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第7章 第1讲 空间几何体及三视图和直观图


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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第七章 立体几何

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第七章

第一讲

空间几何体的结构 及其三视图和直观图

第七章 立体几何

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●知识梳理
1.多面体的结构特征 的多边形.

底面是平行四边形的 棱柱叫平行六面体

平行 (1)棱柱的侧棱都平行且______ 相等 ,上下底面是全等且______ 公共顶点 (2)棱锥的底面是任意多边形,侧面是有一个____________

的三角形.
底面 的平面截棱锥得到,其上下底面 (3)棱台可由平行于 _____ 是相似多边形.

棱台侧棱的延长线 必交于一点
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2.旋转体的结构特征 任一边 (1)圆柱可以由矩形绕其____________ 旋转得到. 任一直角边 旋转得到. (2)圆锥可以由直角三角形绕其____________

直角腰 (3) 圆 台 可 以 由 直 角 梯 形 绕 ____________ 或等腰梯形绕 平行 上下底中点连线 ________________旋转得到,也可由____________ 于圆锥底面
的平面截圆锥得到. 直径 (4)球可以由半圆面或圆面绕____________ 旋转得到.

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3.空间几何体的三视图 空间几何体的三视图是用正投影得到的,这种投影下与投 影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是 完全相同 的,三视图包括 ____________ 主视图 左视图 ____________ 、 ____________ 、 俯视图 ____________ .

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4.空间几何体的直观图

空间几何体的直观图常用________ 斜二测 画法来画,其规则是:
(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中,x′轴、y′ 轴 的 夹 角 为 45°( 或 135°) , z′ 轴 与 x′ 轴 、 y′ 轴 所 在 平 面 垂直 ____________ . (2) 原 图 形 中 平 行 于 坐 标 轴 的 线 段 , 直 观 图 中 仍 分 别 平行于 ____________ 坐标轴.平行于y轴和z轴的线段在直观图中保持 不变 原长度 ____________ ,平行于 x 轴的线段长度在直观图中变为 原来的一半 . ____________

直观图中能看到的轮廓线用实线, 不能看到的为虚线
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●双基自测
1 . 下 列 结 论 正 确 的 打 “√” , 错 误 的 打 “×”. 导学号 25401580 (1)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱 柱.( )

(2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱 锥.( )

(3) 棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得的平面与底面 之间的部分.( )
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(4)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱.( (5)上下底面是两个平行的圆面的旋转体是圆台.( (6)用一个平面去截一个球,截面是一个圆面.( ) )

)

(7) 在用斜二测画法画水平放置的∠A 时,若∠A 的两边分
别 平 行 于 x 轴 和 y 轴 , 且 ∠A = 90° , 则 在 直 观 图 中 ∠A = 45°.( ) (2)× (3)√ (4)× (5)× (6)√ (7)× [答案] (1)×

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2. ( 2 0 1 5 · 湖 南 株 洲 教 学 质 量 统 一 检 测

)已知底面为正方形的

四 棱 锥 , 其 一 条 侧 棱 垂 直 于 底 面 , 那 么 该 四 棱 锥 的 三 视 图 可 能 是下列各图中的 导学号 2 5 4 0 1 5 8 1 ( )

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[答案] C [解析] 通过对以下四个四棱锥的三视图对照可知,只有 选项C是符合要求的.

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3 . ( 必修 2 P 8

练习 A T 2

改编 ) 如图,长方体

A B C D -

A′B′C′D′中被截去一部分,其中 EH∥A′D′.剩 下 的 几 何 体 是 导 学 号 2 5 4 0 1 5 8 2 A. 棱 台 B. 四 棱 柱 C. 五 棱 柱 D. 简 单 组 合 体 ( )

[ 答案]

C

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4.(必修 2 P 2 4

练习 A T 2 改编)若 某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所

示,则该几何体为___________. 导学号 2 5 4 0 1 5 8 3

[ 答案]

四 棱 柱 与 圆 柱 组 合 而 成 的 简 单 组 合 体
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5.(2015· 大连模拟)利用斜二测画法得到的: ①三角形的直观图一定是三角形; ②正方形的直观图一定是菱形; ③等腰梯形的直观图可以是平行四边形; ④菱形的直观图一定是菱形. 以上结论正确的个数是__________. 导学号 25401584
[答案] ① [解析] ①正确,②③④⑤错误.

