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三角恒等变换知识点总结及同步练习

时间:2015-01-11


沿途教育 第三章 三角恒等变换

1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ⑴cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ; ⑵cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ; ⑶sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; ⑷sin ?? ? ? ?

? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; ⑸tan ?? ? ? ? ? ⑹tan ?? ? ? ? ?

tan ? ? tan ? ? 1 ? tan ? tan ?
tan ? ? tan ? ? 1 ? tan ? tan ?

( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) ; ( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1? tan ? tan ? ? ) .

2、二倍角的正弦、余弦和正切公式: ⑴sin 2? ? 2sin ? cos ? . ? 1 ? sin 2? ? sin 2 ? ? cos2 ? ? 2 sin ? cos? ? (sin? ? cos? ) 2 ⑵cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ?

? 升幂公式 1 ? cos ? ? 2 cos 2

?

2 2 cos 2 ? ? 1 1 ? cos 2 ? , sin 2 ? ? . ? 降幂公式 cos 2 ? ? 2 2

,1 ? cos ? ? 2 sin 2

?

⑶tan 2? ?

2 tan ? . 1 ? tan 2 ?

3、 万能公式:

α α 2 t an 1 ? t an2 2 ; cosα? 2 sinα? α α 1 ? t an2 1 ? t an2 2 2
4、 半角公式 :
α 1 ? cos α α 1 ? cos α cos ? ? ; sin ? ? 2 2 2 2 α 1 ? cos α sinα 1 ? cos α t an ? ? ? ? 1 2 1 ? cos α 1 ? cos α sinα

沿途教育
5、和差化积

1 [cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )] 2 1 cos ? cos ? ? [cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )] 2 1 sin ? cos ? ? [sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )] 2 1 cos ? sin ? ? [sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )] 2 sin ? sin ? ? ?

6、积化和差

sin ? ? sin ? ? 2 sin(

? ?
2 2

? ?

?
2

) cos( ) sin(

? ?
2

? ?

? ?
2

) ) ) )

sin ? ? sin ? ? 2 cos(

?
2

cos ? ? cos ? ? 2 cos(

?
2

?

?
2

2

) cos(

?
2

2

? ?

?
2

cos ? ? cos ? ? ?2 sin(

?
2

?

?
2

) sin(

?
2

?
2

7 、合 一变形 ? 把两个三角函数的和或差化为 “ 一个三角函数,一个角,一次方 ” 的
y ? A sin(?x ? ? ) ? B 形式。 ? sin ? ? ? cos ? ? ?2 ? ?2 sin ?? ? ? ? ,其中 tan ? ?
? . ?

8、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换,提高三角变换能力,要学会创设条件, 灵活运用三角公式,掌握运算,化简的方法和技能.常用的数学思想方法技巧如下: (1)角的变换:在三角化简,求值,证明中,表达式中往往出现较多的相异角,可根据角 与角之间的和差,倍半,互补,互余的关系,运用角的变换,沟通条件与结论中角的差异, 使问题获解,对角的变形如: ①2? 是 ? 的二倍; 4? 是 2? 的二倍; ? 是 ②15o ? 45o ? 30o ? 60o ? 45o ? ③? ? (? ? ? ) ? ? ;
30o ; 2

? ? ? 的二倍; 是 的二倍; 2 2 4

? ? ? ④ ?? ? ? ( ??) ; 4 2 4

2

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⑤2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ? (

?
4

??) ? (

?
4

? ? ) ;等等

(2)函数名称变换:三角变形中,常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余 弦是基础,通常化切为弦,变异名为同名。 (3)常数代换:在三角函数运算,求值,证明中,有时需要将常数转化为三角函数值,例 如常数“1”的代换变形有:
1 ? sin 2 ? ? cos2 ? ? tan? cot? ? sin 90o ? tan45o

(4)幂的变换:降幂是三角变换时常用方法,对次数较高的三角函数式,一般采用降幂处 理的方法。 (5)公式变形:三角公式是变换的依据,应熟练掌握三角公式的顺用,逆用及变形应用。 如:
1 ? tan ? 1 ? tan ? ? __________ _____ ; ? __________ ____ ; 1 ? tan ? 1 ? tan ?

tan? ? tan ? ? __________ __ ; 1 ? tan? tan? ? __________ _; tan? ? tan ? ? __________ __ ; 1 ? tan? tan ? ? __________ _;
2 tan ? ?

