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广东省汕头市东里中学2012-2013学年高二理科数学期末统考复习 统计与概率(教师版)

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基础过关题
一、抽样方法:简单随机抽样、分层抽样、系统抽样; 练习题 1. (2010 山东省济宁市)高三(1)班共有 56 人,学号依次为 1,2,3,?,56,现用系统抽样的办法抽 取一个容量为 4 的样本。已知学号为 6,34,48 的同学在样本中, 那么还有一个同学的学号应为 20 2、 (山东卷)某学校共有师生 2400 人,现用分层抽样的方法,从所有师生中抽

取一个容量为 160 的样本, 已知从学生中抽取的人数为 150,那么该学校的教师人数是 。15 3、某工厂生产某种产品 4800 件,它们来自甲、乙、丙 3 条生产线,为了检查这批产品的质量,决定采用 分层抽样的方法进行抽样,已知甲、乙、丙三条生产线抽取的个体数的比值为5∶4∶3,则乙生产线生产 了 件产品。 1600 二、频率分布表、频率分布直方图、频率折线图、茎叶图及其各自特点; 三、平均数、众数、中位数、方差、标准差的求法、意义和作用;
1 1 n 1 n 样本平均数 x ? ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) ? ? xi 反映的是这组数据的平均水平. 方差 S 2 ? ? ? xi ? x ? 它们反映的 n i ?1 n n i ?1
2

是数据的稳定与波动 练习题 1. (2010 烟台市)如图,是 2009 年底 CCTV 举办的全国钢琴、小提琴大赛比赛现 场上七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个 最低分后, 所剩数据的平均数和方差分别为( C ) A. 84, 4.84 B. 84,1.6 C. 85,1.6 D. 85,4

7 8

9

9

44 6 4 7 3

2.某校男子足球队 22 名队员的年龄如下: 16 17 17 18 14 18 16 18 17 18 19 18 17 15 18 17 16 18 17 18 17 18 这些队员年龄的众数与中位数分别是……………………………………………( B ) (A)17 岁与 18 岁 (B)18 岁与 17 岁 (C)17 岁与 17 岁 (D)18 岁与 18 3.某校有 500 名学生参加毕业会考,其中数学成绩在 85~100 分之间的有共 180 人,这个分数段的频率 是……………………………………………………………………( B ) (A)180 (B)0.36 (C)0.18 (D)500 4、为了了解小学生的体能情况,抽取了某校一个年级的部分学生进行一分钟跳绳 次数测试,将所得数据整理后,画出频率分布直方图(如图) ,已知图中从左到右前 三个小组的频率分别为 0.1,0.3,0.4,第一小组的频数为 5.若一分钟跳绳次数在 75 次以上(含 75 次)为达标,估计该年级学生跳绳测试的达标率 为 。90%

5、如图,从参加环保知识竞赛的学生中抽出 60 名,将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分布直方图 如下:观察图形,回答下列问题:
第1页

(1) 79.5 ~ 89.5 这一组的频数、频率分别是多少? (2)估计这次环保知识竞赛的及格率( 60 分及以上为及格) (1)0.25,15 (2)75%

四、排列、组合和二项式定理 ⑴排列的定义及排列数公式:⑵组合的定义及公式: ⑶组合数性质: Cn
m n ? Cn ? m ; ;

0 1 k n ⑷二项式定理: (a ? b) n ? Cn a n ? Cn a n?1b1 ? ? ? Cn a n?k b k ? ? ? Cn b n (n ? N ? ) r ①通项: Tr ?1 ? Cn a n?r b r (r ? 0,1,2,...,n); ②注意二项式系数与系数的区别;

五. 概率与统计 ⑴随机变量的分布列: ①随机变量分布列的性质:pi≥0,i=1,2,?; ②离散型随机变量: X x1 X2 P P1 P2

p1+p2+?=1; ? ? xn Pn ? ?