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考点突破· 互动探究

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空间几何体的结构特征
(1)下列说法正确的是 导学号 25401585 ( )

A.有两个平面互相平行,其余各面都是平行四边形的多 面体是棱柱 B.四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形 C.有两个平面互相平行,其余各面都是梯形的多面体是 棱台 D.棱台的各侧棱延长后不一定交于一点

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( 2 ) 如 果 四 棱 锥 的 四 条 侧 棱 都 相 等 , 就 称 它 为 锥”, 四 条 侧 棱 称 为 它 的 腰 , 以 下 导 学 号 2 5 4 0 1 5 8 6 ( )

“等 腰 四 棱

4 个 命 题 中 , 假 命 题 是

A. 等 腰 四 棱 锥 的 腰 与 底 面 所 成 的 角 都 相 等 B. 等 腰 四 棱 锥 的 侧 面 与 底 面 所 成 的 二 面 角 都 相 等 或 互 补 C. 等 腰 四 棱 锥 的 底 面 四 边 形 必 存 在 外 接 圆 D. 等 腰 四 棱 锥 的 各 顶 点 必 在 同 一 球 面 上

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[分析]

( 1 )

空间多面体的结构特征 → 画特例直观图

→ 错误分析 → 确定答案 ( 2 ) 理 解 等 腰 四 棱 锥 的 概 念 .
[解 析] 是 矩 形 , 可 证 明 直 角 三 角 形 ; ( 1 ) A 错 , 如 图 ( 1 ) ; B正 确 , 如 图 ∠P A B ,∠P C B ( 2 ) , 其 中 底 面 A B C D 都 是 直 角 , 这 样 四 个 侧 面 都 是

C错 , 如 图 (3);D 错 , 由 棱 台 的 定 义 知 , 其 侧 棱

的 延 长 线 必 相 交 于 同 一 点 .

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(2)因为“等腰四棱锥”的四条侧棱都相等,所以它的顶点 在底面的射影到底面的四个顶点的距离相等,故 A , C 正确, 且在它的高上必能找到一点到各个顶点的距离相等,故 D 正 确,B不正确,如底面是一个等腰梯形时结论就不成立.

[答案] (1)B (2)B

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[点拨]

(1)棱台是用平行于底面的平面截棱锥而得,其侧

棱的延长线必相交于一点. (2)如果四棱锥的四条侧棱都相等,根据射影定理,斜线段 相等则射影长相等,底面四边形是有外接圆的四边形,这就抓

住了问题的本质.

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[规律总结] 解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧
(1)熟悉空间几何体的结构特征,依据条件构建几何模型, 在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等 基本元素,然后再依据题意判定. (2)利用反例对结构特征进行辨析,即要说明某个命题是错

误的,只要举出一个反例即可.

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( 1 ) ( 2 0 1 5 · 广东)若空间中 n 个不同的点两两距离都相等,则 正整数 n 的取值 导学号 2 5 4 0 1 5 8 7 A. 至 多 等 于 C.等于 5 3 ( )

B.至多等于 4 D.大于 5

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( 2 ) 设 有 以 下 四 个 命 题 : ①底 面 是 平 行 四 边 形 的 四 棱 柱 是 平 行 六 面 体 ; ②底 面 是 矩 形 的 平 行 六 面 体 是 长 方 体 ; ③四 棱 锥 的 四 个 侧 面 最 多 有 三 个 直 角 三 角 形 ; ④棱 台 的 相 对 侧 棱 延 长 后 必 交 于 一 点 ; ⑤直 角 三 角 形 绕 其 任 一 边 所 在 直 线 旋 转 一 周 所 形 成 的 几 何 体 都 是 圆 锥 . 其 中 真 命 题 的 序 号 是 _ __ _ _ _ _ _ . 导 学 号 2 5 4 0 1 5 8 8

[ 答案]

( 1 ) B

( 2 ) ①④
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[解 析]

( 1 ) 首 先 我 们 知 道 正 三 角 形 的 三 个 C、D.