; 1 ? tan2 ? ? ; = = ; 1 ? cos ? ?



tan20o ? tan40o ? 3 tan20o tan40o ?
sin ? ? cos ? ?

; ; (其中 tan ? ? ; ; )

a sin ? ? b cos ? ?
1 ? cos ? ?

(6)三角函数式的化简运算通常从:“角、名、形、幂”四方面入手; 基本规则是:见切化弦,异角化同角,复角化单角,异名化同名,高次化低次,无理 化有理,特殊值与特殊角的三角函数互化。 如: sin 50o (1 ? 3 tan10o ) ?
tan ? ? cot ? ?

; 。

3

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第三章《三角恒等变换》测试题 一、选择题 1.下列命题中不正确 的是( ... )..

A.存在这样的 ? 和 ? 的值,使得 cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? B.不存在无穷多个 ? 和 ? 的值,使得 cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? C.对于任意的 ? 和 ? ,都有 cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? D.不存在这样的 ? 和 ? 值,使得 cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? 2.在△ ABC 中,若 sin A ? sin B ? cos A cos B ,则△ ABC 一定为( A.等边三角形 3. cos4 B.直角三角形 )
2 2

).

C.锐角三角形

D.钝角三角形

? ? ? sin 4 等于( 8 8

A.0

B.

C.1

D.- ). D.1

2 2

4. 3 tan11? ? 3 tan19? ? tan11? ? tan19? 的值是( A. 3 B.
3 3

C.0

5.若 3sin x ? 3 cos x ? 2 3 sin(x ? ? ) , ? ? (??, ?) ,则 ? 等于( A.-
? 6

).
5? 6

B.

? 6

C.

5? 6

D. ?

6.在△ ABC 中,已知 tan A , tan B 是方程 3x 2 ? 8 x ? 1 ? 0 的两个根,则 tan C 等于( A. ? 4 B. ? 2 C. 2 D. 4 ).D

).

7.要得到函数 y ? 2sin 2 x 的图象,只需要将函数 y ? 3sin 2x ? cos 2x 的图象(
? A.向右平移 个单位 6 ? C.向左平移 个单位 6 ? 个单位 12 ? D.向左平移 个单位 12

B.向右平移

8. sin 6? ? cos24? ? sin 78? ? cos48? 的值为( A.
1 16

). C.
1 32

B. ?

1 16

D.

1 8

9. 2 ? sin 2 2 ? cos 4 的值等于( A. sin 2 B. ? cos 2

). C. 3 cos2
4

D. ? 3 cos2

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10.已知 ? 为第二象限角, 25sin 2 ? ? sin ? ? 24 ? 0 ,则 cos A. ?
3 5

?
2

的值为( D. ?
4 5

).

B. ?

3 5

C.

2 2

2 cos2 x ? sin 2 x 11.设 (2 cos x ? sin x)(sin x ? cos x ? 3) ? 0 ,则 的值为( 1 ? tan x

).

A.

8 5

B.

5 8

C.

2 5

D.

5 2

x x x 6 12.已知不等式 f ? x ? ? 3 2 sin cos ? 6 cos 2 ? ? m ? 0 对于任意的 4 4 4 2
? 5? ? ? x ? 恒成立,则实数 m 的取值范围是( 6 6

). D. ? 3 ? m ? 3

A. m ? 3

B. m ? 3

C. m ? ? 3

二、填空题 13.

1 3 ? ? sin 10? cos10?

. . . .

14.已知 ? , ? ? (

3? ? 12 ? 3 , ?) , sin(? ? ? ) ? ? , sin( ? ? ) ? ,则 cos(? ? ) ? 4 4 13 4 5

15.化简 sin(x ? 60?) ? 2 sin(x ? 60?) ? 3 cos( 120? ? x) 的结果是

? ? ? ) 的值为 16.已知 sin ? ? sin ? ? , cos ? ? cos ? ? ,则 tan(

1 4

1 3

三、解答题 17.已知 cos( ? ?

?