期望:EX= x1p1 + x2p2 + ? + xnpn + ? ; 方差:DX= ( x1 ? EX ) 2 p1 ? ( x2 ? EX ) 2 p2 ? ? ? ? ? ( xn ? EX ) 2 pn ? ? ? ? ; 注: E(aX ? b) ? aEX ? b; D(aX ? b) ? a DX ;
2

③两点分布: X P 0 1-p 1 p 期望:EX=p;方差:DX=p(1-p).

④二项分布(独立重复试验) :
k 若 X~B(n,p),则 EX=np, DX=np(1- p);注: P( X ? k ) ? Cn p k (1 ? p) n?k 。

⑵条件概率:称 P( B | A) ?

P( AB) 为在事件 A 发生的条件下,事件 B 发生的概率。 P( A)

注:①0 ? P(B|A) ? 1;②P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。 ⑶独立事件同时发生的概率:P(AB)=P(A)P(B) 。 ⑷正态分布

配套练习
第2页

1.不同的五种商品在货架上排成一排,其中甲、乙两种必须排在一起,丙、丁不能排在一起,则不同的排 法共有 种. 答案 24 2.(2008·辽宁理)一生产过程有 4 道工序,每道工序需要安排一人照看,现从甲、乙、丙等 6 名工人中 安排 4 人分别照看一道工序,第一道工序只能从甲、乙两工人中安排 1 人,第四道工序只能从甲、丙两 工人中安排 1 人,则不同的安排方案共有 种. 答案 36 3.二项式(a+2b) 中的第二项系数是 8,则它的第三项的二项式系数为 答案 6 4.(2008·山东理)(x- 3
5.设随机变量 X~B(6,
n

.

1 x

) 展开式中的常数项为
.答案
5 16

12

. 答案

-220

1 ),则 P(X=3)= 2

6. (2008· 湖南理, 设随机变量 ? 服从正态分布 N 4) (2, , P ? >c+1) ( ? <c-1) 则 c= 9) 若 ( =P , 答案 2

.

典型例题
例1. (2011 山东省) 上海世博会深圳馆 1 号作品《大芬丽莎》是由大芬村 507 名画师集体创作的 999 幅 油画组合而成的世界名画《蒙娜丽莎》 ,因其诞生于大芬村,因此被命名为《大芬丽莎》 .某部门从参加创 作的 507 名画师中随机抽出 100 名画师,测得画师年龄情况如下表所示.
分 组 (单位:岁) 频数 频 率

?20,25? ?25,30?

5

0. 050

0. 200 ①

?30,35? ?35,40?
?40,45?
合 计

35



30

0. 300

10

0. 100

100

1.00

(1)频率分布表中的①、②位置应填什么数据?并在答题卡中补全频率分布直方图, 再根据频率分布直方图估计这 507 名画师中年龄在 ?30,35? 岁的人数(结果取整数) ; (2)在抽出的 100 名画师中按年龄再采用分层抽样法抽取 20 人参加上海世博会深 圳馆志愿者活动,其中选取 2 名画师担任解说员工作,记这 2 名画师中“年龄低于 30 岁”的人数为 ? ,求 ? 的分布列及数学期望.
第3页

解: (1)①处填 20,②处填 0.350;507 名画师中年龄在 ?30,35? 的人数为

0.35 ? 507 ? 177 人,补全频率分布直方图如图所示?????????6分
(2)用分层抽样的方法,从中选取 20 人,则其中“年龄低于 30 岁”的有 5 人, “年龄不低于 30 岁”的有 15 人.故 ξ 的可能取值为 0, 1,2;
2 C15 42 21 ? . P(? ? 0) ? 2 ? 38 C 20 76 1 1 C15 C5 30 15 ? . P(? ? 1) ? ? 2 76 38 C 20

P ?? ? 2 ? ?

2 C5 4 1 ? ? . 2 C20 76 19

所以 ξ 的分布列为 ξ P 0 1 2

21 . 38

15 38

1 19

所以 E? ? 0 ?

21 15 1 1 ? 1? ? 2 ? ? 38 38 19 2 .