顶 点 满 足 两 两 距 离 相 等 , 于 是 可 以 排 除 又 注 意 到 正 四 面 体 的 四 个 顶 点 也 满 足 两 两 距 离 相 等 , 于 是 排 除 A, 故 选 B.

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( 2 ) 命 题 ①符 合 平 行 六 面 体 的 定 义 , 故 命 题 面 是 矩 形 的 平 行 六 面 体 的 侧 棱 可 能 与 底 面 不 垂 直 , 故 命 题 错 误 的 ; ③错 误 , 如 图 , AB C D 为 矩 形 , 可 证 明

①是 正 确 的 ; 底 ②是

PD⊥面 A B C D , 其 中 底 面 ∠P A B ,∠P C B 为 垂 角 , 这 样 ④是

四 个 侧 面 都 是 直 角 三 角 形 ; 由 棱 台 的 定 义 知 命 题 正 确 的 ; ⑤错 误 , 当 以 斜 边 为 旋 转 轴 时 , 其 余 两 边 旋 转 形 成 的 面 所 围 成 的 几 何 体 不 是 圆 锥 . 如 图 所 示 , 它 是 由 两 个 同 底 圆 锥 形 成 的 . [ 点拨] ① ② ④ 利 用 了 定 义 法 判 断 真 假 ,

③⑤利用了模型

法判断分析.
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空间几何体的三视图

(1)(2014· 江西理)一几何体的直观图如图所示, 下列给出的四个俯视图中正确的是 导学号 25401589 ( )

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( 2 ) ( 2 0 1 3 · 四 川 理 )若一个几何体的三视图如图所示,则该几 何体的直观图可以是 导学号 2 5 4 0 1 5 9 0 ( )

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[解析]

(1)俯视图为在水平投射面上的正投影,结合几何

体可知选B.
(2)由俯视图易知,只有选项D符合题意.故选D. [答案] (1)B (2)D

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[规律总结] (1)根据几何体确认三视图的技巧

由实物图画三视图或判断选择三视图,按照 “ 正侧一样
高,正俯一样长,俯侧一样宽”的特点确认. (2)根据三视图还原几何体的技巧策略 ①对柱、锥、台、球的三视图要熟悉. ②明确三视图的形成原理,并能结合空间想象将三视图还

原为直观图.

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③遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则.
提醒:对于简单组合体的三视图,首先要确定正视、侧 视、俯视的方向,其次要注意组合体由哪些几何体组成,弄清 它们的组成方式,特别应注意它们的交线的位置,区分好实线 和虚线的不同.

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( 1 ) 如 图 所 示 , 下 列 四 个 几 何 体 中 , 它 们 各 自 的 三 视 图 图、侧视图、俯视图 导 学 号 2 5 4 0 1 5 9 1 A.① ② B.① ③ C.② ③ D.① ④ ( ) ) 中有且仅有两个相同的是

(正 视

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( 2 ) 用 一 个 平 行 于 水 平 面 的 平 面 去 截 球 , 得 到 如 图 所 示 的 几 何体,则它的俯视图是 导学号 2 5 4 0 1 5 9 2 ( )

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[答案] (1)C (2)B [ 解析] (2)D项为主视图或者侧视图,俯视图中显然应有 一个被遮挡的圆,所以内圆是虚线,故选B.

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几何体的直观图

用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直 观图,结果为如图所示的一个正方形,则原来的平面图形为 导学号 25401593 ( )

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[ 分析]

分析直观 由直观图和 判断原图 得出 → → → 图特征 三视图联系 形特征 结果

[ 解析]

平 面 图 形 的 直 观 图 为 正 方 形 , 且 其 边 长 为

1, 对 角 x 轴上的边

线长为 2, 所 以 原 平 面 图 形 为 平 行 四 边 形 , 且 位 于 长仍为 1,位于 y 轴上的对角线长为 2 2.