1 ? 2 ? ) ? ? , sin( ? ? ) ? , 0 ? ? ? ? , 0 ? ? ? ,求 cos(? ? ? ) 的值. 2 2 9 2 3

? sin( ? ? ) 15 4 18.已知 ? 为第二象限角,且 sin ? ? ,求 的值. 4 sin 2? ? cos 2? ? 1

5

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19. (1)求值:
sin 65 o + sin 15 o sin 10 o ; sin 25 o - cos 15 o cos 80 o

(2)已知 sin ? ? 2 cos ? ? 0 ,求

cos 2? ? sin 2? 的值. 1 ? cos 2 ?

x ?? ) ( A ? , 0 ?0 ? ? π) , x ? R 的 最 大 值 是 1 , 其 图 象 经 过 点 20. 已 知 函 数 f ( x) ? A s i n (

?π 1? M ? , ?. ? 3 2?
(1)求 f ( x) 的解析式;
3 12 ? π? (2)已知 ?,? ? ? 0, ? ,且 f (? ) ? , f ( ? ) ? ,求 f (? ? ? ) 的值. 5 13 ? 2?

? 21.已知函数 f ( x ) ? sin( ? ? x )sin( ? x ) ? cos2 x . 2

(1)求函数 f ( x) 的最小正周期;
? 3? (2)当 x ? [? , ] 时,求函数 f ( x) 的单调区间. 8 8

6

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22.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,以 Ox 轴为始边作两个锐角 ? , ? ,它们的终边分别 与单位圆相交于 A , B 两点,已知 A , B 的横坐标分别
2 5 . 5



2 10



(1)求 tan( ? ? ? ) 的值; (2)求 ? ? 2 ? 的值.

第三章 三角恒等变 一、选择题 1
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已知 x ? (? A
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?
2
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, 0) , cos x ?
? 7 24

4 ,则 tan 2 x ? ( 5
24 7



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2

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函数 y ? 3sin x ? 4cos x ? 5 的最小正周期是( A
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B

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?

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2?

3

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在△ ABC 中, cos A cos B ? sin A sin B ,则△ ABC 为( A
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) D
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锐角三角形

B

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直角三角形

C

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钝角三角形
6 , 2

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无法判定

4

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设 a ? sin140 ? cos140 , b ? sin160 ? cos160 , c ? 则 a, b, c 大小关系( )
7

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A C 5
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a?b?c c ? b? a

B D

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b?a?c a ? c? b

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函数 y ? 2 sin(2x ? ? )cos[2( x ? ? )] 是( A C
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? 的奇函数 4 ? 周期为 的奇函数 2
周期为

B D

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? 的偶函数 4 ? 周期为 的偶函数 2
周期为 )

6

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已知 cos 2? ? A
13 18

2 ,则 sin 4 ? ? cos 4 ? 的值为( 3
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B

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11 18

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7 9

D

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?1

二、填空题 1
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求值: tan 200 ? tan 400 ? 3 tan 200 tan 400 ? _____________
1 ? tan ? 1 ? 2008, 则 ? tan 2? ? 1 ? tan ? cos 2?

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3 4 5

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函数 f ( x ) ? cos 2 x ? 2 3 sin x cos x 的最小正周期是___________ 已知 sin

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?
2

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? cos

?
2

?

2 3 , 那么 sin ? 的值为 3

, cos 2? 的值为 时, cos A ? 2 cos

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?ABC 的三个内角为 A 、 B 、 C ,当 A 为

B?C 取得最大值, 2

且这个最大值为

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三、解答题 1
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已知 sin ? ? sin ? ? sin ? ? 0,cos ? ? cos ? ? cos ? ? 0, 求 cos( ? ? ? ) 的值

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若 sin ? ? sin ? ?

2 , 求 cos? ? cos ? 的取值范围 2
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求值:

1 ? cos 200 ? sin100 (tan ?1 50 ? tan 50 ) 2sin 200

4

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已知函数 y ? sin

x x ? 3 cos , x ? R. 2 2

(1)求 y 取最大值时相应的 x 的集合;

(2)该函数的图象经过怎样的平移和伸变换可以得到 y ? sin x( x ? R) 的图象

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9

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参考答案 一、选择题 1 2 3 4 5 6
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D D C D C B

x ? (?

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4 3 3 2 tan x 24 , 0) , cos x ? ,sin x ? ? , tan x ? ? , tan 2 x ? ?? 2 2 5 5 4 1 ? tan x 7 2? y ? 5sin( x ? ? ) ? 5, T ? ? 2? 1

?

