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2013届高考数学专题训练2 基本初等函数的图象与性质 理


高考专题训练二

基本初等函数的图象与性质

班级________ 姓名________ 时间:45 分钟 分值:75 分 总得分________ 一、选择题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中, 选出符合题目要求的一项填在答题卡上. 1. (2011·课标)下列函数中, 既是偶函数, 又是在(0,

+∞)上单调递增的函数是( A.y=x
3

)

B.y=|x|+1
2

C.y=-x +1

D.y=2

-|x|

解析:由偶函数排除 A,由在(0,+∞)上单调递增,排除 C、D. 答案:B 2. (2011·广东)设函数 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数, 则下列结论恒成立 的是( )

A.f(x)+|g(x)|是偶函数 B.f(x)-|g(x)|是奇函数 C.|f(x)|+g(x)是偶函数 D.|f(x)|-g(x)是奇函数 解析:令 F(x)=f(x)+|g(x)|, ∵f(x)是偶函数,g(x)是奇函数 ∴f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x) ∴F(-x)=f(-x)+|g(-x)| =f(x)+|-g(x)| =f(x)+|g(x)|=F(x). ∴F(x)在 R 上是偶函数. 答案:A 3.(2011·湖北)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)和偶函数 g(x)满足 f(x)+g(x)=a -a
-x

x

+2(a>0,且 a≠1).若 g(2)=a,则 f(2)=( A.2 C. 17 4
x
-x

) B. 15 4
2

D.a

解析:f(x)+g(x)=a -a +2①

f(-x)+g(-x)=a-x-ax+2
∴-f(x)+g(x)=a -a +2② 由①②可得:g(x)=2,f(x)=a -a
x
-x -x

x

15 2 -2 ∵g(2)=a=2,∴f(2)=2 -2 = . 4
1

答案:B 4.(2011·山东)对于函数 y=f(x),x∈R,“y=|f(x)|的图象关于 y 轴对称”是“y =f(x)是奇函数”的( )

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:y=f(x),x∈R,“y=|f(x)|的图象关于 y 轴对称” 构造函数 f(x)=x ,y=|f(x)|关于 y 轴对称,但 f(x)=x 是偶函数. 又 y=f(x)是奇函数,则 y=|f(x)|的图象关于 y 轴对称, ∴选 B. 答案:B
2 2

? 5? 5. (2011·全国)设 f(x)是周期为 2 的奇函数, 0≤x≤1 时,(x)=2x(1-x), f?- ? 当 f 则 ? 2?
=( ) 1 A.- 2 C. 1 4 1 B.- 4 D. 1 2

1 ? 1? 1 ? 5? ? 1? ?1? 解析:f?- ?=f?- ?=-f? ?=-2× ×?1- ?=- . 2? ? 2? 2? 2? 2 ? 2 ? ? 答案:A 6.在实数集 R 中定义一种运算“*”,对任意给定的 a,b∈R,a*b 为唯一确定的实数, 且具有性质: (1)对任意 a,b∈R,a*b=b*a; (2)对任意 a∈R,a*0=a; 1 (3)对任意 a, ∈R, a*b)*c=c*(ab)+(a*c)+(c*b)-2c.关于函数 f(x)=(3x)* 的 b ( 3x 性质,有如下说法: ①函数 f(x)的最小值为 3;②函数 f(x)为奇函数;③函数 f(x)的单调递增区间为

?-∞,-1?,?1,+∞?.其中所有正确说法的个数为( ? ? ? ? 3? ?3 ? ?
A.0 C.2 B.1 D.3

)

1? 1 ?0*1? ? 解析: f(x)= f(x)*0= ?? 3x? * ? *0=0*(3x× )+[(3x)*0]+ ? ? )-2×0= 3x? 3x ? ? 3x ?
2

1 1 1 1 3x× +3x+ =3x+ +1.当 x=-1 时,f(x)<0,故①错误;因为 f(-x)=-3x- + 3x 3x 3x 3x 1 1 1 1≠-f(x),所以②错误;令 f′(x)=3- 2>0,得 x> ,或 x<- ,因此函数 f(x)的单调 3x 3 3 1? ?1 ? ? 递增区间为?-∞,- ?,? ,+∞?,即③正确. 3? ?3 ? ? 答案:B 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上.

?-x +2x ? x>0? , ? ? x=0? , 7.已知函数 f(x)=?0 ?x2+mx ? x<0? ?

2

为奇函数,若函数 f(x)在区间[-1,

|a|-2]上单调递增,则 a 的取值范围是________. 解析:当 x<0 时,-x>0,∵f(-x)=-(-x) +2(-x)=-x -2x,又 f(x)为奇函数, ∴ f( - x) = - f(x) = - x - 2x , ∴ x<0 时 , f(x) = x + 2x , ∴ m = 2 , 即 f(x) =
2 2 2 2

?-x +2x ? x>0? , ? ? x=0? , ?0 ?x2+mx ? x<0? ?

2

其图象为

由图象可知,f(x)在[-1,1]上单调递增,要使 f(x)在[-1,|a|-2]上单调递增,只
?|a|-2>-1, ? 需? ? ?|a|-2≤1,

解得-3≤a<-1 或 1<a≤3.