[ 答案]

A

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[规律总结] 用斜二测画法画直观图的技巧
在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x′轴或y′轴 平行,原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点 再连线,原图中的曲线段可以通过取一些关键点,作出在直观 图中的相应点后,用平滑的曲线连接而画出.

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用斜二测画法画出的某平面图形的直 观图如图,边 AB 平行于 y 轴,BC,AD 平行于 x 轴 . 已 知 四 边 形 A B C D 的 面 积 为

2 2c m 2, 则 原 平 面 图 形 的 面 积 为 导学号 25401594 ( A.4 c m C.8 c m
2 2

) B.4 2 c m D.8 2 c m
2 2

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[答案] C
[ 解析] 依题意可知∠BAD=45° ,则原平面图形为直角梯 形, 上下底面的长与 BC, AD 相等, 高为梯形 ABCD 的高的 2 2 倍,所以原平面图形的面积为 8 cm2.

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纠错笔记· 状元秘籍

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易错点 三视图识图不准致误
某几何体的正视图和侧视图均如图所示, 则该几 何体的俯视图不可能是 导学号 25401595 ( )

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[错因分析]

解答本题出现的错误主要有:(1)不能正确还原

空间几何体的形状;(2)考虑问题不周全,片面地从正视图和侧视 图中得出其对应几何体的形状. [ 正解 ] 对于选项 A ,两个圆柱的组合体符合要求;对于选 项B,一个圆柱和一个正四棱柱的组合体符合要求;对于选项C,

一个底面为等腰直角三角形的直三棱柱和一个正四棱柱的组合体
符合要求;选项 D如果可能的话,则这个空间几何体是一个正三 棱柱和一个正四棱柱的组合体,其正视图中上面矩形的底边是正

三棱柱的底面边长,但侧视图中上面矩形的底边是正三棱柱底面
三角形的高,故只有选项D中的不可能.故选D. [答案] D
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[状元秘籍]

由三视图还原空间几何体的实际形状时,要

从三个视图综合考虑.根据三视图的规则,空间几何体的可见 轮廓线在三视图中为实线,不可见轮廓线为虚线.在还原空间 几何体的实际形状时,一般以正视图和俯视图为主,结合侧视

图进行综合考虑.

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( 2 0 1 5 · 湖南卷)某 工 件 的 三 视 图 如 图 所 示 , 现 将 该 工 件 通 过 切 削 , 加 工 成 一 个 体 积 尽 可 能 大 的 正 方 体 新 工 件 , 并 使 新 工 件 的 一 个 面 落 在 原 工 件 的 一 个 面 内 , 则 原 工 件 材 料 的 利 用 率 为 料 利 用 率 = 8 A.9 π 2 4 ? 2-1?3 C. π [ 答案] A 新 工 件 的 体 积 原 工 件 的 体 积 )导 学 号 2 5 4 0 1 5 9 6 8 B.2 7 π 8? 2-1?3 D. π ( ) (材

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[ 解析]

由 三 视 图 知 , 原 工 件 为 圆 锥 , 要 使 正 方

体 新 工 件 的 体 积 最 大 , 则 正 方 体 下 底 面 在 圆 锥 底 面 上 , 上 底 面 是 平 行 于 圆 锥 底 面 的 截 面 圆 的 内 接 正 方 形 , 过 正 方 体 的 顶 点 作 轴 截 面 如 图 , 且 正 方 形 的 对 角 线 , 设 正 方 体 的 棱 长 为 高 为 3 -1 =2 2, 所 以
3 2 2

AB 为 上 底 面 a, 则 AB= 2a, 又 圆 锥 的

2a 2 2-a 2 2 正 方 体 体 积 2 = 2 2 ,得 a= 3 , 1 2 2π 2 故 原 工 件 3×π×1 ×2 2= 3 ,

1 6 2 为 V=a = 2 圆 锥 的 体 积 为 7 , 的 材 料 利 用 率 为

1 6 2 2 7 8 =9 , 选 A. π 2 2π 3
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1. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的 表面积为( )

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2. 某几何体的三视图如图所示,图中的四边形都 是边长为2的正方形,两条虚线互相垂直,则该几 何体的体积是( )

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