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cos A cos B ? sin A sin B ? cos( A ? B) ? 0, ? cos C ? 0,cos C ? 0, C 为钝角

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a ? 2 sin 590 , b ? 2 sin 610 , c ? 2 sin 600
y ? ? 2 sin 2 x cos 2 x ? ?
2? ? 2 ? sin 4 x ,为奇函数, T ? 4 2 2

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1 sin 4 ? ? cos 4 ? ? (sin 2 ? ? cos 2 ? ) 2 ? 2sin 2 ? cos 2 ? ? 1 ? sin 2 2? 2 1 1 1 ? 1 ? ( 1? c 2 os ? 2 ?) 2 18

二、填空题 1
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3

tan 600 ? tan(200 ? 400 ) ?

tan 200 ? tan 400 ? 3 1 ? tan 200 tan 400
0

3?
2
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3 t a n 02 0 t a0n ?4 0

t? an 20

0

tan 40

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2008

1 ? t a n? 2? c o s? 2

1 sin ?2 ? 1 s ?i n 2 ? ? co ?s 2 ? cos 2 ? cos 2

?

(cos ? ? sin ? )2 cos ? ? sin ? 1 ? tan ? ? ? ? 2008 cos 2 ? ? sin 2 ? cos ? ? sin ? 1 ? tan ?
3 s ixn ?2

3 4 5

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2? ? T ? )?? 2 cx? o s, (2 2 3 1 7 ? ? 4 1 7 , (sin ? cos ) 2 ? 1 ? sin ? ? ,sin ? ? , cos 2? ? 1 ? 2sin 2 ? ? 3 9 2 2 3 3 9 3 B ? C A A A 0 2 60 , cos A? 2 c o s ? A c? os 2? s i? n 1 ?2 s i n 2 sin 2 2 2 2 2 A A A 1 3 ? ?2sin 2 ? 2sin ? 1 ? ?2(sin ? ) 2 ? 2 2 2 2 2 A 1 B?C 3 ) max ? 当 sin ? ,即 A ? 600 时,得 (cos A ? 2 cos 2 2 2 2

f ( x)? c o s x 2 ?

三、解答题 1
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解: sin ? ? sin ? ? ? sin ? ,cos ? ? cos ? ? ? cos ? ,
10

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(sin ? ? sin ? )2 ? (cos ? ? cos ? )2 ? 1,
2 ? 2 cos( ? ? ? ) ? 1, cos( ? ? ? ) ? ? 1 2
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2

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1 解:令 cos ? ? cos ? ? t ,则 (sin ? ? sin ? ) 2 ? (cos ? ? cos ? ) 2 ? t 2 ? , 2 1 3 2 ? 2 cos(? ? ? ) ? t 2 ? , 2 cos(? ? ? ) ? t 2 ? 2 2

?2 ? t 2 ?

3 1 7 14 14 ? 2, ? ? t 2 ? , ? ?t ? 2 2 2 2 2
0 2cos 2 100 sin 50 0 cos 5 ? sin10 ( ? ) 4sin100 cos100 sin 50 cos 50 0

3

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解:原式 ?

?

cos100 cos10 0? 2sin 20 0 ? 2cos10 ? 2sin100 2sin100

?

0 0 0 0 cos100 ? 2sin(30 0? 10 ) cos10 ? 2sin 30 cos10 ?0 2cos 30 sin10 ? 2sin100 2sin100

0

0 ?cos 3 0 ?

3 2

4

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x x x ? 解: y ? sin ? 3 cos ? 2sin( ? ) 2 2 2 3 x ? ? ? (1)当 ? ? 2k? ? ,即 x ? 4k? ? , k ? Z 时, y 取得最大值 2 3 2 3

? ? ? 为所求 k? ,? k ? Z ? x | x? 4 ? 3 ? ?
? 右移 个单位 x ? x 横坐标缩小到原来的2倍 3 ? y ? 2sin ??????? ? y ? 2sin x (2) y ? 2sin( ? ) ????? 2 3 2
纵坐标缩小到原来的2倍 ??????? ? y ? sin x

11

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第三章《三角恒等变换》测试题参考答案 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是最符合题目要求的.) 1.B 由两角差的余弦公式易知 C,D 正确,当 ? ? ? ? 0 时,A 成立,故选 B. 2.D 由 sin A ? sin B ? cos A cos B 得 cos(A ? B) ? 0 , 即 cosC ? cos[? ? ( A ? B)] ? ? cos(A ? B) ? 0 ,故角 C 为钝角. 3.B

cos4

? ? ? ? ? ? ? 2 . ? sin 4 ? (cos2 ? sin 2 )(cos2 ? sin 2 ) ? cos ? 8 8 8 8 8 8 4 2

4.D 原式 ? 3(tan11? ? tan19?) ? tan11?? tan19?