?????????????12 分

练习 1(2011 年广州市) 某企业生产的一批产品中有一、二、三等品及次品共四个等级,1 件不同等级产品的利润 (单位:元)如表 1,从这批产品中随机抽取出 1 件产品,该件产品为不同等级的概率如表 2. 若从这批产品中随机抽取出的 1 件产品的平均利润(即数学期望)为 4.9 元.

等级 利润

一等品

二等品

三等品

次品

等级

一等品

二等品

三等品

次品

6
表1

5

4

?1

P
表2

0.6

a

0.1

b

(1) 求 a , b 的值; (2) 从这批产品中随机取出 3 件产品,求这 3 件产品的总利润不低于 17 元的概率. (本小题主要考查数学期望、概率等知识, 解能力和应用意识) 考查或然与必然的数学思想方法,以及数据处理能力、运算求

(1)解:设 1 件产品的利润为随机变量 ? ,依题意得 ? 的分布列为:

?
P

6

5

4

?1

0.6

a

0.1

b

第4页

?? 2 分 ∴ E? ? 6 ? 0.6 ? 5a ? 4 ? 0.1 ? b ? 4.9 ,即 5a ? b ? 0.9 . ∵ 0.6 ? a ? 0.2 ? 0.1 ? b ? 1 , 即 a ? b ? 0.3 , 解得 a ? 0.2, b ? 0.1 . ∴ a ? 0.2, b ? 0.1 . ?? 6 分 ?? 3 分 ?? 4 分

(2)解:为了使所取出的 3 件产品的总利润不低于 17 元,则这 3 件产品可以有两种取法:3 件都 是一等品或 2 件一等品,1 件二等品.
3 2 故所求的概率 P ? 0.6 ? C 3 ?0.62 ? 0.2 ? 0.432 .

?? 8 分 ?? 12 分

练习 2、 (2011 年深圳市)第 26 届世界大学生夏季运动会将于 2011 年 8 月 12 日到 23 日在深圳举行 ,为 了搞好接待工作, 组委会在某学院招募了 12 名男志愿者和 18 名女志愿者。 将这 30 名志愿者的身高编 成如右所示的茎叶图(单位:cm) : 若身高在 175cm 以上(包括 175cm)定义为“高个子” , 身高在 175cm 以下(不包括 175cm)定义为“非高个子” , 且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐” 。 (1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中 中提取 5 人,再从这 5 人中选 2 人,那么至少有一人是 “高个子”的概率是多少? (2)若从所有“高个子”中选 3 名志愿者,用 ? 表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数,试写出

? 的分布列,并求 ? 的数学期望。
解: (1)根据茎叶图,有“高个子”12 人, “非高个子”18 人,??????????1 分 用分层抽样的方法,每个人被抽中的概率是 所以选中的“高个子”有 12 ?

5 1 ? , 30 6

??????????2 分

1 1 ? 2 人, “非高个子”有 18 ? ? 3 人.???????3 分 6 6

用事件 A 表示“至少有一名“高个子”被选中” ,则它的对立事件 A 表示“没有一名“高个子”被选中” , 则 P( A) ? 1 ?
2 3 7 C3 ? 1? ? . 2 10 10 C5

????????????5 分

因此,至少有一人是“高个子”的概率是 (2)依题意, ? 的取值为 0,1, 2, 3 .

7 . 10

???????????6 分 ???????????7 分

P(? ? 0) ?

3 C8 14 ? , 3 C12 55

P(? ? 1) ?

2 C1 C8 28 4 , ? 3 C12 55

P(? ? 2) ?

C2C1 12 4 8 ? , 3 C12 55

P(? ? 3) ?

C3 1 4 . ? 3 C12 55
第5页

??????????9 分

因此, ? 的分布列如下:

?
p

0

1

2

3

14 55

28 55

12 55

1 55
??????10 分

? E? ? 0 ?

14 28 12 1 ? 1? ? 2 ? ? 3? ? 1. 55 55 55 55

第6页


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