答案:[-3,-1)∪(1,3] 8.(2011·上海)设 g(x)是定义在 R 上,以 1 为周期的函数,若函数 f(x)=x+g(x)在 区间[3,4]上的值域为[-2,5],则 f(x)在区间[-10,10]上的值域为________. 解析:令 f(x)分别在 x1,x2(x1,x2∈[3,4])处取得最大、最小值,即 f(x1)=x1+g(x1) =5,
3

f(x2)=x2+g(x2)=-2,因为 y=x 为增函数,y=g(x)的周期为 1,故 f(x1+6)是 f(x)
在[9,10]上的最大值,此即为 f(x)在[-10,10]上的最大值.f(x2-13)是 f(x)在[-10,- 9]上的最小值,此即为 f(x)在[-10,10]上的最小值.

f(x1+6)=x1+6+g(x1+6)=x1+g(x1)+6=11. f(x2-13)=x2-13+g(x2-13)=x2+g(x2)-13=-15.故值域为[-15,11].
答案:[-15,11] 9.对方程 lg(x+4)=10 根的情况,有以下四种说法:①仅有一根;②有一正根和一 负根;③有两个负根;④没有实数根.其中你认为正确说法的序号是________. 解析:在同一坐标系中作出它们的图象,如图.
x

当 x=0 时,y1=lg4,y2=10 =1,y1<y2; 当 x=-2 时,y1=lg2,y2=10 =0.01,y1>y2. 故这两个函数图象的交点均在 y 轴左侧,原方程应有两个负根,应填③. 答案:③ 10.(2011·福建)设 V 是全体平面向量构成的集合,若映射 f:V→R 满足:
-2

0

对任意向量 a=(x1,y1)∈V,b=(x2,y2)∈V,以及任意 λ ∈R,均有 f[λ a+(1-λ )b] =λ f(a)+(1-λ )f(b),则称映射 f 具有性质 P. 现给出如下映射: ①f1:V→R,f1(m)=x-y,m=(x,y)∈V; ②f2:V→R,f2(m)=x +y,m=(x,y)∈V; ③f3:V→R,f3(m)=x+y+1,m=(x,y)∈V. 其中,具有性质 P 的映射的序号为________.(写出所有具有性质 P 的映射的序号) 解析:a=(x1,y1),b=(x2,y2).
2

f1[λ a+(1-λ )b]=f1[λ x1+(1-λ )x2,λ y1+(1-λ )y2]=λ x1+(1-λ )x2-λ y1
-(1-λ )y2.

4

λ f1(a)+(1-λ )f1(b) =λ (x1-y1)+(1-λ )(x2-y2) =λ x1-λ y1+(1-λ )x2-(1-λ )y2 =λ x1+(1-λ )x2-λ y1-(1-λ )y2. ∴f1 具有性质 P

f2[λ a +(1-λ )b]= f2[λ x1 +(1-λ )x2 ,λ y1 +(1-λ )y2]=[λ x1 +(1-λ )x2]2 +
λ y1+(1-λ )y2 λ f2(a)+(1-λ )f2(b)=λ (x1+y1)+(1-λ )(x2+y2)=λ x1+(1-λ )x2+λ y1+(1- λ )y2 ≠f2[λ a+(1-λ )b] ∴f2 不具有性质 P
2 2 2 2

f3[λ a+(1-λ )b]=λ x1+(1-λ )x2+λ y1+(1-λ )y2+λ f3(a)+(1-λ )f3(b)
=λ (x1+y1+1)+(1-λ )(x2+y2+1) =λ x1+(1-λ )x2+λ y1+(1-λ )y2+1

=f3[λ a+(1-λ )b]. ∴f3 具有性质 P. 答案:①③ 三、解答题:本大题共 2 小题,共 25 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 11.(12 分)(2011·广东清远市高三 3 月测试)已知函数 f(x)=ax +bx+c,x∈[0,6] 的图象经过(0,0)和(6,0)两点,如图所示,且函数 f(x)的值域为[0,9].过动点 P(t,f(t)) 作 x 轴的垂线,垂足为 A,连接 OP.
2

(1)求函数 f(x)的解析式; (2)记△OAP 的面积为 S,求 S 的最大值.

5

解:(1)由已知可得函数 f(x)的对称轴为 x=3,顶点为(3,9).

?- b =3 ? 法一:由? 2a ?4ac4-b =9 ? a
f? 0? =0
2

得 a=-1,b=6,c=0 得 f(x)=6x-x ,x∈[0,6].
2

法二:设 f(x)=a(x-3) +9 由 f(0)=0,得 a=-1

2

f(x)=6x-x2,x∈[0,6].
1 1 2 (2)S(t)= |OA|·|AP|= t(6t-t ),t∈(0,6) 2 2

S′(t)=6t- t2= t(4-t)
列表

3 2

3 2

t S′(t)

(0,4) +

4 0

(4,6) -

S(t)

?↗

极大值

↘?

由上表可得 t=4 时,三角形面积取得最大值. 1 2 即 S(t)max=S(4)= ×4×(6×4-4 )=16. 2 12.(13 分)(2011·上海)已知函数 f(x)=a·2 +b·3 ,其中常数 a,b 满足 a·b≠0. (1)若 a·b>0,判断函数 f(x)的单调性; (2)若 a·b<0,求 f(x+1)>f(x)时的 x 的取值范围. 解:(1)当 a>0,b>0 时,任取 x1,x2∈R,且 x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=a(2 1-2 2)+b(3 1 -3 2) ∵2x1<2x2,a>0? a(2 1-2 2)<0,3 1<3 2,b>0? b(3 1-3 2)<0, ∴f(x1)-f(x2)<0,函数 f(x)在 R 上是增函数. 同理,当 a<0,b<0 时,函数 f(x)在 R 上是减函数. (2)f(x+1)-f(x)=a·2 +2b·3 >0
x x x x x x x x x x x x x x

6

x

a ?3? 当 a<0,b>0 时,? ? >- , 2b ?2?
则 x>log1.5?- ?; ? 2b?
x

?

a?

?3? 当 a>0,b<0 时,? ? ?2?
则 x<log1.5?- ?. ? 2b?

<- , 2b

a

?

a?

7


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