? 3 tan30?(1 ? tan11?? tan19?) ? tan11?? tan19?
? 1 ? tan 11? ? tan 19? ? tan 11? ? tan 19? ? 1 .

5.A 6.C

3sin x ? 3 cos x ? 2 3(

? 3 1 ? sin x ? cos x ) ? 2 3 sin( x ? ) ,故 ? ? ? . 6 2 2 6

8 1 ∵tan A ? tan B ? ? , tan A tan B ? ? , 3 3

tan A ? tan B ∴tanC ? tan[ ? ? ( A ? B)] ? ? tan(A ? B) ? ? ?? 1 ? tan A tan B

8 3 ? 2. 1 1? 3 ?

7.D 8.A

y ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2(

3 1 ? ? sin 2 x ? cos 2 x) ? 2sin(2 x ? ) ? 2sin 2( x ? ) . 2 2 6 12

sin 6? ? cos24? ? sin 78? ? cos48? ? sin 6? cos12? cos24? cos48?

2 4 cos6? sin 6? cos12? cos 24? cos 48? sin 96? 1 ? ? ? . 4 16cos6? 16 2 cos6?

9.D

2 ? sin 2 2 ? cos 4 ? (1 ? sin 2 2) ? (cos 4 ? 1) ? cos 2 2 ? 2 cos 2 2

? 3 | cos2 |? ? 3cos2 .
10.B 由 25sin 2 ? ? sin ? ? 24 ? 0 得 sin ? ?
24 或 sin ? ? ?1 (∵? 为第二象限角,故舍去) , 25

∴cos ? ? ?

7 ? ,且 为第一或者第三象限角, 2 25
12

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∴2 cos 2 11.C

?
2

?1 ? ?

7 , 25

故 cos

?

3 ?? . 2 5

由 (2 cos x ? sin x)(sin x ? cos x ? 3) ? 0 得 sin x ? 2 cos x , cos x ? 0 ,故 tan x ? 2 ,
2 2c o s x ? 2s i n xc o s x 2 ? 2t a n x 2 2 2 2c o s x ? s i n 2x 2 si nx?cos x ? ? t a n x ?1 ? . 1? t a n x 1? 2 3 5 2

12.A

x x x 6 3 2 x 6 x f ? x ? ? 3 2 sin cos ? 6 cos 2 ? ?m ? sin ? cos ? m , 4 4 4 2 2 2 2 2

x ? x ? ? 6 s i n (? ? ) m? , 0 ∴m ? 6 sin( ? ) , 2 6 2 6 5? ? ? x ? ? ?x? , ∵? ∴? ? ? ? , 6 6 4 2 6 4 x ? ∴? 3 ? 6 sin( ? ) ? 3 , ∴m ? 3 . 2 6

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 把答案填在题中的横线上.)

1 3 1 3 cos10? ? 3 sin10? 2( 2 cos10? ? 2 sin10?) 13. 4 ? ? ? 1 sin10? cos10? sin10? cos10? sin 20? 2 4 sin(30? ? 10?) ? 4. sin 20? 56 4 ? 5 14. ? 由已知可得 cos( ? ? ? ) ? , cos( ? ? ) ? ? , 4 13 65 5 ? ? 故 cos(? ? ) ? cos[(? ? ? ) ? ( ? ? )] 4 4 ? ? 56 ? cos(? ? ? ) cos( ? ? ) ? sin(? ? ? )sin( ? ? ) ? ? . 4 4 65
15. 0 原式 ? sin(x ? 60?) ? 3 cos[ 180? ? ( x ? 60?)] ? 2 sin(x ? 60?)

? sin(x ? 60?) ? 3 cos(x ? 60?) ? 2 sin(x ? 60?)
? 2 sin(x ? 60? ? 60?) ? 2 sin(x ? 60?)
? 2 sin(x ? 60? ? 180?) ? 2 sin(x ? 60?) ? ?2 sin(x ? 60?) ? 2 sin(x ? 60?) ? 0 .

16.

24 7

易知 ? ?

, 2 2 2 1 ? ?? ? ?? 1 cos ? , 由 sin ? ? sin ? ? ,得 2 sin 4 2 2 4 1 ? ?? ? ?? 1 cos ? , 由 cos ? ? cos ? ? ,得 2 cos 3 2 2 3
2
13

? ??

?

? ??

,? ?

? ??

?

? ??

