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圆的标准方程3

时间:2017-06-04



2 .5



圆的标准方程

本节要求:掌握圆的标准方程并能 根据条件写出圆的标准方程。

求曲线方程的一般步骤:

(1)建立适当的坐标系,用(x,y)表示曲线上 任意一点M的坐标
(2)写出适合条件P的点M的集合 P={M | p(M)}; (3)

用坐标表示条件p(M),列出方程 f(x,y)=0 (4)化方程 f(x,y)=0为最简形式

建系、设点
条件立式

代换 化简方程
查缺补漏

(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲 线上的点。

求:圆心是C(a,b),半径是r的圆的方程

解: 设M(x,y)是圆上任意一点,
根据定义,点M到圆心C的 距离等 于r,所以圆C就是集合 P={M| |MC|=r} 由两点间的距离公式,点M适合的 条件可表示为: (x-a) 2 + (y-b) 2 = r 把上式两边平方得: (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2

y r C

M

O

x

求:圆心是C(a,b),半径是r的圆的方程

解: 设M(x,y)是圆上任意一点,
根据定义,点M到圆心C的 距离等 于r,所以圆C就是集合 P={M| |MC|=r} 由两点间的距离公式,点M适合的 条件可表示为: (x-a) 2 + (y-b) 2 = r 把上式两边平方得: (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2

y r C

M

O

x

求:圆心是C(a,b),半径是r的圆的方程

解: 设M(x,y)是圆上任意一点,
根据定义,点M到圆心C的 距离等 于r,所以圆C就是集合 P={M| |MC|=r} 由两点间的距离公式,点M适合的 条件可表示为: (x-a) 2 + (y-b) 2 = r 把上式两边平方得: (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2

y r C

M

O

x

求:圆心是C(a,b),半径是r的圆的方程

解: 设M(x,y)是圆上任意一点,
根据定义,点M到圆心C的 距离等 于r,所以圆C就是集合 P={M| |MC|=r} 由两点间的距离公式,点M适合的 条件可表示为: (x-a) 2 + (y-b) 2 = r 把上式两边平方得: (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2

y r C

M

O

x

特例:如果圆心在 坐标原点,圆的方 程为 x2+y2=r2.

小结:
1 圆心确定圆的位置,半径确

定圆的大小。 2 只要a,b,r(r>0)三个量确定
了,方程就确定了。 3 要确定圆的方程,必须知道 三个独立的条件。

练习:1、写出下列各圆的方程: (1)圆心在点C(3, 4 ),半径是
5 (x-3)2+(y-4)2=5

(2) 经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3)
(x-8)2+(y+3)2=25

补充练习: 写出圆的圆心坐标和半径: (1) (x+1)2+(y-2)2=9 (2)(x+a)2+y2=a2

(-1,2) (-a,0)

3 |a|

例1:求以C(1,3)为圆心,并且和直线3x-4yy 7=0 相切的圆的方程。 解:设所求圆的方程为:

(x-1)2+(y-3)2=r2 因为圆C和直线3x-4y-7=0相切 所以圆心C到这条直线的距离等 于半径r 根据点到直线的距离公式,得
r= | 3× 1— 4×3 — 7 | 32+(-4)2 16 = 5 256 = 25
O

C

x

因此,所求圆的方程是 (x-1)2+(y-3)2

练习2: 已知一个圆的圆心在原点, 并与直线4x+3y-70=0相切,求圆的 方程。 x 2+y2=196

例3:如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度 AB=20m,拱高OP=4m,在建造时每隔4m需用一个支柱支 y 撑,求支柱A2P2的长度(精确到0.01m)
解:建立如图所示的坐标 系,设圆心坐标是(0,b) 圆的半径是r ,则圆的方程 是x2+(y-b)2=r2 。

把P(0,4) B(10,0)代入圆的方程得方程组: 02+(4-b)2= r2 2=14.52 解得: b= -10.5 r 102+(0-b)2=r2 所以圆的方程是: x2+(y+10.5)2=14.52
把点P2的横坐标x= -2 代入圆的方程,得

(-2)2+(y+10.5)2=14.52 因为y>0,所以y= 14.52-(-2)2 -10.5≈14.36-10.5=3.86(m)

答:支柱A2P2的长度约为3.86m。

小结
(1) 圆心为C(a,b),半径为r 的圆的标准方程为 (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2 当圆心在原点时 a=b=0,圆的标准方程为: x2 + y2 = r2

(2) 由于圆的标准方程中含有 a , b , r 三个参数,因 此必须具备三个独立的条件才能确定圆;对于由已知 条件容易求得圆心坐标和圆的半径或需利用圆心坐标 列方程的问题一般采用圆的标准方程。

作业:
P69 1 ①,③ 2 ② 3

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