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根与零点


数 学 是 科 学 的 大 门 和 钥 匙

3.1.1方程的根与函数的零点

问题1:二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象与x轴交点 和相应一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根有何关系?
判别式△ = b2-4ac △>0 △=0 △<0 没有实数根
y

方程ax2 +bx+

c=0 两个不相等 有两个相等的 的实数根x1 、x2 实数根x1 = x2 (a≠0)的根
y

函数y= ax2 +bx +c(a≠0)的图象

y
x1 0 x2 x 0 x1

x

0

x

函数的图象 与 x 轴的交点

(x1,0) , (x2,0)

(x1,0)

没有交点

结论: 二次函数图象与x轴交点的横坐标
就是相应方程的实数根。

函数零点的定义: 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数 y=f(x)的零点。

等价关系 方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点 由此可见,求方程f(x)=0的实数根,就是确定函 数y=f(x)的零点.

思考:零点是不是点?

练习
解:

2-5x+4的零点 求函数f(x)=x

令 f ( x ) ? 0得 x

2

? 5x ? 4 ? 0

解得 : x ? 1或 4 ? 函数 f ( x ) ? x 2 ? 5 x ? 4的零点为 : x ? 1和 x ? 4 1 2

结 论

如果函数 y ? f ( x ) 在区间? a , b ? 上的图象是连续不断的 并且有 f ( a ) ? f ( b ) ? 0 , 那么, 函数 y ? f ( x ) 在区间 ? a , b
即存在 c ? ? a , b ? ,使得 f ( c ) ? 0 ,这个 c 也就是方程 f ( x ) ? 0 的根。
y

注意: 1、图像是连续不断的曲线
2 f ( a ) ? f (b ) ? 0
0

.
a

.

b

x

注:只要满足上述两个条件,就能判断函数在指定区间 内存在零点。 例
a

b

a

b

a

b

a

b

例1 求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数。 解:用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表 (表3-1)和图象(图3.1—3)
x
1 2

3

4

5

6

7

8

9

f(x) -4 -1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972

由表3-1和图3.1—3可知 y 14 f(2)<0,f(3)>0,即f(2)· f(3)<0, 12 说明这个函数在区间(2,3)内 10 8 有零点。 6 由于函数f(x)在定义域 (0,+∞)内是增函数,所以 它仅有一个零点。
4 2 0 -2 -4 -6 1 2

. .3 ..
4

.

.

.

.
5 6 7 8 9 10

x

.

你能判断函数

f ( x ) ? In x ? 2 x ? 6 的单调性并给

出相应的证明吗?

判断方法: ?

y ? In x 和 y ? 2 x ? 6 在 ? 0 , ? ? ? 上都是增函数,

? f ( x ) ? In x ? 2 x ? 6 在 ? 0 , ? ? ? 上是增函数。

证明: 设任意 x1 , x 2 ? ? 0 , ? ? ? ,且 x1 ?
? In x1 x2 x1 ? 2 ? x1 ? x 2 ?

x2

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? In x1 ? 2 x1 ? In x 2 ? 2 x 2 ?

? In x1

? I n x 2 ? ? 2 ? x1 ? x 2

?

? 0 ? x1 ? x 2 ,? 0 ?

x2

? 1, x1 ? x 2 ? 0

? In

x1 x2

? 0 , 2 ? x1 ? x 2

??

0

? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x 2 )
? 函数 f ( x ) ? In x ? 2 x ? 6 在 ? 0 , ? ? ? 上是增函数。

练习应用

1、函数

f ( x ) ? ln x ?

2 x

的零点所在的大致区间是( C、(3,4) D、(e,+∞)



A、(1,2)

B、(2,3)
2

2 .求函数 y ? log 2 ( x ? 2 x ? 2 )的零点。

小结与思考
1、函数y=f(x)的零点的定义。
使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点

函数零点方程根, 形数本是同根生。 函数零点端点判, 图象连续不能忘。

2、三个等价关系。
方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图 象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点

3、函数y=f(x)的零点存在性的判定。
函数y=f(x)在区间[a,b]上图象是连续不断的一条曲 线,并且有f(a)· f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也 就是方程f(x)=0的根。

4、学会数形结合和函数与方程的思想。

f(x)= -x3-3x+5
解:作出函数的图象,如下: 因为f(1)=1>0,f(1.5)=-2.875<0, 所以f(x)= -x3-3x+5在区间(1, 1.5) 上有零点。又因为f(x)是(-∞,+∞) 上的减函数,所以在区间(1, 1.5)上有 且只有一个零点。
.
y

.5 4 .
3 2 1

.
1 2 3

0
-1

x

.

f(x)=2x · ln(x-2)-3
解:作出函数的图象,如下:

因为f(3)=-3<0,f(4)≈2.545>0,所以f(x)= 2x · ln(x-2)-3在区间(3,4)上有零点。又因为 f(x) =2x · ln(x-2)-3是(2,+∞)上的增函数, 所以在区间(3,4)上有且只有一个零点。
y
2 1 0
-1

. .
2 3 4 5

1

x

-2 -3

. .

f(x)=ex-1+4x-4
解:作出函数的图象,如下: 因为f(0)≈-3.63<0,f(1) =1>0,所以f(x)= ex-1+4x-4 在区间(0,1)上有零点。又因 为f(x) = ex-1+4x-4是(-∞ , +∞)上的增函数,所以在 区间(0,1)上有且只有一个零 点。
y
2 1
-2 -1

.
.
1 2 3 4

0
-1 -2 -3

x

.

.
-4

f(x)=3(x+2)(x-3)(x+4)+x
解:作出函数的图象,如下: 因为f(-4)=-4<0,f(- 3)=15>0, f(-2)=-2<0,f(2)=-70<0, f(3)=3>0, 所以f(x)= 3(x+2)(x - 3)(x+4)+x 在区间 (-4,-3 )、 (-3,-2,)、 (2,3 )上各有 y 一个零点。 40
-5

. -2 20 -4 .-3 . -1 0
-20 -40

. .
3

1

2

4

5

x

.

.

.
- . 60 . .

-80


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