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3 ? ?? 3 4 ? 24 . ? , tan( 两式相除,得 tan ? ? ?) ? 3 2 4 7 1 ? ( )2 4 2?
三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步 骤.) 17.解:由已知
? ? ? 1 ? 4 5 , ? ? ? ? ?, 又 cos(? ? ) ? ? 故 sin(? ? ) ? 4 2 2 9 2 9
3 2 2 2 27

同理 cos(? ? ? ) ? 1 5 , 故 cos? ? ? ? cos[(? ? ? ) ? (? ? ? )] ? 7 5 ,
2

故 cos(? ? ? ) ? 2 cos 2 ? ? ? ? 1 ? ? 239 .
2 729

? 2 sin(? ? ) (sin ? ? cos ? ) 2 (sin? ? cos? ) 4 2 ? 18.解: , ? 2 sin 2? ? cos 2? ? 1 2sin ? cos ? ? 2 cos ? 4 cos? (sin? ? cos? )

当 ? 为第二象限角,且 sin ? ?

1 15 时, sin ? ? cos ? ? 0 , cos ? ? ? , 4 4

? sin(? ? ) 2 4 所以 ? ?? 2. sin 2? ? cos 2? ? 1 4 cos?
19.解: (1)原式 ?

sin(800 ? 150 ) ? sin150 sin100 sin 800 cos150 cos150 ? ? ? 2? 3 . sin(150 ? 100 ) ? cos150 cos800 sin150 cos100 sin150

(2)由 sin ? ? 2 cos ? ? 0 ,得 sin ? ? ?2 cos ? ,又 cos ? ? 0 ,则 tan ? ? ?2 , 所以
cos 2? ? sin 2? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2 sin ? cos? ? 1 ? cos2 ? sin 2 ? ? 2 cos2 ?

1 ? tan2 ? ? 2 tan? 1 ? (?2) 2 ? 2(?2) 1 ? ? ? . 6 tan2 ? ? 2 (?2) 2 ? 2

? 1 ? 1 20.解: (1)依题意有 A ? 1 ,则 f (x) ? sin( x ? ?) ,将点 M ( , ) 代入得 sin( ? ? ) ? ,而 3 2 3 2 ? 5 ? ? 0 ? ? ? ? ,? ? ? ? ? ,?? ? ,故 f ( x ) ? sin( x ? ) ? cos x . 3 6 2 2 3 12 ? (2)依题意有 cos ? ? , cos ? ? ,而 ? , ? ? (0, ) , 2 5 13
3 4 12 5 ?sin ? ? 1 ? ( )2 ? ,sin ? ? 1 ? ( )2 ? , 5 5 13 13
3 12 4 5 56 f (? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? ? . 5 13 5 13 65
14

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1 1 1 1 1 21.解: (1) f ( x) ? sin x ? cos x ? cos 2 x ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2 2 2

?

2 ? 1 sin(2 x ? ) ? 2 4 2
2? ??. 2

∴ 函数 f ( x) 的最小正周期 T ?

? 3? ? (2)当 x ? [? , ] 时, 2 x ? ? [0, ?] , 8 8 4 ? ? ? ? ∴ 当 2 x ? ? [0, ] 即 x ? [ ? , ] 时,函数 f ( x) 单调递增; 4 2 8 8 ? ? ? 3? 当 2 x ? ? [ , ?] 即 x ? [ , ] 时,函数 f ( x) 单调递减. 4 2 8 8

22.解:由条件得 cos? ?

2 2 5 , cos ? ? ,∵? , ? 为锐角, 10 5 7 2 5 , sin ? ? 1 ? cos2 ? ? , 10 5

∴sin ? ? 1 ? cos2 ? ? 因此 tan ? ?

sin ? sin ? 1 ? 7 , tan ? ? ? . cos ? cos ? 2

1 tan? ? tan ? 2 ? ?3 . (1) tan( ? ? ?) ? ? 1 1 ? tan? tan ? 1? 7 ? 2 1 2? 2 tan ? 2 ? 4, (2)∵tan 2? ? ? 2 1 3 1 ? tan ? 1 ? ( )2 2 4 7? tan? ? tan2? 3 ? ?1 , ∴tan( ? ? 2? ) ? ? 4 1 ? tan? tan2? 1? 7 ? 3 3? 3? ∵? , ? 为锐角, ∴0 ? ? ? 2 ? ? , ∴? ? 2 ? ? . 2 4 7?

15


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