x)

式变:x换成|x|, y不变 图变:右不变,右翻左(去左)

y=f(|x|)

练习 作下列函数的图象。 (1)y=|x2-5x+4| (2)y=x2-5|x|+4

拓展:b为何值时,方程|x2-5x+4|-b=0有四解.

引例:已知函数 f ( x ) = x 2 + 2x -3,作出下列函数的图象:
4)y = f ( x-2 ) y 5 ) y = f ( x- 2 ) + 1 y

-1

o

1

-1

x
-4

o
-3

1

x
-4

4)y = f ( x-2 )=x2-2x-3 5) y = f ( x-2 ) + 1

结论: 图象的平移变换一: y=f(x)
式变:x换成(x+a); y不变 图变:向左平移 a个单位

y=f(x+a)(a>0)

图象的平移变换二: y=f(x)
式变:x换成(x-a); y不变
图变:向右平移 a个单位 式变:整个函数式再加上A 图变:向上平移 A个单位

y=f(x-a)(a>0)

图象的平移变换三:

y=f(x)

y=f(x)+A(A>0)

图象的平移变换四: y=f(x)
式变:整个函数式再减去A 图变:向下平移 A个单位

y=f(x)-A(A>0)

x ?1 例1 作函数f(x)= 的图象。 x ?1 ( x ? 1) ? 2 2 ? 1? f(x)? x ?1 x ?1 2x 例2 作函数f(x)= 的图象。 3x ? 4
2 8 8 (3x ? 4) ? 3 3 ?2? 3 f(x)= 3x ? 4 3 3x ? 4 8 8 2 ? ? 9 3 (x ? 4) f ( x) ?9 x 3

y 1 0 1 x

2 f ( x) ? x

y
2 3

o

4 3

x

1、函数 y = f ( x + 1 ) + 1 的图象可由函数 y = f ( x ) 的图象

经过下述哪种变换得到:
A,向左平移一个单位,再向上平移一个单位; B,向左平移一个单位,再向下平移一个单位; C,向右平移一个单位,再向上平移一个单位; D,向右平移一个单位,再向下平移一个单位;

A

2、若函数 f ( x ) = 3x 2,把图象向右平移 1 个单位,则得到 y = 3 ( x -1 ) 2 的图象; 函数 ________________ 若把函数 f ( x ) 的图象向左平移 1 个单位,则得到函数 y = 3 ( x + 1 ) 2 的图象; ________________ 若把函数 f ( x ) 的图象向下平移 1 个单位,则得到函数
2 -1 y = 3 x ________________ 的图象;

若把函数 f ( x ) 的图象向上平移 1 个单位,则得到函数
2+ 1 y = 3 x ________________ 的图象;

规律:左加右减;上加下减。

引例:已知函数 f ( x ) = x 2 + 2x -3,作出下列函数的图象: 6)y = f ( -x ) 7)y = -f ( x ) 8)y = -f ( -x )
y y y

-3

o

1

x

o

x

o

x

6)y = f ( -x ) =x2-2x-3

7)y = -f (
8)y =

x )

=-x2-2x+3

-f ( -x )=-x2+2x+3

结论: 图象的对称变换一: y=f(x)
式变:x换成-x; y不变 图变:关于y轴对称

y=f(-x)

图象的对称变换二: y=f(x)
式变:y换成-y; x不变
图变:关于x轴对称 式变: x换成-x; y换成-y 图变:关于原点对称

y=-f(x)

图象的平移变换三:

y=f(x)

y=-f(-x)

3、已知一次函数 f ( x ) = ax + b ( a、b ≠ 0 ), 则它的图象 -ax + b 与函数 f ( x ) = _____________ 的图象关于 y 轴对称;

-ax -b 与函数 f ( x ) = _____________ 的图象关于 x 轴对称;
ax - b 与函数 f ( x ) = _____________ 的图象关于原点对称;

x 2 2、求方程 ? x ? 2 ? 0 的解的个数.

数形结合 3、要得到函数 y ? 2 x 1 函数 y ? ( 4 ) 的图象
A、向右平移一个单位 1 C、向左平移 个单位
1? 2 x

的图象,只需将指数 ( ) D
2

2

B、向左平移一个单位 1 D、向右平移 个单位


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